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2019-2020年高三第二次綜合練習 理科數(shù)學 含解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項. （1）已知集合，集合，則= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，所以，選D. （2）若，則實數(shù)的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，解得，選B. （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出的結(jié)果是，則判斷框內(nèi)的條件是 A. ？ B. ？ C. ？ D. ？ 【答案】C 【解析】第一次循環(huán)，，不滿足條件，循環(huán)。第二次循環(huán)，，不滿足條件，循環(huán)。第三次循環(huán)，，不滿足條件，循環(huán)。第四次循環(huán)，，滿足條件，輸出。所以判斷框內(nèi)的條件是，選C. （4）若雙曲線的漸近線與拋物線有公共點，則此雙曲線的離心率的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】雙曲線的漸近線為，不妨取，代入拋物線得，即，要使?jié)u近線與拋物線有公共點，則，即，又，所以，所以。所以此雙曲線的離心率的取值范圍是，選A. （5）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 A． 　 　B． C． D． 【答案】A 【解析】由題設(shè)條件，此幾何幾何體為一個三棱錐，如圖紅色的部分．其中高為1，底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，所以底面積為，所以三棱錐的體積為，選A. （6）某崗位安排3名職工從周一到周五值班，每天只安排一名職工值班，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天必須相鄰，那么不同的安排方法有 A．種 B．種 　 C．種 D．種 【答案】C 【解析】由題意可知，3名職工中只有一人值班一天，此時有種，把另外2人，排好有3個空，將值班一天的這個工人，從3個空中，選一個，另外2人，全排有.所以不同的安排方法共有，選C. （7）已知函數(shù)，定義函數(shù) 給出下列命題： ①； ②函數(shù)是奇函數(shù)；③當時，若，，總有成立，其中所有正確命題的序號是當 A．② 　 B．①② 　C．③ D．②③ 【答案】D 【解析】①因為，而，兩個函數(shù)的定義域不同，所以①不成立。②因為是偶函數(shù)。若，則，所以.若，則，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，正確。③時，函數(shù)在上減函數(shù)，若，，則，所以，即成立，所以正確的是 ②③，選D. （8）點是棱長為1的正方體的底面上一點，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示建立空間直角坐標系.則設(shè),其中。則所以，因為的幾何意義是平面區(qū)域到點的距離的平方，所以當時，有最小為0，當或或或時有最大值，所以，即的取值范圍是，選D. 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上. （9）為虛數(shù)單位，計算　 ?。? 【答案】 【解析】。 （10）若直線與圓（為參數(shù)）相交于，兩點， 且弦的中點坐標是，則直線的傾斜角為 ． 【答案】 【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑為2.因為弦的中點坐標是，所以直線垂直。,所以直線的斜率為1，所以直線的傾斜角為。 （11）如圖，切圓于點，割線經(jīng)過圓心，， 則 ，△的面積是 ． 【答案】, 【解析】因為PC切圓O于點C，根據(jù)切割線定理即可得出PC2=PA?PB，所以42=8PA，解得PA=2．設(shè)圓的半徑為R，則2+2R=8，解得R=3．在直角中，.所以.所以△的面積是. （12）某公司一年購買某種貨物噸，每次都購買噸，運費為萬元/次，一年的總存儲費用為 萬元，若要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次需購買 噸． 【答案】30 【解析】設(shè)公司一年的總運費與總存儲費用之和為萬元．買貨物600噸，每次都購買噸，。則需要購買的次數(shù)為次，因為每次的運費為3萬元，則總運費為萬元，所以，當且僅當，即時取等號，所以要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次需購買30噸． （13將一個質(zhì)點隨機投放在關(guān)于的不等式組所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi)，則該質(zhì)點到此三角形的三個頂點的距離均不小于的概率是　 ?。? 【答案】 【解析】畫出關(guān)于的不等式組所構(gòu)成的三角形區(qū)域，如圖．。三角形ABC的面積為。離三個頂點距離等于1的地方為三個小扇形，它們的面積之和為，所以該質(zhì)點到此三角形的三個頂點的距離均不小于的概率是。 （14）數(shù)列的前項組成集合，從集合中任取個數(shù)，其所有可能的個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記．例如當時，，，；當時，，，，.則當時，　 ?。辉噷懗觥? ?。? 【答案】, 【解析】當時，，，，，所以。由于，，，所以猜想。 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程. （15）（本小題滿分13分） 在△中， 所對的邊分別為，且. （Ⅰ）求函數(shù)的最大值； （Ⅱ）若，求b的值． （16）（本小題滿分14分） A D B C P E F G H 如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的大小； （Ⅲ）在線段上是否存在一點,使直線與直線 所成的角為？若存在，求出線段的長；若 不存在，請說明理由. （17）（本小題滿分13分） 為提高學生學習數(shù)學的興趣，某地區(qū)舉辦了小學生“數(shù)獨比賽”.比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級．從參加比賽的學生中隨機抽取了30名學生，并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)表： 成績等級 A B C D E 成績（分） 90 70 60 40 30 人數(shù)（名） 4 6 10 7 3 （Ⅰ）根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試估計從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“ 或”的概率； （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學生（參賽人數(shù)很多）中任選3人，記表示抽到成績等級為“或”的學生人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學期望； （Ⅲ）從這30名學生中，隨機選取2人，求“這兩個人的成績之差大于分”的概率． （18）（本小題滿分13分） 已知函數(shù)（），. （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍. （19）（本小題滿分14分） 已知橢圓的右焦點為，短軸的端點分別為,且. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于 點.設(shè)弦的中點為，試求的取值范圍． （20）（本小題滿分13分） 已知實數(shù)（）滿足，記． （Ⅰ）求及的值； （Ⅱ）當時，求的最小值； （Ⅲ）求的最小值． 注：表示中任意兩個數(shù),（）的乘積之和. 北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習 數(shù)學學科測試答案（理工類） xx.５ 一、選擇題： 題號 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 D B C A A C D D 二、填空題： 題號 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案 （注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答題： （15）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因為 . 因為為三角形的內(nèi)角，所以， 所以. 所以當，即時，取得最大值，且最大值為. ………6分 （Ⅱ）由題意知，所以． 又因為，所以，所以． 又因為，所以． 由正弦定理得，． …………13分 （16）（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：因為,分別為，的中點， 所以. 又平面，平面， 所以平面. …………4分 （Ⅱ）因為平面，， A D B C P E F G H z y x 所以平面， 所以，. 又因為四邊形是正方形， 所以. 如圖，建立空間直角坐標系， 因為, 所以，，， ，，． …………5分 因為，， 分別為，，的中點， 所以，，. 所以，. 設(shè)為平面的一個法向量，則,即， 再令，得.,. 設(shè)為平面的一個法向量,則, 即，令，得. 所以==. 所以平面與平面所成銳二面角的大小為. …………9分 （Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點,使直線與直線所成角為. 依題意可設(shè),其中. 由,則. 又因為,，所以. 因為直線與直線所成角為，， 所以=，即，解得. 所以，. 所以在線段上存在一點,使直線與直線所成角為，此時. ………………………………………14分 （17）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，從這30名學生中任選一人，分數(shù)等級為“或”的頻率為． 從本地區(qū)小學生中任意抽取一人，其“數(shù)獨比賽”分數(shù)等級為“ 或”的概率約為．……………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由已知得，隨機變量的可能取值為0，1，2，3． 所以； ； ； ． 隨機變量的分布列為 0 1 2 3 所以． ……………9分 （Ⅲ）設(shè)事件M：從這30名學生中，隨機選取2人，這兩個人的成績之差大于分． 設(shè)從這30名學生中，隨機選取2人，記其比賽成績分別為． 顯然基本事件的總數(shù)為． 不妨設(shè)， 當時，或或，其基本事件數(shù)為； 當時，或，其基本事件數(shù)為； 當時，，其基本事件數(shù)為； 所以． 所以從這30名學生中，隨機選取2人，這兩個人的成績之差大于分的概率為． ……………13分 （18）（本小題滿分1 3分） 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，.…………1分 ①當時，當變化時，，的變化情況如下表： 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，. …………3分 ②當時，當變化時，，的變化情況如下表： 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是. ……………5分 （Ⅱ）依題意，“當時，對于任意，恒成立”等價于 “當 時，對于任意， 成立”. 當時，由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 因為，，所以函數(shù)的最小值為. 所以應滿足. ……………………………………………………………6分 因為，所以. ……………7分 ①當時，函數(shù)，，， 顯然不滿足，故不成立. ……………8分 ②當時，令得，，. （?。┊敚磿r， 在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù). 由得，，所以. ……………10分 （ⅱ）當，即時, 在上，在上， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以. 由得，，所以. ……………11分 （ⅲ）當，即時,顯然在上， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，且. 顯然不成立，故不成立. ……………12分 綜上所述，的取值范圍是. ……………13分 （19）（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）依題意不妨設(shè)，，則，. 由，得.又因為， 解得. 所以橢圓的方程為. ……………4分 （Ⅱ）依題直線的方程為. 由得. 設(shè)，，則，. …………6分 所以弦的中點為. ……………7分 所以 . ……………9分 直線的方程為， 由，得，則， 所以. …………11分 所以. ……………12分 又因為，所以. 所以. 所以的取值范圍是. ………………………………………14分 （20）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由已知得． ． ……………3分 （Ⅱ）設(shè)． 當時，． 若固定，僅讓變動，此時， 因此． 同理． ． 以此類推，我們可以看出，的最小值必定可在某一組取值的所達到， 于是． 當（）時， ． 因為，所以，且當，時，． 因此． ……………8分 （Ⅲ）設(shè) . 固定，僅讓變動，此時 ， 因此． 同理． ． 以此類推，我們可以看出，的最小值必定可在某一組取值的所達到，于是． 當（）時， ． ①當為偶數(shù)時，， 若取，，則，所以． ②當為奇數(shù)時，因為，所以， 若取，，則， 所以． …………………………13分