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2019-2020年高三第二次統(tǒng)練 理科數(shù)學 含解析 一、選擇題.共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1.已知集合,則 A. B. C. D. 【答案】A 因為，所以,選A. 2.復數(shù) A. B. C. D. 【答案】B ,選B. 3.在極坐標系中,直線的方程為,則點到直線的距離為 A. B. C. D. 【答案】B 由得，即直線方程為。中，對應的直角坐標為 ，即直角坐標為。所以點到直線的距離為，選B. 4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的值為開始 輸出s 結束 否 是 A. B. C.4 D.5 【答案】A 第一次運行，滿足條件循環(huán)。第二次運行，滿足條件循環(huán)。第三次運行，滿足條件循環(huán)。第四次運行，滿足條件循環(huán)。此時不滿足條件，輸出，選A. 5.已知數(shù)列中,,等比數(shù)列的公比滿足,且,則 A. B. C. D. 【答案】B 因為，，所以，所以，即是公比為4的等比數(shù)列，所以，選B. 6.設變量滿足約束條件則的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 設，則。做出可行域如圖，平移直線，由圖象可知當直線經過點B時，直線截距最大，此時z最小。當經過點C時，直線的截距最小，此時z最大。直線2x+y-4=0與x+2y-2=0交于點C（2，0），代入直線得。直線4x-y+1=0與2x+y-4=0交于點B.代入直線得。所以，即，即，所以的取值范圍是，選C. 7.已知正三角形的邊長為1,點是邊上的動點,點是邊上的動點,且,則的最大值為 A. B. C. D. 【答案】D ,，所以當時，的最大值為，選D. 8.設,若直線與軸相交于點,與軸相交于點,且坐標原點到直線的距離為,則的面積的最小值為 A. B.2 C.3 D.4 【答案】C 由題意知。到直線的距離，即。因為，所以，當且僅當時取等號。此時面積的為，所以面積的最小值為3，選C. 二、填空題(本大題共6個小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中的橫線上) 9.的展開式中含的項的系數(shù)為 (用數(shù)字作答). 【答案】36 展開式的通項公式為，由，解得，所以，即的項的系數(shù)為36. 10.設的內角的對邊分別為,且,則 ,的面積 . 【答案】, 由得.所以.由正弦定理得，所以的面積為. 11.如圖,已知圓中兩條弦與相交于點是延長線上一點,且,若與圓相切,且,則 . 【答案】 由相交弦定理得BF?AF=DF?FC，因為，所以, 解得,所以.因為與圓相切，所以由切割線定理可得，即,解得. 12.一個幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的表面積為92m2,則 m. 正(主)視圖 側(左)主視圖 俯視圖 2 4 5 h 【答案】4 由三視圖可知該幾何體是一個底面是直角梯形的四棱柱，幾何體的表面積是：，即，解得。 13.已知雙曲線的離心率為,頂點與橢圓的焦點相同,那么該雙曲線的焦點坐標為 ,漸近線方程為 . 【答案】， 橢圓的焦點坐標為，所以雙曲線的頂點為，即，又，所以，解得，所以。所以雙曲線的焦點坐標為。雙曲線的漸近線方程為。 14.設定義在上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù),是的導函數(shù).當時,;當且時,.則函數(shù)在上的零點個數(shù)為 . 【答案】6 因為 且時，，所以，函數(shù)單調增，，函數(shù)單調減。因為時，，在同一坐標系中作出和草圖如下， 由圖知在上的零點個數(shù)為6個． 三、解答題(本大題共6小題,滿分80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分13分) 已知函數(shù). (I)求的值; (II)求函數(shù)的最小正周期及單調遞減區(qū)間. 16.(本小題滿分14分) 如圖,在長方體中,,為的中點,為的中點. (I)求證:平面; (II)求證:平面; (III)若二面角的大小為,求的長. 17.(本小題滿分13分) 為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是:. (I)求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù); (II)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動,再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望. 20 25 30 35 40 45 年齡/歲 頻率/組距 0.07 0.02 x 0.04 0.01 O 18.(本小題滿分13分) 已知函數(shù),其中為正實數(shù),. (I)若是的一個極值點,求的值; (II)求的單調區(qū)間. 19.(本小題滿分14分) 已知橢圓的兩個焦點分別為,且,點在橢圓上,且的周長為6. (I)求橢圓的方程; (II)若點的坐標為,不過原點的直線與橢圓相交于兩點,設線段的中點為,點到直線的距離為,且三點共線.求的最大值. 20.(本小題滿分13分) 已知函數(shù),其中為大于零的常數(shù),,函數(shù)的圖像與坐標軸交點處的切線為,函數(shù)的圖像與直線交點處的切線為,且. (I)若在閉區(qū)間上存在使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍; (II)對于函數(shù)和公共定義域內的任意實數(shù),我們把的值稱為兩函數(shù)在處的偏差.求證:函數(shù)和在其公共定義域內的所有偏差都大于2. 順義區(qū)xx屆高三第二次統(tǒng)練 數(shù)學試卷(理工類)參考答案 一、ABBA BCDC 二、9.36 10. 11. 12.4 13. 14.6 三、15.解:(I) .……………………………………………………………4分 (II),得 故的定義域為. 因為 , 所以的最小正周期為. 因為函數(shù)的單調遞減區(qū)間為, 由, 得, 所以的單調遞減區(qū)間為. ……………………………………………………………13分 16.(I)證明:在長方體中, 因為平面, 所以. 因為, 所以四邊形為正方形, 因此, 又, 所以平面. 又,且, 所以四邊形為平行四邊形. 又在上, 所以平面. ……………………………………………………………4分 (II)取的中點為,連接. 因為為的中點,所以且, 因為為的中點,所以, 而,且, 所以,且, 因此四邊形為平行四邊形, 所以,而平面, 所以平面. ……………………………………………………………9分 (III)如圖,以為坐標原點,建立空間直角坐標系,設, 則, 故. 由(I)可知平面, 所以是平面的一個法向量. x y z 設平面的一個法向量為, 則, 所以 令,則, 所以. 設與所成的角為,則 . 因為二面角的大小為, 所以,即, 解得, 即的長為1.……………………………………………………………14分 17.解:(I)因為小矩形的面積等于頻率, 所以除外的頻率和為0.70, .………………………………………………………3分 500名志愿者中,年齡在歲的人數(shù)為(人). (II)用分層抽樣的方法,從中選取20名, 則其中年齡“低于35歲”的人有12名, “年齡不低于35歲”的人有8名. 故的可能取值為0,1,2,3, , , , , 故的分布列為 0 1 2 3 所以. ……………………………………………………………13分 18.解:. (I)因為是函數(shù)的一個極值點, 所以, 因此, 解得. 經檢驗，當時，是的一個極值點，故所求的值為. ……………………………………………………………4分 (II) 令得……① (i)當,即時,方程①兩根為 . 此時與的變化情況如下表: 0 — 0 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以當時,的單調遞增區(qū)間為,; 的單調遞減區(qū)間為. (ii)當時,即時,, 即,此時在上單調遞增. 所以當時,的單調遞增區(qū)間為. ……………………………………………………………13分 19.解:(I)由已知得且, 解得, 又, 所以橢圓的方程為. ……………………………………………………………3分 (II)設. 當直線與軸垂直時,由橢圓的對稱性可知,點在軸上,且與點不重合, 顯然三點不共線,不符合題設條件. 故可設直線的方程為. 由消去整理得 .……………………………………………① 則, 所以點的坐標為. 因為三點共線,所以, 因為,所以, 此時方程①為,則, 所以 , 又, 所以, 故當時,的最大值為. ……………………………………………………………13分 20.解:(I)函數(shù)的圖像與坐標軸的交點為, 又,. 函數(shù)的圖像與直線的交點為, 又,. 由題意可知,, 又,所以.……………………………………………………3分 不等式可化為, 即. 令,則, . 又時,, , 故, 在上是減函數(shù), 即在上是減函數(shù), 因此,在閉區(qū)間上,若存在使不等式成立, 只需, 所以實數(shù)的取值范圍是.…………………………………8分 (II)證明:和公共定義域為,由(I)可知,. . 令,則, 在上是增函數(shù), 故,即.① 令,則, 當時,;當時,, 有最大值,因此.② 由①②得,即. 又由①得, 由②得, , , 故函數(shù)和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.