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2019-2020年高三上學期期末考試 理科數(shù)學 含解析 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r間120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。 一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1.已知集合，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為，所以，選C. 2. 設(shè)，（為虛數(shù)單位），則的值為 A. 0 B. 2 C.3 D. 4 【答案】B 【解析】,所以，所以，選B. 3. “”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】為奇函數(shù)，則有,所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分而不必要條件，選A. 4. 設(shè)，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因為，所以，，所以，選D. 5. 已知圓，直線，則與的位置關(guān)系是 A.一定相離 B.一定相切 C.相交且一定不過圓心 D.相交且可能過圓心 【答案】C 【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑為。直線恒過定點，圓心到定點的距離，所以定點在圓內(nèi)，所以直線和圓相交。定點和圓心都在直線上，且直線的斜率存在，所以直線一定不過圓心，選C. 6. 若正三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由三視圖可知，三棱柱的高為1，底面正三角形的高為，所以正三角形的邊長為2，所以三棱柱的側(cè)面積為，兩底面積為，所以表面積為，選D. 7. 已知函數(shù)是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】當時，，所以，即函數(shù)在點處的切線為，做出區(qū)域D,如圖由得。平移直線，由圖象可知當直線經(jīng)過點C時，直線的截距最小，此時最大，代入得，選B. 8.對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則= A. B. 1 C. D.1或 【答案】D 【解析】因為,且和都在集合中,所以,,所以,且故有,選D. 【另解】,,兩式相乘得,因為,均為正整數(shù),于是,所以,所以,而,所以或,于是,選D. 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9. = . 【答案】 【解析】. 10.的展開式中的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答） 【答案】10 【解析】展開式的通項公式為，所以當時，，即展開式中的系數(shù)是10. 11.在△ABC中，角所對的邊分別為，則 ，△ABC的面積等于 . 【答案】 【解析】由余弦定理得，即，解得或（舍去）。所以。 12.閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的值為 . 【答案】9 【解析】本程序計算的是等比數(shù)列的前項和，即,因為當時，，當時，，所以輸出，此時。 13. 某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入運營，據(jù)市場分析每輛客車運營前 年的總利潤（單位：萬元）與之間的關(guān)系為.當每輛客車運營的平均利潤最大時， 的值為 . 【答案】 【解析】由題意知年平均利潤，因為，當且僅當，即時取等號。所以，所以。 14. 已知，給出以下兩個命題： 命題：函數(shù)存在零點； 命題：，不等式恒成立. 若是假命題，是真命題，則的取值范圍為 . 【答案】 【解析】函數(shù)存在零點，則，成立，即有解，所以，，即，。設(shè)，則要使不等式恒成立，則有即可。則，而函數(shù)，所以必有，即。所以，。又是假命題，是真命題，所以一真一假。若真假，則，，此時。若真假，則，，此時，綜上的取值范圍為或，即。 三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程. 15.（本小題滿分13分）已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. 16. （本小題滿分14分）在長方體中，，，為中點. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得∥平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由. 17. （本小題滿分13分）在某校組織的一次籃球定點投籃測試中，規(guī)定每人最多投次，每次投籃的結(jié)果相互獨立.在處每投進一球得分，在處每投進一球得分，否則得分. 將學生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于分就認為通過測試，立即停止投籃，否則繼續(xù)投籃，直到投完三次為止.投籃的方案有以下兩種：方案1：先在處投一球，以后都在處投；方案2：都在處投籃.甲同學在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為. （Ⅰ） 甲同學選擇方案1. ① 求甲同學測試結(jié)束后所得總分等于4的概率； ② 求甲同學測試結(jié)束后所得總分的分布列和數(shù)學期望； （Ⅱ）你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由. 18. (本小題滿分13分)已知函數(shù) . （Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求的值； （Ⅱ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性. 19. (本小題滿分14分)已知數(shù)列的前項和為,且 . （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值； （Ⅲ）設(shè)是否存在，使得 成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 20.（本小題滿分13分）已知函數(shù),若存在，使得,則稱是函數(shù)的一個不動點，設(shè)二次函數(shù). (Ⅰ) 當時，求函數(shù)的不動點； (Ⅱ) 若對于任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個不同的不動點，求實數(shù)的取值范圍； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數(shù)的圖象上兩點的橫坐標是函數(shù)的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數(shù)的取值范圍. 房山區(qū)高三年級第一學期期末練習參考答案 數(shù) 學 （理科） xx.01 一、 選擇題： 1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D 二、 填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 數(shù)形結(jié)合 三、解答題: 本大題共6小題,共80分. 15（本小題滿分13分） （Ⅰ）由 ………………1分 得 ………………3分 所以函數(shù)的定義域為 ……………4分 （Ⅱ） = ……………8分 = ……………10分 所以 ……………13分 16. （本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：連接 ∵是長方體， ∴平面， 又平面 ∴ ………………1分 在長方形中， ∴ ………………2分 又 ∴平面， ………………3分 而平面 ∴ ………………4分 （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則 , 設(shè)平面的法向量為，則 令，則 ………………7分 ………………9分 所以 與平面所成角的正弦值為 ………………10分 （Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點，使得∥平面. 設(shè)的坐標為，則 因為 ∥平面 所以 ， 即， ，解得， ………………13分 所以 在棱上存在一點，使得∥平面,此時的長.……14分 17. （本小題滿分13分） （Ⅰ）在處投籃命中記作,不中記作；在處投籃命中記作,不中記作； ① 甲同學測試結(jié)束后所得總分為4可記作事件,則 ………………2分 ②的所有可能取值為，則 ………………6分 的分布列為： 0 2 3 4 0.02 0.16 0.5 0.32 ………………7分 ， ………………9分 （Ⅱ）甲同學選擇方案1通過測試的概率為，選擇方案2通過測試的概率為 , = 因為 所以 甲同學應(yīng)選擇方案2通過測試的概率更大 ………………13分 18. （本小題滿分13分） （Ⅰ） ………………1分 依題意有， ………………3分 解得， ………………5分 經(jīng)檢驗， 符合題意， 所以， (Ⅱ) 當時， 當時， 解， 得 當時，；當時， 所以減區(qū)間為，增區(qū)間為. ………………7分 當時，解， 得， ………………9分 當時， 當或時，；當時， 所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為. ………………11分 當時， 當或時，；當時， 所以增區(qū)間為，減區(qū)間為,. ………………13分 綜上所述：當時, 減區(qū)間為，增區(qū)間為； 當時, 增區(qū)間為，，減區(qū)間為； 當時, 增區(qū)間為，減區(qū)間為，. 19（本小題滿分14分） （Ⅰ）當時, ……………… 1分 當時, .…… 2分 而當時, ∴． ………………4分 （Ⅱ） ∴…… ………………7分 ∵ ∴單調(diào)遞增，故． ………………8分 令，得，所以. ……………… 10分 （Ⅲ） （1）當為奇數(shù)時，為偶數(shù)， ∴，． ………………1 2分 （2）當為偶數(shù)時，為奇數(shù)， ∴，（舍去）． 綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立． ……………………1 4分 20. （本小題滿分13分） (Ⅰ) 當時，，解 …2分 得 所以函數(shù)的不動點為 ……3分 （Ⅱ）因為 對于任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個不同的不動點， 所以 對于任意實數(shù)，方程恒有兩個不相等的實數(shù)根， 即方程恒有兩個不相等的實數(shù)根， ………4分 所以 ………5分 即 對于任意實數(shù)， 所以 ……………………7分 解得 …………………8分 （Ⅲ）設(shè)函數(shù)的兩個不同的不動點為，則 且是的兩個不等實根， 所以 直線的斜率為1，線段中點坐標為 因為 直線是線段的垂直平分線， 所以 ，且在直線上 則 ……………………10分 所以 當且僅當時等號成立 …………………12分 又 所以 實數(shù)的取值范圍. …………13分