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2019-2020年高一數學 等差數列的前n項和 第五課時 第三章 ●課 題 §3.3.1 等差數列的前n項和(一) ●教學目標 （一）教學知識點 等差數列前n項和公式：Sn=. (二)能力訓練要求 1.掌握等差數列前n項和公式及其獲取思路. 2.會用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題. （三）德育滲透目標 1.提高學生的推理能力. 2.增強學生的應用意識. ●教學重點 等差數列前n項和公式的推導、理解及應用. ●教學難點 靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題. ●教學方法 啟發(fā)引導法 結合所學知識，引導學生在解決實際問題的過程中發(fā)現新知識，從而理解并掌握. ●教具準備 幻燈片一張：記作§3.3.1 A 例:如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆? ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］經過前面的學習，我們知道，在等差數列中： （1）an－an－1=d(n≥1)，d為常數. （2）若a，A，b為等差數列，則A=. （3)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均為正整數） Ⅱ.講授新課 ［師］隨著學習數列的深入，我們經常會遇到這樣的問題. （打出幻燈片§3.3.1 A） 這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數與層數的關系，而且可以用一個式子來表示這種關系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數.那么，這個V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個問題又該如何解決呢？經過分析，我們不難看出，這是一個等差數求和問題？ 首先，我們來看這樣一個問題：1+2+3+…+100=？ 對于這個問題，著名數學家高斯10歲時曾很快求出它的結果，你知道他是怎么算的嗎？ 高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101， 第2項與倒數第2項的和：2+99=101， 第3項與倒數第3項的和：3+98=101， …… 第50項與倒數第50項的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050. 這個問題，它也類似于剛才我們所遇到的問題，它可以看成是求等差數列1，2，3，…，n,…的前100項的和.在上面的求解中，我們發(fā)現所求的和可用首項、末項及項數n來表示，且任意的第k項與倒數第k項的和都等于首項與末項的和，這就啟發(fā)我們如何去求一般等差數列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式，那么上述問題便可迎刃而解. 設等差數列{an}的前n項和為Sn，即Sn=a1+a2+…+an, ① 把項的次序反過來，Sn又可寫成Sn=an+an－1+…+a1 ② ①+②2Sn=(a1+an)+(a2+an－1)+…+(an+a1) 又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1, ∴2Sn=n(a1+an), 即：Sn= 若根據等差數列{an}的通項公式，Sn可寫為：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把項的次序反過來，Sn又可寫為：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d ②],把①、②兩邊分別相加，得2Sn= =n(a1+an), 即：Sn=. 由此可得等差數列{an}的前n項和的公式Sn=. 也就是說，等差數列的前n項和等于首末兩項的和與項數乘積的一半. 用這個公式來計算1+2+3+…+100=？我們有S100==5050. 又∵an=a1+(n－1)d, ∴Sn= = =na1+d ∴Sn=或Sn=na1+d 有了此公式，我們就不難解決最開始我們遇到的問題，下面我們看具體該如何解決？ （打出幻燈片§3.3.1A） ［師］分析題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自上而下各層的鉛筆成等差數列，可記為{an}，其中a1=1,a120=120,n=120. ［生］解：設自上而下各層的鉛筆成等差數列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120. 則：S120==7260 答案：這個V形架上共放著7260支鉛筆. 下面我們再來看一例題： 等差數列－10,－6,－2,2，…前多少項的和是54? 分析：先根據等差數列所給出項求出此數列的首項，公差，然后根據等差數列的求和公式求解. 解：設題中的等差數列為{an}，前n項為的Sn，由題意可知：a1=－10,d=(－6)－(－10)=4，Sn=54 由等差數列前n項求和公式可得： －10n+×4=54 解之得：n1=9,n2=－3(舍去) 答案：等差數列－10,－6,－2,2,…前9項的和是54. Ⅲ.課堂練習 ［生］練習課本P120練習1，2，3. 1.根據下列各題中的條件，求相應的等差數列{an}的Sn; (1)a1=5,an=95,n=10; 解：由Sn=,得Sn==500. (2)a1=100,d=－2,n=50; 解：由Sn=na1+d, 得S50=50×100×+×(－2)=2550. (3)a1=14.5,d=0.7,an=32 解：由an=a1+(n－1)d, 得32=14.5+(n－1)×0.7, 解之得n=26 由Sn=na1+d, 得S26=26×14.5+×0.7=604.5 評述：要熟練掌握等差數列求和公式的兩種形式，以便根據題目所給條件靈活選用而求解. 2.（1）求正數數列中前n個數的和. 解：由題意可知正整數列為：1，2，3，…，n,…, ∴Sn= (2)求正整數列中前n個偶數的和. 解：由題意可知正整數數列為：1，2，3，…，n,…,其中偶數可組成一新數列為：2，4，6，…2n,…，設正整數列中前n個偶數的和為Sn，則Sn==n(n+1). 評述：首先要理解題意，然后綜合使用公式而求解. 3.等差數列5，4，3，2，…前多少項的和是－30？ 解：由題意可知，a1=5,d=4－5=－1. 由Sn=na1+d, 得－30=5n+×(－1), 解之得：n1=15,n2=－4(舍去) 評述：利用方程思想，解決一些簡單的相關問題. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，要熟練掌握等差數列前n項和公式: Sn=及其獲取思路. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P120習題3.3 1，2 （二）1.預習內容：課本P117～P119 2.預習提綱：如何靈活應用等差數列求和公式解決相關問題? ●板書設計 §3.3.1 等差數列的前n項和(一) 等差數列求和公式： Sn= =na1+d 推導過程 例題