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1、1 第 2部分 有限元分析及應(yīng)用 Finite Element Analysis and Applications 2 第 6章 有限元法的基本概念 3 在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi) ， 經(jīng)常會(huì)遇到兩類典型的問題 。 第一 類問題 ， 可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合 。 例如 ， 材料 力學(xué)中的連續(xù)梁 、 建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu) 。 這類問題稱為 離散系統(tǒng) 。 如下圖所示平面桁架結(jié)構(gòu) ， 是由 6個(gè)承受軸向力 的 “ 桿單元 ” 組成 。 6.1 工程和科學(xué)中典型問題 4 第二類問題 ， 通常可以建立它們應(yīng)遵循的基本方程 ， 即微分 方程和相應(yīng)的邊界條件 。 例如彈性力學(xué)問題 ， 熱傳導(dǎo)問題等 。 由于

2、建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元 ， 這類問 題稱為 連續(xù)系統(tǒng) ， 或場問題 。 盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的 基本方程 ， 由于邊界條件的限 制 ， 通常只能得到少數(shù)簡單問 題的精確解答 。 對于許多實(shí)際 的工程問題 ， 還無法給出精確 的解答 。 為解決這個(gè)困難 ， 工 程師們和數(shù)學(xué)家們提出了許多 近似方法 。 6.1 工程和科學(xué)中典型問題 5 6.2 場問題的一般描述 ( ) ( ) ( ) 0 A k k Qx x y y 內(nèi) q 0 ( ) 0 B kq n 上 上 實(shí)例：二維熱傳導(dǎo)（穩(wěn)態(tài)）問題 原理：從兩個(gè)方向傳入微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源 產(chǎn)生的熱量 Q平衡 基本方程： 邊

3、界條件： 6 6.3 場問題的求解策略及方法 6.3.1 求解策略 1、直接法：求解基本方程和相應(yīng)定解條件的解； 2、間接法：基于變分原理，構(gòu)造基本方程及相應(yīng)定解條件 的泛函形式，通過求解泛函的極值來獲得原問題的近似解。 即將微分形式轉(zhuǎn)化與其等價(jià)的泛函變分的積分形式。 6.3.2 求解方法 1、解析或半解析法： 2、數(shù)值法： A）基于直接法的數(shù)值法，如差分法； B）基于間接法的數(shù)值法，如等效積分法（如里茲法）、 有限元法等。 7 特 點(diǎn) 優(yōu)缺點(diǎn) 差分法 均勻離散求解域；差分代替微分；解代 數(shù)方程組 要求規(guī)則邊界，幾何形狀 復(fù)雜時(shí)精度低 等效積分法 （加權(quán)余量 法或泛函變 分法） 整體場函數(shù)用近

4、似函數(shù)代替；（近似函 數(shù)常為含 n個(gè)待定系數(shù)的多項(xiàng)式，）微 分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn)化為某 個(gè)泛函的變分， -求極值問題，（利用 極值條件建立 n個(gè)代數(shù)方程），解代數(shù) 方程組 適合簡單問題，復(fù)雜問題 很難解決 有限元法 可非均勻離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近 似整體未知場函數(shù)；解線性方程組。有 限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍是變分法（同上）。 節(jié)點(diǎn)可任意配置，邊界適 應(yīng)性好；適應(yīng)任意支撐條 件和載荷；計(jì)算精度與網(wǎng) 格疏密和單元形態(tài)有關(guān)， 精度可控。對裂縫和無限 域的分析存在不足 數(shù)值計(jì)算方法分類 8 先將 求解域離散 為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié) 點(diǎn)相互連接； -即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集合 近似

5、代替 每個(gè)單元選擇一個(gè)簡單的場函數(shù)近似表示真實(shí)場函 數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理 量來表示 -通常稱為 插值函數(shù)或位移函數(shù) 基于問題的基本方程，建立 單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程 （即單 元?jiǎng)偠确匠蹋?借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成 整 體的剛度方程 ，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形 方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。 6.4 有限元法基本思想 9 節(jié)點(diǎn) 單元 i u ( ) ii i x y mx F my F x y ( ) jj j x y j u j v ( ) mm m x y m u m v i v iy F ix F 整 體 平 衡 分 片 近 似

6、單 元 平 衡 結(jié) 構(gòu) 離 散 方 程 求 解 問 題 分 析 力 學(xué) 模 型 節(jié) 點(diǎn) 單 元 位 移 函 數(shù) 單 剛 方 程 總 剛 方 程 節(jié) 點(diǎn) 位 移 有限元法基本思想 10 1 2 3 X2 Y2 節(jié)點(diǎn)位移向量表示： 節(jié)點(diǎn)力向量表示： 節(jié)點(diǎn) 1沿 x方向的位移 、 其余節(jié)點(diǎn)位移全為 0時(shí)軸向壓力 為： 1 1 1 1 11 1 2 2 , , , Tu v u v 1 1 1 1 11 1 2 2 , , , Tx y x yF F F F F 1 2 1 2x F 1 2y F 1 1x F 1 1y F 2 2y F 2 3y F 2 3 1 2 u 1 2 v 1 1 u 1

7、1 v 2 2x F 2 3x F 11 1u 1 1 11 c os()E A E AFl ll 實(shí)例 1: (1) 求右圖離散結(jié)構(gòu) 2的點(diǎn)位移 11 12 11 1 c osEAk l 121 1 c os sinEAk l 同理，節(jié)點(diǎn) 2作用于單元 1上的力，其大小與之相等，方 向相反， x和 y方向的分量分別記為： 12 31 1 c osEAk l 141 1 c os sinEAk l 注： 表示第 e個(gè)單元的第 j個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移，而其它 自由度上的位移為零時(shí)，第 i個(gè)自由度上所受的力。常稱其 為單元的剛度系數(shù)。 eijk 實(shí)例 1: (2)單元分析 節(jié)點(diǎn) 1作用于單元 1上

8、的力，在 x和 y方向的分量分別為： 12 1 1 12 1 2u v v、 、 單元 2節(jié)點(diǎn)力平衡方程 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 1 13 2 14 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 22 1 23 2 24 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 1 32 1 33 2 34 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 41 1 42 1 43 2 44 2 1 1 1 x y x y FK F k u k v k u k v F k u k v k u k v F k u k v k u k v F k u k v k u k

9、v 記 為 矩 陣 形 式 : 1 1 1 11 1 2 2, , ,x y x yF F F F 1 1 1 11 1 2 2, , ,u v u v 2 2 2 FK 1 2 1 2x F 1 2y F 1 1x F 1 1y F 2 2y F 2 3y F 2 3 1 2 u 1 2 v 1 1 u 1 1 v 2 2x F 2 3x F 實(shí)例 1: (2)單元分析 同理可求 分別作單位位移時(shí)相應(yīng)的剛度系數(shù)，考慮 到節(jié)點(diǎn)的實(shí)際受力為 和實(shí)際位移 為 ，則據(jù)各個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力平衡得： 13 11 11 eex i y i ee F X F Y 結(jié)合前式推導(dǎo)得： 1 1 1 1 1111 12

10、13 14 1 1 1 1 1121 22 23 24 1 1 1 2 1 2 2 2 2231 32 33 11 31 12 13 14 1 1 1 2 1 2 2 2 241 42 43 21 44 22 23 24 2 2 2 2 331 32 33 34 2 2 2 2 341 42 43 44 00 00 00 00 uXk k k k vYk k k k uXk k k k k k k k vYk k k k k k k k uk k k k vk k k k 2 3 3 X Y 1 2 3 X2 Y2 實(shí)例 1: (3)整體分析 整體分析： 作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上 的節(jié)點(diǎn)力平衡，即 1

11、4 KR 1 1 3 3 0u v u v 1 2 1 2 2233 11 34 12 1 2 1 2 2243 21 44 22 uXk k k k vYk k k k 整體矩陣記為： 1 2 3 X2 Y2 求解上述整體方程，可得問題的節(jié) 點(diǎn)位移。 實(shí)例 1: (4)引入約束求解 將 代入可得整體方程 15 L x L-x L 3 L 3 L 3 0 u dx X N N N x (a) (b) (c) 圖 2-1 EA qa 2 5 2 EA qa 2 8 2 EA qa 2 9 2 3 L a 實(shí)例 2 連續(xù)問題 例：求等截面直桿在自重作用下的拉伸。 圖 (a)中單位 桿長重量為 q，

12、桿長為 L，截面面積為 A，彈性模數(shù)為 E。 16 N ( x) dx q( L x) dx ( dx ) E A E A 2 x x 0 0 N ( x ) d x q ( L x ) d x q xu ( L x ) E A E A E A 2 x du q ( L X ) dX E A xx q E ( L X ) EA 實(shí)例 2 材料力學(xué)方法求解直桿拉伸： 考慮微段 dx， 內(nèi)力 N=q (L-x) dx的伸長為 ： x截面上的位移： 根據(jù)幾何方程求應(yīng)變，物理方程求應(yīng)力。這里 應(yīng)變 ： 應(yīng)力： 17 1 L 2 L i L 1i L 1 圖 2-2 n n-1 i+1 i i-1 2

13、i L 1 i L + 圖 2-3 i+1 i i-1 2 ) L L ( q 1 i i + + 1、離散化 2、外載荷集中到結(jié)點(diǎn)上，即把陰 影部分的重量作用在結(jié)點(diǎn) i上 實(shí)例 2 （ 1）結(jié)構(gòu)離散 有限單元法求解直桿拉伸： 直接公式法 18 i L 圖 2-4 i i-1 X u x 1i x 1i u )x( u i u 1 11 ( ) ( )ii ii i uuu u x u X X L i1 x i udu dx L iu i1 i uE ( ) L i ii uE 1 ( )ii ii i uuN A A E L 1 1 1 ( )iii i uuN A E L 實(shí)例 2 （ 2

14、）單元分析 3、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù) 19 4、以 i結(jié)點(diǎn)為對象，列力的平衡方程 令 將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得 i N 1i N 圖 2-5 i 2 )LL( q 1ii 0 xF 1 i i 1 ( ) 2 iiq L LNN 1 i i i L L 2 i - 1 i i 1 1( 1 ) ( 1 ) 2i i ii qu u u L EA 用結(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，其中 i=1， 2， n 有 n個(gè) 方程未知數(shù)也有 n個(gè)，解方程組，得出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而計(jì)算 應(yīng)力 。 實(shí)例 2 （ 2）單元分析 20 假設(shè)線單元數(shù)為 3個(gè)的情況， 平衡方程有 3個(gè)： i=1時(shí)， i=2時(shí) , i=3

15、時(shí)， 聯(lián)立解得 ： a L 1 = a L 3 = a L 2 = 0 u 1 u 2 u 3 u 0 1 2 3 圖 2-6 2 1 22 qu u a EA 2 1 2 3 2 qu u u a EA 2 2 3 2 qu u a EA 2 1 5 qa 2 EAu 2 2 8 qa 2 EAu 2 3 9 q a 2 E Au 與材料力學(xué)的精確解答在結(jié)點(diǎn)處完全相同。 實(shí)例 2 （ 3）整體分析與求解 21 P P 力學(xué)模型 (平面應(yīng)力問題 ) 微分方程 + 邊界條件 有限元模型 代數(shù)方程組 （基本變量節(jié) 點(diǎn)位移） 6.5 有限元法的基本步驟 所研究問題的數(shù)學(xué)建模 (問題分析 ) 結(jié)構(gòu)離散

16、 單元分析 (位移函數(shù)、單剛方程 ) 整體分析與求解 (總剛方程與求解 ) 結(jié)果分析及后處理 22 在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種 不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可 以回顧到二十世紀(jì) 50年代，來源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展 和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。從固體力學(xué)的角度來看，桁 架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在 結(jié)構(gòu)上存在相似性。 1956年，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。把結(jié)構(gòu)劃 分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)， 求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?1960年， Clough

17、在他的名為“ The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（ finite element）這 一術(shù)語。 6.6 有限單元法的發(fā)展 23 數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法 ， 包括有限差分 方法 ， 變分原理和加權(quán)余量法 。 在 1963年前后 ， 經(jīng)過 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（ 卞學(xué)磺 ） 等許多人的工作 ， 認(rèn)識(shí)到 有限元法就是變分原理中 Ritz近似法的一種變形 ， 發(fā)展了用 各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式 。 19

18、65年 O.C.Zienkiewicz和 Y.K.Cheung（ 張佑啟 ） 發(fā)現(xiàn)只 要能寫成變分形式的所有場問題 ， 都可以用與固體力學(xué)有限 元法的相同步驟求解 。 1969年 B.A.Szabo和 G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別 是 Galerkin法 ， 導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題 。 有限單元法的發(fā)展 24 我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多 貢獻(xiàn) ， 其中比較著名的有：陳伯屏 （ 結(jié)構(gòu)矩陣方法 ） ， 錢令 希 （ 余能原理 ） ， 錢偉長 （ 廣義變分原理 ） ， 胡海昌 （ 廣義 變分原理 ） ， 馮康 （ 有限單元法理論 ） 。 遺憾的是 ， 從

19、 1966 年開始的近十年期間 ， 我國的研究工作受到阻礙 。 有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析 ， 還能解決歸結(jié)為場問題 的工程問題 ， 從二十世紀(jì)六十年代中期以來 ， 有限元法得到 了巨大的發(fā)展 ， 為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具 。 有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法 。 可廣泛應(yīng)用于各種微分方 程描述的場問題的求解 。 有限單元法的發(fā)展 25 結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)是彈性力學(xué)，而方程求解的原理 是泛函極值原理，實(shí)現(xiàn)的方法是數(shù)值離散技術(shù)，最后的技術(shù)載體 是有限元分析軟件。因此學(xué)習(xí)時(shí)，必須掌握的基本內(nèi)容應(yīng)包括： 1、基本變量和力學(xué)方程（即彈性力學(xué)的基本概念） ; 2、數(shù)學(xué)求解原理（即能量原理）

20、; 3、離散結(jié)構(gòu)和連續(xù)結(jié)構(gòu)的有限元分析實(shí)現(xiàn)（即有限元法的基本 步驟） ; 4、有限元法的應(yīng)用（即有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域或工程問題研究） ; 5、各種分析建模技巧及計(jì)算結(jié)果的評判 ; 6、典型分析軟件的使用。 注意：會(huì)使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具 6.7 有限元法的基本內(nèi)容 26 CAD CAE CAM 設(shè)計(jì)修改或優(yōu)化 運(yùn) 動(dòng) 性 能 力 學(xué) 性 能 可 靠 性 數(shù)字樣件 性能分析 數(shù)字加工 應(yīng)力 變形 固有頻率 有 限 元 分 析 在大力推廣 CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所 有的設(shè)計(jì)制造都離不開有限元分析計(jì)算， FEA在工程設(shè)計(jì)和 分析中將得到越來越廣泛的重視。 6.8 有限

21、元法的應(yīng)用 27 應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器數(shù)字模型及 FEA網(wǎng)格 28 應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器性能分析 29 30 亞洲第一，世界第二起重船 高 70米 起重 3500噸 應(yīng)用實(shí)例： 東海大橋和杭州灣大橋用起重船 31 應(yīng)用實(shí)例： 起重機(jī)和扁擔(dān)梁模型 32 面板剛度提高 2.8倍 ,質(zhì)量減少 35%,整體厚度下降 CAD模 型 CAE分析 結(jié)構(gòu)優(yōu)化 工藝設(shè)計(jì)后的產(chǎn)品 應(yīng)用實(shí)例：面板剛性增強(qiáng)設(shè)計(jì) 33 34 35 結(jié)構(gòu)離散（有限元建模） 內(nèi)容： 1）網(wǎng)格劃分 -即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元 2）邊界處理 -即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理 為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷。 要求： 1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形

22、-單元的幾何特性； 2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同 -單元的物理特性。 6.9 有限元法的幾個(gè)基本概念 36 1 2 3 X2 Y2 節(jié)點(diǎn)載荷 1 2y F 1 1y F 1 2 1 2x F 1 1x F 2 2y F 2 3y F 2 3 2 2x F 2 3x F 節(jié)點(diǎn)力 單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足 一定幾何特性和物理特性的最小結(jié) 構(gòu)域。 節(jié)點(diǎn)：單元與單元間的連接點(diǎn)。 節(jié)點(diǎn)力：單元與單元間通過節(jié)點(diǎn) 的相互作用力。 節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。 注意： 1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相鄰單元的作用通過 節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力， 這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差 別

23、； 2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別。 單元與節(jié)點(diǎn) 37 單元類型 單元圖形 節(jié)點(diǎn)數(shù) 節(jié)點(diǎn)自由度 桿單元 2 1 梁單元 2 3 平面單元 3 2 平面四邊形 4 2 軸對稱問題 3 2 板殼單元 4 3 四面體單元 4 3 典 型 單 元 類 型 38 用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場）的近似函數(shù)。 由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值構(gòu)成，故稱為插值 函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。 選擇位移函數(shù)的一般原則： 1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部 是連續(xù)的）； 2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。 為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式

24、形式， 在單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近 似解 6.10 插值函數(shù)（或位移函數(shù)） 39 2 0 1 1( ) . n nu x x x x i 2 0 1 2 ( ) 1 . . n T n ux x x x 簡 記 為 6.11 位移函數(shù)的構(gòu)造方法 (1)廣義坐標(biāo)法 : 一維單元位移函數(shù)： 為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo) 40 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) n ii u x N x u N x u N x u 如一維單元 : 二維單元 : 注： Ni可為 Lagrange、 Hamiton多項(xiàng)式或形函數(shù)， 在 +1 -1間變化 1 1 ( , ) (

25、, ) n ii n ii u x y N u v x y N v (2)插值函數(shù)法 : 即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知 插值基函數(shù)積的和。 6.12 位移函數(shù)的構(gòu)造方法 41 影響有限元解的誤差： 1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差 收斂準(zhǔn)則： 1）位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線形項(xiàng)）； 2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項(xiàng)）； 3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）； 4）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）。 注：上述四個(gè)條件稱為有限元解收斂于真實(shí)解的充分條件； 前三個(gè)條件稱為必要條件。滿足四個(gè)條件的位移函數(shù)構(gòu)成的 單元稱為協(xié)調(diào)元；滿足前三個(gè)條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿 足前兩個(gè)條件的單元稱為完備元。 6.13 有限元法的收斂準(zhǔn)則