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1、 教學(xué)目標(biāo) 1. 弄清曲線(xiàn)參數(shù)方程的概念 2. 能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線(xiàn) 的參數(shù)方程 教學(xué)重點(diǎn) 曲線(xiàn)參數(shù)方程的定義及方法 如圖 ,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面 500m高處以 100m/s 的速度作水平直線(xiàn)飛行 . 為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi) 區(qū)指定的地面 (不記空氣阻力 ),飛行員應(yīng)如何確定投放 時(shí)機(jī)呢？ 提示： 即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離 多遠(yuǎn)時(shí)，開(kāi)始投放物資？ ？ 救援點(diǎn) 投放點(diǎn) x y 500 o 物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成： （ 1）沿 ox作初速為 100m/s的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)； （ 2）沿 oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。 如圖 ,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面 500m高

2、處以 100m/s 的速度作水平直線(xiàn)飛行 . 為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi) 區(qū)指定的地面 (不記空氣阻力 ),飛行員應(yīng)如何確定投放 時(shí)機(jī)呢？ x y 500 o 0,y 令 1 0 .1 0 .ts得 1 0 0 , 1 0 1 0 .x t x m代 入 得 . 1010 所 m以 ， 飛 行 員 在 離 救 援 點(diǎn) 的 水 平 距 離 約 為 時(shí) 投 放 物 資 ， 可 以 使 其 準(zhǔn) 確 落 在 指 定 位 置 tx y 解 ： 物 資 出 艙 后 ， 設(shè) 在 時(shí) 刻 ， 水 平 位 移 為 ， 垂 直 高 度 為 ， 所 以 2 1 0 0 , 1 5 0 0 . 2 xt y g t

3、)2（ g=9.8m/s 如圖 ,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面 500m高處以 100m/s 的速度作水平直線(xiàn)飛行 . 為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi) 區(qū)指定的地面 (不記空氣阻力 ),飛行員應(yīng)如何確定投放 時(shí)機(jī)呢？ 讀教材 填要點(diǎn) 1 參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x ， y 都是某 個(gè)變數(shù) t 的函數(shù) x f t ， y g t ， ，并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程 組 所確定的點(diǎn) M ( x ， y ) ，那么 叫做 這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程 聯(lián)系變量 x ， y 的 叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù) 2 普通方程 相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出 的方程叫做 普通方程 都在這條曲線(xiàn)上

4、 方程組 變數(shù) t 點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系 小問(wèn)題 大思維 1 參數(shù)方程中的參數(shù) t 是否一定有實(shí)際意義？ 2 曲線(xiàn)的參數(shù)方程一定是唯一的嗎？ 提示： 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù) x， y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義 或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù) 提示： 同一曲線(xiàn)選取參數(shù)不同，曲線(xiàn)參數(shù)方程形式也不一 樣如 x 4 t 1 y 2 t t R 和 x 2 m 1 y m ( m R) 都表示直線(xiàn) x 2 y 1. 研一題 例 1 已知曲線(xiàn) C 的參數(shù)方程是 x 2 t y 3 t 2 1 ( t 為參數(shù) ) (1) 判斷點(diǎn) M 1 (0 ， 1) 和 M 2 (4,10) 與曲線(xiàn) C 的位置關(guān)系

5、； (2) 已知點(diǎn) M (2 ， a ) 在曲線(xiàn) C 上，求 a 的值 精講詳析 本題考查曲線(xiàn)的參數(shù)方程及點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān) 系解答此題需要將已知點(diǎn)代入?yún)?shù)方程，判斷參數(shù)是否存在 (1) 把點(diǎn) M 1 的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程 x 2 t， y 3 t 2 1 ， 得 0 2 t 1 3 t 2 1 ， t 0. 即點(diǎn) M 1 在曲線(xiàn) C 上 把點(diǎn) M 2 的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程 x 2 t， y 3 t 2 1 ， 得 4 2 t 10 3 t 2 1 ，方程組無(wú)解 即點(diǎn) M 2 不在曲線(xiàn) C 上 (2) 點(diǎn) M (2 ， a ) 在曲線(xiàn) C 上， 2 2 t， a 3 t 2 1. t 1 ， a 3

6、 1 2 1 2. 即 a 的值為 2. 悟一法 已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程，判斷某點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上，就是將點(diǎn) 的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)的參數(shù)方程，然后建立關(guān)于參數(shù)的方程組，如 果方程組有解，則點(diǎn)在曲線(xiàn)上；否則，點(diǎn)不在曲線(xiàn)上 通一類(lèi) 1 已知曲線(xiàn) x 2sin 1 y sin 3 ( 為參數(shù)， 0 ) ， 則下列各點(diǎn) A (1,3) ， B (2,2) ， C ( 3,5) 在曲線(xiàn)上的點(diǎn)是 ________ 解析： 將 A (1,3) 點(diǎn)代入方程得 0 ；將 B 、 C 點(diǎn)坐標(biāo)代入方程， 方程無(wú)解，故 B 、 C 點(diǎn)不在曲線(xiàn)上 答案： A (1,3) 練習(xí) 1 1、曲線(xiàn) 與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A、（ 1，

7、 4）； B、 C、 D、 21 ,( 43 xt t yt 為 參 數(shù) ） 25( , 0) ; 16 (1, 3); 25( , 0) ; 16 B 已知曲線(xiàn) C的參數(shù)方程是 點(diǎn) M(5,4)在該 曲線(xiàn)上 . （ 1）求常數(shù) a; （ 2）求曲線(xiàn) C的普通方程 . 2 1 2 , () . xt t y a t 為 參 數(shù) , a R 解 : (1)由題意可知 : 1+2t=5 at2=4 解得 : a=1 t=2 a=1 (2)由已知及 (1)可得 ,曲線(xiàn) C的方程為 : x=1+2t y=t2 由第一個(gè)方程得 : 1 2 xt 代入第二個(gè)方程得 : 21( ) , 2 xy 2( 1

8、) 4xy 為 所 求 . 訓(xùn)練 2： 動(dòng)點(diǎn) M作等速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) , 它在 x軸和 y軸方向的速度分別 為 5和 12 , 運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)位于點(diǎn) P(1,2), 求點(diǎn) M的軌跡參數(shù) 方程。 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn) M (x,y) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，依題意，得 ty tx 122 51 所以，點(diǎn) M的軌跡參數(shù)方程為 ty tx 122 51 研一題 例 2 如圖， ABP是等腰直角三角形， B是直角，腰 長(zhǎng)為 a，頂點(diǎn) B、 A分別在 x軸、 y軸上滑動(dòng)， 求點(diǎn) P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程 精講詳析 本題考查曲線(xiàn)參數(shù)方程的求法，解答本題需 要先確定參數(shù)，然后分別用同一個(gè)參數(shù)表示 x和 y. 法一： 設(shè) P 點(diǎn)的坐

9、標(biāo)為 ( x ， y ) ，過(guò) P 點(diǎn)作 x 軸的垂線(xiàn)交 x 軸 于 Q . 如圖所示，則 Rt OAB Rt QBP . 取 OB t， t 為參數(shù) (0 t a ) | OA | a 2 t 2 ， | BQ | a 2 t 2 . 點(diǎn) P 在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為 x t a 2 t 2 y t ， (0 t a ) 法二： 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ，過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線(xiàn)交 x 軸 于點(diǎn) Q ，如圖所示 取 QBP ， 為參數(shù) (0 2 ) ， 則 ABO 2 . 在 Rt OAB 中， | OB | a cos ( 2 ) a sin . 在 Rt QBP 中

10、， | BQ | a cos ， | PQ | a sin . 點(diǎn) P 在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為 x a sin cos ， y a sin . ( 為參數(shù)， 0 2 ) 悟一法 (1)求曲線(xiàn)參數(shù)方程的主要步驟：第一步，建立直角坐標(biāo)系， 設(shè) (x， y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)畫(huà)出草圖 (畫(huà)圖時(shí)要注意根 據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系 ) 第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)： 一是曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的坐標(biāo) x， y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列 出方程；二是 x， y的值可以由參數(shù)唯一確定例如，在研究運(yùn) 動(dòng)問(wèn)題時(shí)，通常選時(shí)間為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，通常選旋 轉(zhuǎn)角為參數(shù)

11、此外，離某一定點(diǎn)的 “有向距離 ”、直線(xiàn)的傾斜角、 斜率、截距等也常常被選為參數(shù) 第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問(wèn)題的物理意 義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式 (2)求曲線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí)，要根據(jù)題設(shè)條件或圖形特性求 出參數(shù)的取值范圍并標(biāo)注出來(lái) 通一類(lèi) 2. 如圖所示， OA 是圓 C 的直徑，且 OA 2 a ， 射線(xiàn) OB 與圓交于 Q 點(diǎn)，和經(jīng)過(guò) A 點(diǎn)的切線(xiàn) 交于 B 點(diǎn)，作 PQ OA 交 OA 于 D ， PB OA ， 試求點(diǎn) P 的軌跡的參數(shù)方程 解： 設(shè) P ( x ， y ) 是軌跡上任意一點(diǎn)，取 DOQ ，由 PQ OA ， PB OA ，得 x OD OQ co

12、s OA cos 2 2 a cos 2 ， y AB OA tan 2 a tan . 所以 P 點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為 x 2 a cos 2 y 2 a tan ， ( 2 ， 2 ) 曲線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用 ， 是高考模擬的熱點(diǎn)內(nèi)容 . 實(shí)際問(wèn)題為背 景考查曲線(xiàn)參數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用 ， 是高考模擬命題的一個(gè)新亮點(diǎn) 考題印證 已知彈道曲線(xiàn)的參數(shù)方程為 x 2 t c os 6 ， y 2 t s i n 6 1 2 gt 2 . ( t 為參數(shù) ) ( 1) 求炮彈從發(fā)射到落地所需時(shí)間； ( 2) 求炮彈在運(yùn)動(dòng)中達(dá)到的最大高度 命題立意 本題主要考查曲線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的實(shí)際意 義及其應(yīng)用 解 (1) 令 y 0 ，則 2 t s in 6 1 2 gt 2 0. 解之得 t 2 g . 炮彈從發(fā)射到落地所需要的時(shí)間為 2 g . (2) y 2 t sin 6 1 2 gt 2 1 2 gt 2 t 1 2 g ( t 2 2 g t ) 1 2 g ( t 1 g ) 2 1 g 2 1 2 g ( t 1 g ) 2 1 2 g 當(dāng) t 1 g 時(shí)， y 取最大值 1 2 g . 即炮彈在運(yùn)動(dòng)中達(dá)到的最大高度為 1 2 g .