《南京理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)歷年期末試卷》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《南京理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)歷年期末試卷（25頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2009級（下）A卷 一：填空與選擇題(每空3分，共30分) 1. 一動點(diǎn)到的距離為到平面的距離的一半, 則動點(diǎn)的軌跡方程是___________________。 2. 由方程所確定，則=______________ 。 3. 改變積分順序_________ _。 4. 若級數(shù)收斂，則= ______________。 5 為圓周, 則積分=_______。 6 方程的通解是_________________。 7 設(shè)，則= ( ) 0 8. 下列級數(shù)中收斂的是( )

2、 9. 設(shè)是半球面()，則的值為( ) 10. 設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個(gè)特解為： ，則該微分方程的通解可表達(dá)為( ) 二： （9分） 求過點(diǎn)且通過直線的平面方程。 三： （8分）設(shè)的二階偏導(dǎo)連續(xù), ,求。 四： （9分） 求微分方程的通解。 五：（9分）計(jì)算, 其中D是由直線圍成的閉區(qū)域。. 六：（9分）計(jì)算，其中是從到的上半圓周。 七：（８分）將函數(shù)，展開為的冪級數(shù)并給出收斂域． 八：

3、（9分）在平面上求一點(diǎn)，使它到及三條直線的距離平方之和為最小。 九：（9分）設(shè)曲面為拋物面，取上側(cè), 計(jì)算 ． 2008級（下）A卷 一：填空題 1 曲面在處的切平面方程是___　　　　　　____。 2 曲線： 繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 　　　 。 3 函數(shù)由方程所確定,則= 　　 。 4 累次積分交換積分次序后， 　　　　　　　　 。 5 設(shè)是上從,到的一段弧, 則______　　__。 6 微分方程的特解形式是___　　　　______。 7 冪級數(shù)的收斂區(qū)間是 8

4、直線：與平面：的關(guān)系是 。 平行； 垂直相交； 在上； 相交但不垂直。 9 下列級數(shù)中，發(fā)散的是　　　　　　。 ； ； ； ； 二： 設(shè)，，其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。 三：將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 四：計(jì)算，其中D為由不等式確定。 五：計(jì)算，其中是下半球面 取上側(cè). 六：判斷級數(shù)是絕對收斂,條件收斂還是發(fā)散。 七： 求解方程。 八： 將長為的細(xì)鐵絲剪成三段，分別用來圍成圓、正方形和正三角形，問怎樣剪法，才能使它們所圍成的面積之和最??？并求出最小值。 九：設(shè)是單連通區(qū)域，函數(shù)在區(qū)域上一階偏導(dǎo)是連續(xù)的，證明：在區(qū)域內(nèi)

5、是某函數(shù)的全微分的充要條件是 在區(qū)域內(nèi)恒成立。 2007級（下）A卷 一：填空題 1設(shè)，則。 2級數(shù) 3曲面在處的切平面方程是。 4設(shè)是及所圍成的閉區(qū)域，則在柱坐標(biāo)系下的三次積分是。 5設(shè)是直線 在與的一段，則=。 6設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，在上，它的級數(shù)為則=。 7冪級數(shù)的收斂區(qū)間（不考慮端點(diǎn)收斂性）是。 8方程的通解是。 9 交換二重積分的積分次序。 10微分方程滿足初始條件的特解為。 11的麥克勞林級數(shù)為。 12若，其中：，；，其中： 則。 ；；； 二：求過點(diǎn)且通過直線的平面方程。 三：已知，其中均可微，求。 四：求函數(shù)的極值。 五：計(jì)算，其中

6、是從到的上半圓周。 六：求球面與錐面所圍的包含球心的那部分區(qū)域的體積。 七：計(jì)算，其中為的下側(cè)。 八：設(shè)可微函數(shù)在上滿足 ，求。 九：設(shè)，且存在，證明：當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂。 2006級（下）A卷 一 填空 （每小題3分 共15分 ） 1 曲面在點(diǎn)的切平面的方程為___________。 2 設(shè)隱函數(shù)是由方程確定的，則 。 3 設(shè)是平面在第一卦限部分，則。 4 設(shè)周期為，且 ，是的級數(shù)的和函數(shù)，則______________。 5 設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂，則冪級數(shù)的收斂半徑為 。 二 選擇（每小題2分 共10分 ） 1 設(shè)是平面區(qū)域，則下面說法正確的是（

7、 ） （A ）若在上可微，則的一階偏導(dǎo)在上一定連續(xù)； （B） 若在上一階偏導(dǎo)存在，則在上一定可微； （C） 若在上一階偏導(dǎo)存在，則在上一定連續(xù)； （D） 若在上與均連續(xù)，則。 2 下列級數(shù)中絕對收斂的級數(shù)是 （ ） （A）； （B）; （C）; （D）。 3 直線過點(diǎn)且與直線垂直相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （A） ； （B）； （C）； （D）。 4 方程 表示 。 (A) 單葉雙曲面； （B） 雙葉雙曲面 ； （C） 錐面 ； （D） 旋轉(zhuǎn)拋物面。 5 一階微分方程的類型是（ ） （A）全微分方程； （

8、B） 可分離變量方程；（C）齊次方程； （D）一階線性微分方程。 三()設(shè)是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，，求。 四（）計(jì)算，其中是直線及雙曲線所圍區(qū)域。 五（）修建一個(gè)容積為V的長方體地下倉庫，已知倉頂和墻壁每單位面積造價(jià)分別是地面每單位面積造價(jià)的3倍和2倍，問如何設(shè)計(jì)倉庫的長、寬和高，可使它的造價(jià)最小。 六（）求微分方程的通解。 七（）計(jì)算 ，其中是由曲面及所圍的空間區(qū)域。 八（）求，其中是曲線，取逆時(shí)針方向。 九(）計(jì)算曲面積分，其中是錐面介于之間的部分，而是在處的外法線向量的方向余弦。 十（）已知如下命題成立：設(shè)是單調(diào)減少的正數(shù)列，級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。⑴請用此命題證明當(dāng)時(shí)發(fā)

9、散，而當(dāng)時(shí)收斂； ⑵證明所給的命題。 2006級（下）B卷 一 填空（每小題3分，共15分） 1 設(shè)，則。 2 方程的滿足的特解為__________________。 3 曲線在點(diǎn)的切線方程為 ____________。 4 冪級數(shù)的收斂域?yàn)?_____________。 5 設(shè)是周期為的函數(shù)，且，其級數(shù)為 ，則（要計(jì)算出結(jié)果）。 二 選擇（每小題3分，共15分） 1 若 且，則必有___________。 （A）； （B）； （C）； （D）。 2 下列命題正確的是（ ）。 （A）若發(fā)散,則必有； （B）若收斂,發(fā)散,則必發(fā)散； （C）若

10、部分和數(shù)列有界,則必收斂； （D）若絕對收斂,則條件收斂。 3 對于，如果在區(qū)域上_________，則的全微分存在。 （A）存在； （B）連續(xù)且存在； （C）存在且連續(xù)； （D）以上答案都不對。 4 設(shè)是由球面和所圍的空間區(qū)域，則 （A） ； （B）； （C）； （D）。 5 方程的特解形式為 （A）； （B）； （C）； （D）。 三（7 分）求過點(diǎn)且與直線和都平行的平面方程。 四（9分）設(shè)是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)，，求。 五（9分） 長為的鐵絲分為兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓，問怎樣分才能使正方

11、形與圓的面積和最大？ 六（9分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 七（9分）計(jì)算，其中為拋物線與直線所圍的區(qū)域。 八（10分）求曲面積分，其中為拋物面 位于部分的上側(cè)。 九(10分) 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，在整個(gè)平面區(qū)域積分與路徑無關(guān)，求。 十（7分）設(shè)在上連續(xù)，利用二重積分證明： 2005級（下）A卷 一、填空題：(14分) 1 設(shè)函數(shù)則。 2 已知?jiǎng)t的夾角為。 3 微分方程的特解形式為。 4 設(shè)向量場則。 5 冪級數(shù)的收斂半徑為。 6 設(shè)以為周期，則的級數(shù)在處收斂于。 7 是球面在部分，取外側(cè)，則。 二 （6分）在有界閉區(qū)域上的二元函數(shù)一定能取到最（大，小

12、）值嗎？若能，請問 可能在那些點(diǎn)取最值，并給出在上求最值的一般步驟。 三 （6分）設(shè)平面區(qū)域由曲線與直線所圍成，計(jì)算二重積分。 四（6分）計(jì)算，其中由所圍。 五（8分）設(shè)曲線：計(jì)算第一型曲線積分。 六（8分）計(jì)算其中是拋物線上從到 的一段弧。 七（8分）已知具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)為 求在點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 八（8分）求微分方程的特解：。 九（8分）過直線作曲面的切平面，求此切平面的方程。 十（8分）利用的冪級數(shù)展開式，求級數(shù)的和。 2004級（下）A卷 一、填空題：(20分) 1曲線在處的法平面方徎為________。 2點(diǎn)()到平面的距離為_______。

13、 3設(shè)平面過點(diǎn).則平面方程為________。 4已知,則=________。 5交換積分的積分次序?yàn)開__________。 6設(shè)：．則=_________ 。 7函數(shù), 則。 8設(shè)函數(shù)是以為周期，且()，的級數(shù)為 ，則。 9設(shè)是以為周期的奇函數(shù)，其級數(shù)為，則級數(shù)= 。 10下列四個(gè)命題：（1）.若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散；（2）.若級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散；（3）.若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂； （4）.若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。上述正確的命題是______。 二（8分）求函數(shù)的極值，并指出是極大值，還是極小值。 三（8分）求級數(shù)的收斂域和它的和函數(shù)。 四

14、（8分）計(jì)算，其中是拋物線上自點(diǎn)到的一段弧。 五（8分）計(jì)算曲面積分,其中是由錐面 與半球面所圍立體的表面外側(cè)。 六（10分）求下列方程的通解。 1.; 2. 七（8分）兩個(gè)物體A、B的形狀如圖（一），體積相等，物體A是由拋物面（）和平面（）所圍。物體B是柱體，它的母線平行于軸，底面是由所圍的平面區(qū)域，求柱體B的高。 a j x y t n O L 八.（5分）設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為光滑的簡單閉曲線的外法向量（如圖二）， 為圍成的區(qū)域，有人利用切向量和外法向量的夾角的關(guān)系，以及格林公式，證明了如下結(jié)論：。若你認(rèn)為是正確的，請給出證明過

15、程；若你認(rèn)為是錯(cuò)誤的，請推理出正確的結(jié)論。 九.（5分）證明不等式：。 2003級（下）A卷 一、 判斷題：（對的劃“√”，錯(cuò)的劃“Ⅹ”，每題1分共14分） 1 二元函數(shù)f在P點(diǎn)可微，則f在P點(diǎn)連續(xù)。 2 二元函數(shù)f在P點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則f在P點(diǎn)可微。 3 ，在上可積，則等式 成立。 4 若存在，則和一定相等。 5 ，其中為兩個(gè)向量。 6 方向向量的方向余弦為，在的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 。 7 三個(gè)向量的混合積的絕對值就是以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體積。 8 兩個(gè)向量的向量積就是以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的面積。 9 是函數(shù)的極值點(diǎn)，則一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。 1

16、0 級數(shù)收斂，其中，則成立。 11 微分方程是二階微分方程。 12 是以為周期的連續(xù)的奇函數(shù)，則它的傅立葉級數(shù)展開式是余弦級數(shù)。 13 收斂，則級數(shù)一定收斂。 14 冪級數(shù)的收斂域?yàn)椤? 二、計(jì)算題（1）（每小題4分共8分） 1．，求： 2. 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上定義為 ,求的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)。 三、計(jì)算題（2）（每小題4分共8分） 1．求。 2. 求過點(diǎn)M(1，2，1)且平行于直線的直線方程。 四．（6分）已知,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 五.（6分）把二重積分化為兩種次序（先后、先后）的二次積分，其中由、和所圍。 六．（8分）計(jì)算，其中為從到的順時(shí)針

17、方向的上半圓?。骸? 七．（8分）計(jì)算，其中為曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐標(biāo)系的軸正向是向上的）。 八．（8分） 求微分方程的通解。 九．（8分）求經(jīng)過點(diǎn)的所有平面中，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)平面所圍成的立體(在第一卦限）的體積為最小，并求其最小值。 十．（6分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 單調(diào)減少，且級數(shù)發(fā)散，試問：級數(shù)是否收斂？并說明理由。 2008級（下）A卷 一． 填空與選擇題(每空3分，共30分) 1 ; 2 ; 3 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 二（9分） 解：在直線取點(diǎn)，則 已知直線的方向向量為 設(shè)

18、所求平面的法線向量與向量 . 所求平面的方程為: 即 三（8分） 解 四 （9分）解：對應(yīng)齊次方程的特征根為：，，故對應(yīng)齊次方程的通解為：。 自由項(xiàng)，不是特征根。所以方程特解為：。 代入方程解得，，。 所以， 故方程的通解為：。 五 （9分）解 畫出區(qū)域D, 可把D看成是X--型區(qū)域: 0x1, 0y x于是 六 （9分）解 附加有向線段：從3到-3 原式 七 （8分）解： 　　　　 　　　收斂域滿足　　　解出得　　 八（9分） 解：設(shè)所求點(diǎn)為，則它到三已知直

19、線的距離分別為，令。 得駐點(diǎn)為，此時(shí)取極小值，且駐點(diǎn)唯一，從而為最小值，點(diǎn)即為所求 九（9分） 解：補(bǔ)充平面取下側(cè)，則與圍成空間區(qū)域 　于是 2008級（下）A卷 一：1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 二： 三 ：, 四：的極坐標(biāo)表示是：，．故 五：設(shè) 取下側(cè)，則由高斯公式得 : 而　　. 因此。 六： 級數(shù)是條件收斂的。 由于, 令 ， 則是單調(diào)減少且區(qū)域0的數(shù)列,因此交錯(cuò)級數(shù)收斂， 另一方面 當(dāng)時(shí), ,而 , 又發(fā)散,因此 原

20、級數(shù)條件收斂。 七：方程變形得：，這是齊次方程。 令得：，代入方程得： 由原方程知，因此，對上式積分，得： 即 故方程的通解為： 八：設(shè)剪成的三段分別為，則圍成的面積之和為 ，且 這是條件極值問題。作函數(shù)為 由 得條件駐點(diǎn)，其中 由實(shí)際問題有解，而駐點(diǎn)唯一，故問題的解在駐點(diǎn)取得。 所求的最小面積為 九：下冊207頁。 2007級（下）A卷 一：1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 0； 7 ； 8 ； 9 ； 10 ； 11 ； 12 。 二：，，，

21、 ，即。 三： 四：， 令，得駐點(diǎn)：。 ， ，故在處取極小值。 五：添加：從6到。 ， 六： 七：添加：，取上側(cè)。 八：當(dāng)時(shí)，， ，可分離變量方程，解得，， 又，， 當(dāng)時(shí)，，故 九：取，且，存在，當(dāng)時(shí)，， ，，故收斂。 2006級（下）A卷 答案 一 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。 二 D A B D C 三 。 四 五 設(shè)地面每個(gè)單位造價(jià)為1，則墻壁和倉頂分別為 2， 3。 設(shè)長寬高分別為， 則現(xiàn)在的要求是 ：在約束下的極值。

22、 考慮， 則條件極值點(diǎn)滿足以下方程組： 由上述方程組可解得：，根據(jù)實(shí)際情況可知，此時(shí)造價(jià)最小。 六 特征方程為：， 對應(yīng)的齊次方程的通解為： 設(shè)特解為，代入到原方程化簡可得： 原方程的通解為：。 七 由及，得 ， 于是 。 八 原式，（格林公式） 九 原式，取外側(cè)， 設(shè)：，取上側(cè)，則 而 ， 于是 原式。 十1 設(shè)，則，于是由已知的斂散性與等比數(shù)列斂散性一致。因此當(dāng)時(shí)原級數(shù)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)收斂； 2令，當(dāng)設(shè)是單調(diào)減少的正數(shù)列時(shí)，有 由比較判別法，收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂， 即收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。 2006級（下）B卷

23、 答案 一1 ； 2 3 ； 4 ； 5 。 二 D B C B A. 三 兩條直線的方向向量分別是： 于是所求平面的法向量是 因此所求平面的方程為 四 ， 五 設(shè)長為的鐵絲用來圍正方形，長為的鐵絲用來圍圓， 則其面積和為，約束條件為， 設(shè) ，則極值點(diǎn)滿足方程 ， 解得： 根據(jù)實(shí)際情況，可知此時(shí)面積和取得最大值。 六 七 拋物線與直線的交點(diǎn)為。于是 八 設(shè)：的下側(cè)，為所圍的空間區(qū)域。 則由公式可得 而 ， 于是 原式。 九 根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)的條件可得： 這是一個(gè)

24、常系數(shù)二階非齊次方程，， 對應(yīng)得齊次方程得通解為：， 設(shè)非齊次方程得特解為 ，代入方程可得： 比較系數(shù)可得 于是齊次方程的通解為：， 又得 于是。 十 設(shè)在上連續(xù)，則在上連續(xù)， 。 2005級（下）A卷 答案 一 二 一定能取到最值，可能在駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界上取到。 1 求出函數(shù)在內(nèi)的所有駐點(diǎn)及偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的函數(shù)值 2求出函數(shù)在的邊界上的最大最小值； 3 將上述所有值進(jìn)行比較，最大為最大值，最小為最小值。 三 四 五 六 七 八 令則方程為：解得由得 ，由得， 九

25、（用平面束） 十 令 ，則 又 所以， 故 2004級（下）A卷 答案 一、1.. 2. 1。 3. . 4.. 5.. 6. . 7. . 8.. 9. 0. 10 ⑶ 二 ,駐點(diǎn)為,,,. . 由極值存在的充分條件知： 為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn),和不取極值。 三 , 收斂域?yàn)椋?1，1），因?yàn)?兩邊求導(dǎo)得. 所以，,. 四 。 五 由高斯公式知：. 六 1.令,化簡為一階線性方程:,解得:,即. . 2特征方程：，,所以齊次方程的通解為：，設(shè)非齊次的特解形式為：.代入解得：. 所以通

26、解為： 七 , . 由，得. 八 是不正確的（2分），正確結(jié)果應(yīng)為 。 設(shè)從x軸正向到曲線的切向量（和曲線同向）方向和曲線的外法線方向的轉(zhuǎn)角分別為。則總是有, 而,（1分） =。（2分） 九 = =.其中 2003級（下）A卷 答案 一、1--7.√ Ⅹ√ Ⅹ√ Ⅹ√ 8-13. Ⅹ Ⅹ Ⅹ Ⅹ Ⅹ Ⅹ 14.√ 二、（1） 76 （2）三、（1）。（2） 四、， 五、、 六、設(shè)L1為：方向?yàn)閺挠蚁蜃? =，， I== 七、 =， 。 八、特征方程為，齊次通解為。 設(shè)特解形式為，解得：。 通解為 九、設(shè)平面方程為，過點(diǎn)，故有。 問題為求函數(shù)在條件下的條件極值。為簡化計(jì)算，令 （或） 解得：。 平面方程為，由實(shí)際問題知最小體積V=3。 十、（反證法），。 級數(shù)收斂，從而收斂