2014年高考數(shù)學(xué)文科(高考真題+模擬新題)分類(lèi)匯編:概率
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1、 數(shù) 學(xué) 概率 K1 隨事件的概率 13. [2014 課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ新 ] 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán) 3 種顏色的 運(yùn)動(dòng)服中選擇 1 種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為 ________. 13.1 [ 解析 ] 甲有 3 種選法,乙也有 3 種選法,所以他們共有 9 種不同的選法.若他 3 們選擇同一種顏色,則有 3 種選法,所以其對(duì)應(yīng)
2、的概率 3 1 P= = . 9 3 13.[2014 全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ ] 將 2 本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和 1 本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行, 則 2 本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為 ________. 2 [ 解析 ] 2 本數(shù)學(xué)書(shū)記為數(shù) 1,數(shù) 2,3 本書(shū)共有 (數(shù) 1 數(shù) 2 語(yǔ) ),(數(shù) 1 語(yǔ)數(shù) 2),(數(shù) 2 13.3 數(shù) 1 語(yǔ)),( 數(shù) 2 語(yǔ)數(shù) 1) ,(語(yǔ)數(shù) 1 數(shù) 2), (語(yǔ)數(shù) 2 數(shù) 1)6 種不同的排法,其中 2 本數(shù)學(xué)
3、書(shū)相鄰 的排法有 4 種,對(duì)應(yīng)的概率為 P= 46=23. 14. [2014 浙江卷 ] 在 3 張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各 1 張,另 1 張無(wú)獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽 取 1 張,兩人都中獎(jiǎng)的概率是 ________. 1 14.3 [ 解析 ] 基本事件的總數(shù)為 3 2= 6,甲、乙兩人各抽取一張獎(jiǎng)券,兩人都中獎(jiǎng)只 有 2 種情況,所以?xún)扇硕贾歇?jiǎng)的概率 2 1 P= = . 6 3 19. [2014 陜西卷 ] 某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法,
4、對(duì)投保車(chē)輛進(jìn)行抽樣,樣本車(chē) 輛中每輛車(chē)的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下: 賠付金額 ( 元 ) 0 1000 2000 3000 4000 車(chē)輛數(shù) (輛 ) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車(chē)的投保金額均為 2800 元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率; (2)在樣本車(chē)輛中,車(chē)主是新司機(jī)的占 10%,在賠付金額為 4000 元的樣本車(chē)輛中,車(chē)主 是新司機(jī)的占 20% ,估計(jì)在已投保車(chē)輛中,新司機(jī)獲賠金額為 4000 元的概率. 19.解:(1) 設(shè) A 表示事件“賠付金額為 3000
5、 元”,B 表示事件“賠付金額為 4000 元”, 以頻率估計(jì)概率得 150 120 P(A)= 1000= 0.15, P(B)= 1000= 0.12. 由于投保金額為 2800 元,所以賠付金額大于投保金額的概率為 P(A)+ P(B)= 0.15+ 0.12= 0.27. (2)設(shè) C 表示事件“投保車(chē)輛中新司機(jī)獲賠 4000 元”, 由已知, 得樣本車(chē)輛中車(chē)主為新 司機(jī)的有 0.1 1000= 100(輛 ),而賠付金額為 4000 元的車(chē)輛中, 車(chē)主
6、為新司機(jī)的有 0.2 120 =24(輛 ),所以樣本車(chē)輛中新司機(jī)車(chē)主獲賠金額為 4000 元的頻率為 24 = 0.24.由頻率估計(jì)概 100 率得 P(C)=0.24. 16.、[2014 四川卷 ] 一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字 1, 2,3,這三張卡片 除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同. 隨機(jī)有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為 a, b, c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足 a+ b= c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字 a, b,
7、c 不完全相同”的概率. 16. 解: (1) 由題意, (a,b, c)所有的可能為: (1, 1, 1), (1,1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1,3, 1), (1,3, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3),(2, 3, 1), (2, 3, 2), (2,3, 3), (3, 1, 1), (3,1, 2), (3, 1, 3), (3,2, 1), (3, 2,2), (3,2
8、, 3), (3, 3,1), (3, 3, 2), (3, 3, 3),共 27 種. 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足 a+ b= c”為事件 A, 則事件 A 包括 (1, 1, 2), (1, 2,3), (2, 1, 3),共 3 種, 3 1 所以 P(A)= 27= 9. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足 a+ b= c”的概率為 19. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字 a, b, c 不完全相同”為事件則事件 B 包括 (1, 1, 1), (2, 2,2), (3, 3, 3),共 3 種. B, 3 8 所以 P(B)= 1-
9、P(B)= 1- 27= 9. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字 a, b, c 不完全相同”的概率為 8 9. K2 古典概型 20.,[2014 福建卷 ] 根據(jù)世行 2013 年新標(biāo)準(zhǔn), 人均 GDP 低于 1035 美元為低收入國(guó)家; 人均 GDP 為 1035~4085 美元為中等偏下收入國(guó)家; 人均 GDP 為 4085~ 12 616 美元為中等 偏上收入國(guó)家;人均 GDP 不低于 12 616 美元為高收入國(guó)家.某城市有 5 個(gè)行政區(qū),各區(qū)人 口占該城市人口比例及人均 GDP 如下表:
10、 行政區(qū) 區(qū)人口占城市人口比例 區(qū)人均 GDP( 單位:美元 ) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10 000 (1)判斷該城市人均 GDP 是否達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn); (2)現(xiàn)從該城市 5 個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取 2 個(gè),求抽到的 2 個(gè)行政區(qū)人均 GDP
11、 都達(dá)到中等 偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的概率. 20. 解: (1) 設(shè)該城市人口總數(shù)為 a,則該城市人均 GDP 為 80000.25a+ 4000 0.30a+ 6000 0.15a+3000 0.10a+ 10 000 0.20a= a 6400(美元 ). 因?yàn)?6400∈ [4085,12 616) , 所以該城市人均 GDP 達(dá)到了中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn). (2)“從 5 個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取 2 個(gè)”的所有的基本事件是: {A ,B} ,{A ,C} ,{A ,D} ,{A ,E} ,{B ,C} ,{B ,D} ,{B ,E} , {C
12、 ,D} ,{C ,E} , {D ,E} ,共 10 個(gè). 設(shè)事件 M 為“抽到的 2 個(gè)行政區(qū)人均 GDP 都達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)”, 則事件 M 包含的基本事件是: {A , C} , {A ,E} ,{C , E} ,共 3 個(gè). 3 所以所求概率為 P(M)= . 12. [2014 東卷廣 ] 從字母 a, b, c, d,e 中任取兩個(gè)不同字母,則取到字母 a 的概率 為 ________. 2 [ 解析 ] 所有事件有 (a, b), (a, c),( a, d), (a, e), (b, c),(b, d), (
13、b, e), (c, 12.5 d), (c, e),( d, e) ,共 10 個(gè),其中含有字母 a 的基本事件有 (a, b), ( a, c), (a, d), (a, e),共 4 個(gè),所以所求事件的概率是 P= 4 2 10 = . 5 5.[2014 湖北卷 ] 隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子, 它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò) 5 的概率記 為 p1,點(diǎn)數(shù)之和大于 5 的概率記為 p2,點(diǎn)數(shù)
14、之和為偶數(shù)的概率記為 p3,則 ( ) A . p < p < p B. p < p < p 3 1 2 3 2 1 C.p < p < p D. p < p < p 2 1 3 2 3 1 5. C [ 解析 ] 擲出兩枚骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)的所有可能情況如下表: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7
15、
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
則 p1= 10, p2= 26, p3=18.故 p1 16、往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下:
(a, b),(a, b),(a, b),(a, b),( a, b), (a,b), (a,b), (a,b), (a,b), (a,b), (a,b), (a,b), (a, b), (a, b), (a, b).
其中 a, a 分別表示甲組研發(fā)成功和失??;(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品,則給該組記
b, b 分別表示乙組研發(fā)成功和失?。?
1 分,否則記 0 分.試計(jì)算甲、乙兩組研
發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差,并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平.
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品,試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概 17、率.
17. 解: (1) 甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?
1, 1,1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1,
其平均數(shù)為 x 甲 = 10= 2,
15
3
2
=
1
1-
2
2
0-
2
2
2
方差為 s
10+
5 = .
甲
15
3
3
9
乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?
18、
1, 0,1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1,
其平均數(shù)為 x
=
9
3
乙
15=
5,
1
3
2
2
6
2
=
9+
3
6 =
方差為 s乙
15
1- 5
0- 5
25.
2
2
19、
因?yàn)?x 甲 > x 乙, s甲 < s乙 ,所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組.
(2)記 E= { 恰有一組研發(fā)成功 } .
在所抽得的
15 個(gè)結(jié)果中,恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是
(a, b), (a,b), (a, b), (a, b),
(a, b),( a, b), (a, b),
共 7 個(gè),故事件 E 發(fā)生的頻率為 7 .
15
將 率 概率,即得所求概率
P(E)= 7
15.
4. [2014 卷江 ]
從 20、 1, 2, 3, 6 這 4 個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取
2 個(gè)數(shù), 所取 2 個(gè)數(shù)的乘
積為 6 的概率是 ________.
1
[ 解析 ]
基本事件有 (1, 2), (1, 3)(1
, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 6),共 6
種情況,
4.3
乘 6 的是 (1, 6)和 (2, 3), 所求事件的概率
1
3.
3. [2014 江西卷 ]
兩 均勻的骰子, 點(diǎn)數(shù)之和
5 的概率等于 (
) 21、
1
1
1
1
A. 18
B.9
C.6
D.12
3. B
[ 解析 ] 兩 均勻的骰子,一共有
36 種情況,點(diǎn)數(shù)之和 5
的有 (1, 4), (2,
3), (3,2), (4, 1),共 4 種,所以點(diǎn)數(shù)之和
5 的概率
4 = 1.
36
9
21.、、[2014 江西卷 ] 將 正整數(shù) 1,2,?,n( n∈N * )從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)
123?
n, F(n) 個(gè)數(shù)的位數(shù) (如 22、 n= 12 ,此數(shù)
123456789101112,共有 15
個(gè)數(shù)字, F(12)=
15), 從 個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,
p(n) 恰好取到 0 的概率.
(1)求 p(100);
(2)當(dāng) n≤ 2014 ,求 F(n)的表達(dá)式;
(3)令 g(n) 個(gè)數(shù)中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù), f(n) 個(gè)數(shù)中數(shù)字
9 的個(gè)數(shù), h(n)= f(n)- g(n),S
= { n|h(n)= 1, n≤100, n∈ N * } ,求當(dāng) n∈S 時(shí) p(n)的最大 .
21.解: 23、 (1)當(dāng) n= 100 , 個(gè)數(shù)中 共有 192 個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù) 11,所以
恰好取到 0 的概率 p(100) = 19211.
n, 1≤ n≤ 9,
2n- 9, 10≤ n≤ 99,
(2)F(n)=
3n- 108, 100≤ n≤ 999,
4n- 1107, 1000≤ n≤ 2014.
(3)當(dāng) n= b(1≤ b≤ 9, b∈N * ), g(n)= 0;
當(dāng) n=10k+ b(1≤ k≤ 9, 0≤ b≤9, k∈ N* , b∈ N) , g(n)= k;
當(dāng) n=100 , g(n)= 11,即 g(n)=
24、
0, 1≤n≤ 9,
k, n= 10k+ b,1≤ k≤ 9, 0≤ b≤ 9,k∈ N * ,b∈ N,
11, n= 100.
同理有 f(n)=
0, 1≤ n≤8,
k, n= 10k+ b- 1, 1≤ k≤ 8, 0≤b≤ 9, k∈ N * , b∈ N ,
n- 80, 89≤ n≤ 98,
20, n= 99, 100.
由 h(n)= f(n) -g(n) =1,可知 n= 9, 19, 29, 39, 49, 59,69, 79,89, 90,
所以當(dāng) n≤ 100 , S= {9 , 19,29, 39,4 25、9, 59,69, 79,89, 90} .
當(dāng) n=9 , p(9)= 0.
當(dāng) n=90 , p(90)= g( 90) = 9 = 1 . F ( 90) 171 19
當(dāng) n=10k+ 9(1≤ k≤ 8, k∈ N * ) , p(n)=
g( n)
=
k
=
k
,由 y=
k
關(guān)于 k
F( n)
2n- 9
20k+9
20k+ 9
增,故當(dāng)
n=10k+ 9(1≤ k≤ 8, k∈ N* ) , p(n)的最大 p(89)
=
8
.
26、
169
又
8 1 ,所以當(dāng) n∈ S 時(shí), p(n)的最大值為 1
169<19
19.
18.、[2014 遼寧卷 ] 某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,
在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行
了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品
不喜歡甜品
合計(jì)
南方學(xué)生
60
20
80
北方學(xué)生
10
10
20
合計(jì)
70
30
100
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問(wèn)是否有
95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食
習(xí)慣方面 27、有差異”;
(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有
5 名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中
2 名喜歡甜品,現(xiàn)在從這 5
名學(xué)生中隨機(jī)抽取
3 人,求至多有
1 人喜歡甜品的概率.
2 n( n11n22-n12n21)
2
附: χ=
n
n
n
,
n
+ 2
1
+
2+ + 1
2 ≥ k)0.100
0.050
0.010
P(χ
28、
k
2.706
3.841
6.635
18. 解: (1)將 2 2 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得
χ 2= n( n11n22- n12n21) 2= 100( 60 10-20 10)2 =100≈ 4.762.
n
1+ 2+
+ 1
+ 2
70 30
80
20
21
n n
n
由于 4.762> 3.841,所以有 95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)
慣方面有差 29、異”.
(2)從 5 名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取
3 人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間
Ω= {( a1 ,a2 ,
b ),(a ,a ,b ), (a ,a ,b
),(a ,b ,b ),(a ,b ,b ),(a , b ,b
),(a ,b ,b
2
),(a ,
1
1
2
2
1
2
3
1
1
2
1
1
3
1
2
3
2
1
2
b1, b3), (a2, b2, b3), (b1, b2, b3)} ,
30、
其中 ai
表示喜歡甜品的學(xué)生,
i=
j
表示不喜歡甜品的學(xué)生,
j= 1,2, 3.
1, 2, b
Ω由 10 個(gè)基本事件組成,且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
用 A 表示“ 3 人中至多有
1 人喜歡甜品”這一事件,則
A= {( a1
1
2
1
1
3
,b ,b ),(a ,b
,b ),
31、(a1, b2, b3), (a2, b1, b2), (a2, b1, b3), (a2 ,b2, b3), (b1,b2,b3)} .
事件 A 由 7 個(gè)基本事件組成,因而
P(A)= 7
10.
16., [2014 山東卷 ] 海關(guān)對(duì)同時(shí)從
A, B,C 三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢
測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量
( 單位:件 )如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些 32、
商品中共抽取 6 件樣品進(jìn)行檢測(cè).
地區(qū)
A
B
C
數(shù)量
50
150
100
(1)求這 6 件樣品中來(lái)自
A, B, C 各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這
6 件樣品中隨機(jī)抽取
2
件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這
2 件商品來(lái)自相
同地區(qū)的概率.
33、
16. 解: (1) 因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是
6
=
1
,所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是:
50 1
=1,150 1
50+ 150+
100
50
50
50
=3, 100 1 = 2.
50
所以
(2)設(shè)
A, B,C 6 件來(lái)自
三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是
A,B 34、, C 三個(gè)地區(qū)的樣品分別為:
1,3, 2.
A;B1,B2,B3;C1,C2.則抽取的這
2
件商品構(gòu)成的所有基本事件為:
{ A, B1} , { A, B2} , { A, B3 } , { A, C1} , { A, C2} , { B1, B2} , { B1, B3} , { B1, C1} , { B1, C2} , { B2, B3}{ B2, C1} , { B2, C2} , { B3, C1} , { B3,C2} , { C1, C2} ,共 15 個(gè).
每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本 35、事件的出現(xiàn)是等可能的.
記事件 D 為“抽取的這 2 件商品來(lái)自相同地區(qū)”,
則事件 D 包含的基本事件有
{ B1, B2} , { B1, B3} , { B2, B3 } , { C1, C2} ,共 4 個(gè).
所以 P(D )= 4 ,即這 2 件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為
4
15
15.
6.[2014 陜西卷 ] 從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這
5 個(gè)點(diǎn)中, 任取 2 個(gè)點(diǎn), 則這 2 個(gè)點(diǎn)的
距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為
(
)
36、
1
2
3
4
A. 5
B. 5
C.5
D. 5
6.B
[解析 ] 由古典概型的特點(diǎn)可知從
5 個(gè)點(diǎn)中選取
2 個(gè)點(diǎn)的全部情況共有 10 種,其
中選取的
2 個(gè)點(diǎn)的
距離小于該正方形邊長(zhǎng)的情況共有
4 種,故所求概率為
P=
4
2
= .
10
5
16.、[2014 四川卷 ]
一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字
1, 2,3 37、,這三張卡片
除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.
隨機(jī)有放回地抽取
3 次,每次抽取 1 張,將抽取的卡片上的數(shù)字
依次記為 a, b, c.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足
a+ b= c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字
a, b, c 不完全相同”的概率.
16. 解: (1) 由題意, (a,b, c)所有的可能為:
(1, 1, 1), (1,1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1 38、,3, 1), (1,3, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3),(2, 3, 1), (2, 3, 2), (2,3, 3), (3, 1, 1), (3,1, 2), (3, 1, 3), (3,2, 1), (3, 2,2), (3,2, 3), (3, 3,1), (3, 3, 2), (3, 3, 3),共 27 種.
設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足 a+ b= c”為事件 A,
則事件 A 包括 (1, 1, 2), (1, 2,3), (2, 1, 3 39、),共 3 種,
3 1 所以 P(A)= 27= 9.
1
因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足 a+ b= c”的概率為 9.
(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字 a, b, c 不完全相同”為事件則事件 B 包括 (1, 1, 1), (2, 2,2), (3, 3, 3),共 3 種.
B,
3 8 所以 P(B)= 1- P(B)= 1- 27= 9.
因此,“抽取的卡片上的數(shù)字
a, b, c 不完全相同”的概率為
8
9.
15.、 [2014 天津卷 ] 某校夏令營(yíng)有 3 名男同學(xué) A, B, C 和 3 名女同學(xué) X, Y, 40、 Z,其年
級(jí)情況如下表:
一年級(jí)
二年級(jí)
三年級(jí)
男同學(xué)
A
B
C
女同學(xué)
X
Y
Z
現(xiàn)從這 6 名同學(xué)中隨機(jī)選出
2 人參加知識(shí)競(jìng)賽 (每人被選到的可能性相同 ).
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設(shè) M 為事件“選出的 2 人來(lái)自不同年級(jí)且恰有
1 名男同學(xué)和
1 名女同學(xué)”,求事件
M 發(fā)生的概率.
15. 解: (1) 從 6 名同學(xué)中隨機(jī)選出 2 人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為 { A, B} , { A,
C 41、} , { A,X} , { A,Y} ,{ A, Z} ,{ B,C} , { B, X} , { B, Y} , { B, Z} , { C, X} , { C,Y} , { C, Z} , { X,Y} , { X, Z} , { Y, Z} ,共 15 種.
(2)選出的 2
人來(lái)自不同年級(jí)且恰有
1 名男同學(xué)和
1 名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為
{ A,Y} ,
{ A, Z} , { B, X} , { B, Z} , { C,X} ,{ C, Y} ,共 6 種.
因此,事件
M 發(fā)生的概率 P(M)=
6
2
1 42、5
= .
5
17.、 [2014 重慶卷 ] 20 名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)
(單位:分 )的頻率分布直方圖如圖 1-3
所示.
圖 1-3
(1)求頻率分布直方圖中
a 的值;
(2)分別求出成績(jī)落在
[50, 60)與 [60 , 70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績(jī)?cè)?[50, 70)的學(xué)生中任選 2
人,求此
2 43、人的成績(jī)都在
[60 , 70)中的概率.
17. 解: (1) 據(jù)直方圖知組距為 10,由
(2a+ 3a+ 7a+ 6a+2a) 10= 1,
解得 a= 1 =0.005.
200
(2)成績(jī)落在 [50, 60)中的學(xué)生人數(shù)為
2 0.00510 20=2.
成績(jī)落在 [60 , 70)中的學(xué)生人數(shù)為 3 0.005 10 20= 3.
(3)記成績(jī)落在 [50, 60)中的 2 人為 A1,A2,成績(jī)落在 [60, 44、70)中的 3 人為 B1, B2, B3 ,
則從成績(jī)?cè)? [50, 70)的學(xué)生中任選 2 人的基本事件共有 10 個(gè),即 (A1
,A2), (A1, B1), (A1,
B2) , (A1,B3),(A2, B1), (A2, B2), (A2,B3) ,(B1,B2), (B1, B3), (B2, B3).
其中 2 人的成績(jī)都在 [60, 70)中的基本事件有
3 個(gè),即 (B1
2
132
3
故所求概率為 P= 3
, B ), (B , B ), (B
,B ).
10.
45、
K3 幾何概型
13. [2014 福建卷 ] 如圖 1-5 所示,在邊長(zhǎng)為
1 的正方形中隨機(jī)撒
1000 粒豆子,有 180
粒落到陰影部分,據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為
________.
圖 1-5
13. 0.18 [解析 ] 設(shè)陰影部分的面積為 S.隨機(jī)撒 1000 粒豆子,每粒豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與 46、這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比,即
S≈ 落在陰影部分中的豆子數(shù) = 180 = 0.18,
1 落在正方形中的豆子數(shù) 1000
所以可以估計(jì)陰影部分的面積為0.18.
5. [2014 南卷湖
] 在區(qū)間 [ -2, 3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)
X,則 X≤ 1 的概率為 ()
4
3
A. 5
B. 5
2
1
C.5
D. 5
5. B
[ 解析 ] 由幾何概型概率計(jì)算公式可得
1-(- 2)
3
P=
= .
3-(- 2)
47、
5
6.[2014 遼寧卷 ] 若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖
1-1 所示的長(zhǎng)方形 ABCD 中,其中 AB= 2,
BC= 1,則質(zhì)點(diǎn)落在以
AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是
(
)
圖 1-1
π π
A. 2 B. 4
π
π
C. 6
D. 8
6. B
[ 解析 ]
由題意 AB= 2, BC= 1,可知長(zhǎng)方形
A 48、BCD 的面積 S= 2 1=2,以 AB
π
π
.故質(zhì)點(diǎn)落在以
AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率
P=
2
為直徑的半圓的面積
S1=1π 12=
=
2
2
2
π
4 .
15.[2014 重慶卷 ] 某校早上
8:00 開(kāi)始上課, 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上
7:30~
7:50 之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早
5
分
鐘到 49、校的概率為 ________. (用數(shù)字作答 )
9
[
解析 ] 設(shè)小張到校的時(shí)間為
x,小王到校的時(shí)間為
y, (x, y)可以看成平面中的
15.32
15
47
15
47
點(diǎn).試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
Ω= ( x, y) | 2 ≤x≤ 6 , 2
≤y≤ 6
,這是一個(gè)正方
形區(qū)域,面積為
1
1
1
5 分鐘,所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
A= (x,
S =
= .事件 50、A 表示小張比小王早到
Ω
3
9
3
y)x- y≥ 1
,
15≤x≤47, 15≤ y≤
47,即圖中的陰影部分,面積為
SA =1
1
1=
1 .這是一
12
2
6
2
6
2
4
4
32
個(gè)幾何概型問(wèn)題,所以
P(A)= SA = 9
SΩ
32.
51、
K4
互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率
K5
相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
20.、 [2014 全國(guó)卷 ] 設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁
4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為
0.6, 0.5, 0.5, 0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.
(1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率;
(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買(mǎi) k 臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值.
20. 解:記
52、
A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有
i 人需使用設(shè)備,
i= 0, 1, 2.
B 表示事件:甲需使用設(shè)備.
C 表示事件:丁需使用設(shè)備.
D 表示事件:同一工作日至少3 人需使用設(shè)備.
E 表示事件:同一工作日 4 人需使用設(shè)備.
F 表示事件:同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k.
(1)因?yàn)?P(B)=0.6, P(C)= 0.4, P(Ai)= Ci2 0.52,i = 0, 1, 2,
所以 P(D)= P(A1 B C+ A2 B+ A2 BC)= P(A1 B C)+ P(A2 B)+ 53、P(A2 BC)= P(A1) P(B)P(C)+ P( A2)P(B)+ P(A2)P(B)P(C)=0.31.
(2)由 (1) 知,若 k= 2,則 P(F)=0.31> 0.1,
P(E)= P(BCA2)= P(B)P(C)P(A2)= 0.06.
若 k= 3,則 P(F)=0.06< 0.1,
所以 k 的最小值為 3.
K6
離散型隨機(jī)變量及其分布列
22. [2014 江蘇卷 ]
盒中共有 9 個(gè)球,其中有 4 個(gè)紅球、 3 個(gè)黃球和
2 個(gè)綠球,這些球
除顏色外完全相同.
54、
(1)從盒中一次隨機(jī)取出
2 個(gè)球,求取出的
2 個(gè)球顏色相同的概率
P;
(2)從盒中一次隨機(jī)取出
4 個(gè)球,其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為
x , x ,x
,隨
1
2
3
機(jī)變量 X 表示 x1, x2, x3 中的最大數(shù),求 X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望
E(X).
22.解: (1) 取到的 2 個(gè)顏色相同的球可能是
2 個(gè)紅球、 2 個(gè)黃球或
2 個(gè)綠球,所以 P=
2
2
+C
2
6+ 3+ 1 55、5
C + C
2
4
3
.
2
=
=
18
C9
36
(2)隨機(jī)變量 X 所有可能的取值為
2, 3,4.
{ X= 4} 表示的隨機(jī)事件是“取到的
4 個(gè)球是
4 個(gè)紅球”,故 P(X= 4)=
C44
1
;
4=
126
C9
{ X= 3} 表示的隨機(jī)事件是“取到的
56、4 個(gè)球是
3 個(gè)紅球和
1 個(gè)其他顏色的球,或
3 個(gè)黃
3
1
3
1
20+ 6
球和 1 個(gè)其他顏色的球”, 故 P(X=
C4C5+ C3C6
3)=
4
=
126
= 13;于是 P(X=2)= 1- P(X=
C
63
9
13 1 11
3)- P(X= 4)= 1- - = .
所以隨機(jī)變量 X 的概率分布如下表:
X
2
3
4
P
11
13
1
14
63 57、
126
因此隨機(jī)變量
X 的數(shù)學(xué)期望
E(X)= 2 11+ 313+ 4 1 = 20.
14 63 126 9
K7
條件概率與事件的獨(dú)立性
K8
離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布
20.、 [2014 全國(guó)卷 ] 設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁
4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為
0.6, 0.5, 0.5, 0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.
(1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率;
(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買(mǎi) k 臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的 58、概率小于 0.1,求 k 的最小值.
20. 解:記
A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有
i 人需使用設(shè)備,
i= 0, 1, 2.
B 表示事件:甲需使用設(shè)備.
C 表示事件:丁需使用設(shè)備.
D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備.
E 表示事件:同一工作日 4 人需使用設(shè)備.
F 表示事件:同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k.
(1)因?yàn)?P(B)=0.6, P(C)= 0.4, P(Ai)= Ci2 0.52,i = 0, 1, 2,
所以 P(D)= P(A1 B C 59、+ A2 B+ A2 BC)= P(A1 B C)+ P(A2 B)+ P(A2 BC)= P(A1) P(B)P(C)+ P( A2)P(B)+ P(A2)P(B)P(C)=0.31.
(2)由 (1) 知,若 k= 2,則 P(F)=0.31> 0.1,
P(E)= P(BCA2)= P(B)P(C)P(A2)= 0.06.
若 k= 3,則 P(F)=0.06< 0.1,
所以 k 的最小值為 3.
K9 單元綜合
2. [2014 湖南雅禮中學(xué)月考 ] 已知圓
C:x2+y2=12,直線 l :4x+ 3y= 25,圓 C 上任 60、
意一點(diǎn) A 到直線 l 的距離小于 2 的概率為 (
)
1
1
1
1
A. 2
B. 4
C.3
D. 6
2. D
[ 解析 ]
因?yàn)閳A心 (0, 0)到直線 l 的距離為 5,圓 C 的半徑為 2
3,所以直線 l
與圓 C 相離.設(shè) l 0∥ l 且圓心到 l0 的距離為
3,則滿(mǎn)足題意的點(diǎn) A 位于 l 0,l 之間的弧上,結(jié)
合條件可求得該弧長(zhǎng)為圓
C 周長(zhǎng)的 1,由幾何概型的概率計(jì)算公式可知選項(xiàng)
D 正確.
6
13. [2014 州期末福 ] 在邊長(zhǎng)為 61、 2 的正方形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) M,則 |AM |< 1 的概率
為 ____________ .
13. 1 π [ 解析 ] 由 |AM |<1 知,點(diǎn) M 在以 A 為圓心, 1 為半徑的四分之一圓內(nèi),故所求
16
1π
4 1
概率為 22 = 16π .
3. [2014 泰安模擬 ] 從 {1 ,2, 3, 4, 5} 中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)
a,從 {2 , 3,4} 中隨機(jī)選取
一個(gè)數(shù) b,則 b> a 的概率是 (
)
4
3
A. 5
B. 62、5
2
1
C.5
D. 5
3. C
[ 解析 ] 從兩個(gè)集合中各選一個(gè)數(shù)有
15 種選法,滿(mǎn)足
b>a 的選法有 (1, 2), (1,
3), (1,4), (2, 3), (2, 4), (3, 4),共有 6
種,所以 b>a 的概率是
6
2
15
= .
5
1.[2014 沙聯(lián)考長(zhǎng)
] 某停車(chē)場(chǎng)臨時(shí)停車(chē)按時(shí)段收費(fèi),
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下: 每輛汽車(chē)一次停車(chē)
不超過(guò) 1 小時(shí)收 63、費(fèi) 6 元,超過(guò)
1 小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)
8 元 (不足 1 小時(shí)按 1 小時(shí)計(jì)算 ).現(xiàn)
有甲、乙兩人在該地停車(chē),兩人停車(chē)都不超過(guò)
4 小時(shí).
1
14
5
(1)若甲停車(chē) 1 小時(shí)以上且不超過(guò) 2 小時(shí)的概率為
3,停車(chē)費(fèi)多于
元的概率為 12,求
甲的停車(chē)費(fèi)為 6 元的概率;
(2) 若甲、乙兩人每人停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同,求甲、乙兩人停車(chē)費(fèi)之和
為 28 元的概率.
1.解: (1) 設(shè)“一次停車(chē)不超過(guò)
1 小時(shí)”為事件 A,“一 64、次停車(chē) 1 到 2 小時(shí)”為事件
B,
“一次停車(chē) 2 到 3 小時(shí)”為事件
C,“一次停車(chē)
3 到 4 小時(shí)”為事件 D.
1
5
由已知得 P(B)=
3, P(C+D )=
12.
又事件 A, B, C
,D 互斥,
1
5
1
所以 P(A)= 1- 3-12=
4,
1
所以甲的停車(chē)費(fèi)為 6 元的概率為 4.
(2)易知甲、乙停車(chē)時(shí)間的基本事件有 (1,1) ,(1, 2),(1 , 3), (1, 4),(2 ,1), (2, 2),(2, 3), 65、(2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3) , (3, 4), (4, 1), (4, 2) , (4, 3), (4, 4),共 16
個(gè).而“停車(chē)費(fèi)之和為
28 元”的事件有 (1,3) ,(2,2),(3,1),共 3
個(gè),所以所求概率為
3
16.
3.[2014 德期末常
] 空氣質(zhì)量已成為城市居住環(huán)境的一項(xiàng)重要指標(biāo),
空氣質(zhì)量的好壞由
空氣質(zhì)量指數(shù)確定,空氣質(zhì)量指數(shù)越高,代表空氣污染越嚴(yán)重:
空氣質(zhì)
35~ 75
75~ 115
115~ 150
150~ 250
66、
≥ 250
0~ 35
量指數(shù)
空氣質(zhì)
良
輕度
中度
重度
嚴(yán)重
優(yōu)
污染
污染
污染
污染
量類(lèi)別
對(duì)某市空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行一個(gè)月 (30 天 )的監(jiān)測(cè),所得的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖 J17- 1 所示:
圖 J17- 1
(1)估計(jì)該市一個(gè)月內(nèi)空氣受到污染的概率 (若空氣質(zhì)量指數(shù)大于或等于 75,則空氣受到污染 );
(2) 在空氣質(zhì)量類(lèi)別為“良”“輕度污染”“中度污染”的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中用分層抽樣的方
法抽取一個(gè)容量為 6 的樣本, 若在這 6 個(gè)數(shù)據(jù)中任取 2 個(gè)數(shù)據(jù), 求這 2 個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類(lèi)別不都是輕度污染
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