《人教課標版高中數(shù)學選修4-4《曲線的參數(shù)方程》教案-新版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教課標版高中數(shù)學選修4-4《曲線的參數(shù)方程》教案-新版（31頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二講 參數(shù)方程 2.1 曲線的參數(shù)方程 一、教學目標 （一）核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課學習，了解參數(shù)方程的概念、 體會參數(shù)的意義，會進行參數(shù)方程和普通方程的互化， 在直觀想象、數(shù)學抽象中感受不同參數(shù)方程的特點． （二）學習目標 1．通過實例，了解參數(shù)方程的含義，體會參數(shù)的意義． 2．能求解圓的參數(shù)方程并用圓的參數(shù)解決有關問題，了解圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義． 3．掌握基本的參數(shù)方程與普通方程的互化， ，感受集合語言的意義和作用． （三）學習重點 1．參數(shù)方程的概念． 2．圓的參數(shù)方程及其應用．

2、3．參數(shù)方程與普通方程的互化． （四）學習難點 1．參數(shù)方程與普通方程的互化的等價轉(zhuǎn)化． 2．根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程． 二、教學設計 （一）課前設計 1．預習任務 （ 1）讀一讀：閱讀教材第 21 頁至第 26 頁，填空： 一般的，在平面直角坐標系中，如果曲線上的任意一點的坐標 x, y 都是某個變數(shù) t 的函數(shù)： x f (t) y ① g(t) 且對于 t 的每一個允許值，由方程組①確定的點 M ( x， y) 都在這條

3、曲線上，那么方程組①叫做 這條曲線的 參數(shù)方程 ，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡稱參數(shù) ．相對于參數(shù)方程而言，直 接給出點坐標 x, y 之間關系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程 ． （ 2）想一想：參數(shù)方程與普通方程如何轉(zhuǎn)化？ 一般地，可以通過消去 參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) 個與參數(shù) t 的關系，例如 x f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系那么就是曲線的參數(shù)方程． （ 3）寫一寫：圓的一般參數(shù)方程是什么？ 

4、 x, y 中的一 y g( x) ， ①圓心在原點 ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 ( θ為參數(shù) ); ②圓心在 (a,b) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 ( θ為參數(shù) ). 2．預習自測 x＝ 1＋ sin θ (θ是參數(shù) )所表示曲線經(jīng)過下列點中的 () （ 1）方程 y＝ sin 2θ A.(1,1) B. ( 3 , 1 ) 2 2 C. ( 3 , 3) D. ( 2 2 3 , 1 ) 2

5、2 2 【知識點】參數(shù)方程的定義 【解題過程】將選項中的點一一代入曲線的參數(shù)方程中，顯然選項 C 滿足題意 【思路點撥】根據(jù)參數(shù)方程的定義求解 【答案】 C． x＝m， 為參數(shù) x＝m， ， 為參數(shù) x＝ 1， （ 2）下列方程：① (m ) ② ) ③ ④x＋ y＝ y＝m. (m n y＝ 2. y＝n. 0 中，參數(shù)方程的個數(shù)為 ( ) A． 1 B． 2 C．3 D．4 【知識點】參數(shù)方程的定

6、義 【解題過程】根據(jù)參數(shù)方程的定義，只有①是參數(shù)方程 【思路點撥】由參數(shù)方程的定義求解 【答案】 A （ 3）參數(shù)方程 x＝cos α， 化成普通方程為 _______________. α為參數(shù) ( ) y＝1＋sin α 【知識點】參數(shù)方程與普通方程互化 x＝cos α， 【解題 過程 】由 變 形整 理得 cos x, sin y 1 ，兩 式分別平方相 加得 y＝1＋sin α x2 ( y 1)2 1 【思路點撥】利用三角恒等變換消去參數(shù) 【答案】

7、x2 ( y 1)2 1. x＝2＋cos α （ 4）P(x，y)是曲線 (α為參數(shù) )上任意一點，則 P 到直線 x－y＋4＝0 的距離的最y＝sin α 小值是 ________． 【知識點】參數(shù)方程的應用 【解題過程】由 P 在曲線 x＝2＋cos α y＝sin α 上可得 P 的坐標為 (2＋cos α，sin α)， 2cos α＋ π ＋ 6 4 由點到直線的距離公式得 d＝|cos α－sin α＋6|＝ ， 2

8、 2 π － 2＋6 當 cos α＋ 4 ＝－ 1 時， d 最小， dmin ＝ 2 ＝－ 1＋3 2. 【思路點撥】根據(jù)參數(shù)方程的應用得到點設置，再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解【答案】－ 1＋3 2 (二)課堂設計 1．問題探究 探究一 結合實例，認識參數(shù)方程★ ●活動① 歸納提煉概念 在過去的學習中， 我們已經(jīng)掌握了一些求曲線方程的方法， 但在求某些曲線方程時， 直接確定曲線上點的坐標 x, y 的關系并不容易，我們先看下來的例子： 一架救援飛機在離災區(qū)底面 500m 高處以

9、 100m/s 的速度作水平直線飛行．為使投放的救援物質(zhì)準確落于災區(qū)指定的地面飛行員應如何確定投放時機？（不計空氣阻力，重力加速度 g 9.8m / s2 ） 設飛機在點 A 將物質(zhì)投出機艙，在過飛機航線且垂直于底面的平面上建立如右圖的平面 直角坐標系，其中 x 軸為該平面與地面的交線， y 軸經(jīng)過 A 點．記物質(zhì)從被投出到落地這段時 間內(nèi)的運動曲線為 C， M (x，y) 為 C 上任意點，設 t 時刻時， x 表示物質(zhì)的水平位移， y 表示物 質(zhì)距地面的高度

10、.由物理知識，物資投出機艙后，沿 Ox 方向以 100m/ s 的速度作勻速直線運動， x 100t 沿 Oy 反方向作自由落體運動，即： 1 gt 2 y 500 2 令 y 0, t 10.10s ，代入 x 100t ，解得 x 1010m . 所以，飛行員在離救援點的水平距離約為 1010m 時投放物資，，可以使其準確落在指定地 點 . 由上可知：在 t 的取值范圍內(nèi)，給定 t 的一個值，就可以惟一確定 x, y 的值，反之也成立 . 一般的，在平面直角坐標系中，如果曲線上的任意一點的坐標 x, y 都是某

11、個變數(shù) t 的函數(shù)： x f (t) y ① g(t) 且對于 t 的每一個允許值，由方程組①確定的點 M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組①叫做 這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直 接給出點坐標 x, y 之間關系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程． 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù) x, y 的橋梁，可以是一個有物理意義或幾何意義，也可以沒有明顯實際意 義的變數(shù) . 【設計意圖】從生活實例到數(shù)學問題，從特殊到一般，體會概念的提煉、抽

12、象過程．●活動② 鞏固基礎，檢查反饋 x 3t (t為參數(shù) ) 例 1 已知曲線 C 的參數(shù)方程是 2t 2 y 1 （ 1）判斷點 M 1(0,1), M 2 (5,4) 與曲線 C 的位置關系； （ 2）已知點 M (6, a) 在曲線 C 上，求 a 的值 . 【知識點】參數(shù)方程． 【解題過程】（1）把點 M 1 的坐標 (0,1) 代入方程組，解得 t 0 ，所以 M 1 在曲線 C ．把點 M 2 的 5 3t ，無解，所以 M 2 不在曲線 C .

13、 坐標 (5,4) 代入方程組，得 2t2 4 1 （ 2）因為點 M (6, a) 在曲線 C 上，所以 6 3t ，解得 t 2, a 9 a 2t 2 1 【思路點撥】根據(jù)參數(shù)方程與曲線的關系來求解． 【答案】（1） M 1 在曲線 C ， M 2 不在曲線 C ； （2） a 9 ． 同類訓練 已知某條曲線 C 的參數(shù)方程為 x 1 2t R) 且點 M ( 3,4) 在該曲線上 . y at 2

14、(t為參數(shù) , a (1)求常數(shù) a 的值； (2)判斷點 P(1,0)， Q(3，－ 1)是否在曲線 C 上？ 【知識點】參數(shù)方程． 【解題過程】 (1)將 M(－3,4)的坐標代入曲線 C 的參數(shù)方程 x＝1＋2t， － 3＝ 1＋ 2t， 得 消 y＝at2， 4＝at2， 去參數(shù) t，得 a＝1. x＝1＋2t， (2)由上述可得，曲線 C 的參數(shù)方程是 y＝t2， 把點 P 的

15、坐標 (1,0)代入方程組，解得 t＝ 0，因此 P 在曲線 C 上，把點 Q 的坐標 (3，－ 1)代入 3＝1＋2t， 方程組，得到 －1＝t2 ， 這個方程組無解，因此點 Q 不在曲線 C 上． 【思路點撥】根據(jù)參數(shù)方程和曲線的關系來求解． 【答案】 (1) a 1 ； (2) P 在曲線 C 上，點 Q 不在曲線 C 上． 【設計意圖】鞏固基礎，加深理解與應用． 探究二 探究圓的參數(shù)方程 ●活動① 互動交流、初步實踐 結合以上參數(shù)方程的定義，你能的得到圓的參數(shù)方程嗎？先看下面例子 當物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動時，物體中各個

16、點都作勻速圓周運動 (如右圖 )．那么，怎樣刻畫運動中點的位置呢？ 如圖 1，設圓 O 的半徑是 r，點 M 從初始位置 M0(t＝0 時的位 置 )出發(fā)，按逆時針方向在圓 O 上作勻速圓周運動，點 M 繞點 O 轉(zhuǎn) 圖 2- 1- 2 動的角速度為 ω.以圓心 O 為原點， OM0 所在的直線為 x 軸，建立直 角坐標系．顯然，點 M 的位置由時刻 t 惟一確定，因此可以取 t 為參數(shù)． 【設計意圖】 通過現(xiàn)實問題的求解， 加深對參數(shù)方程中參數(shù)的意義的理解． 圖 1 ●活動② 建立模型，加深認識 如果在時刻 t，點 M 轉(zhuǎn)過的角度

17、是 θ，坐標是 M(x， y)，那么 θ＝ωt.設|OM|＝r，如何用 r 和 θ表示 x，y 呢？ 由三角函數(shù)定義，有 x y cos ωt＝r ，sin ωt＝ r ， x＝rcos ωt， 即  (t 為參數(shù) ) y＝rsin ωt. 考慮到 θ＝ωt，也可以取 θ為參數(shù)，于是有 x＝rcos θ， (θ為參數(shù) ) y＝rsin θ. 這就得到了以原點為圓心，半徑為 r 的圓參數(shù)方程 .其中 θ的幾何意義是 轉(zhuǎn)到 OM 的位置時， OM 0 轉(zhuǎn)過的角度． 

18、 OM0 繞點  O 逆時針旋 【設計意圖】 通過對問題的求解， 得出圓的參數(shù)方程， 同時為求圓的標準方程的參數(shù)方程作鋪墊． ●活動③ 歸納梳理、靈活應用 若圓的圓心坐標為 (a, b) ，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是什么呢？ 此時圓的標準方程為： (x a)2 ( y b)2 r 2 ，由 sin 2 cos2 1，故令 x a cos , y b sin ，整理得： r r x a

19、 r cos y b r sin  ( 為參數(shù) ) 一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍 . 【設計意圖】由特殊到一般，體會培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、歸類整理意識． 探究三 探究參數(shù)方程和普通方程的互化★▲ ●活動① 歸納梳理、體會內(nèi)在聯(lián)系 我們除了用普通方程表示曲線外， 還可以用參數(shù)方程表示曲線， 它們是同一曲線的兩種不同的 表達形式 .但由參數(shù)方程直接判斷曲線的類型不太容易，例如 x cos 3 為何曲線？ y sin 這就需要我們轉(zhuǎn)化為普通再判斷，那么兩者如何

20、轉(zhuǎn)化？ 由 x cos 3 得 cos x 3 ， 所以 ( x 3)2 y2 1 ，表示以 (3,0) 為圓心，半徑為 1 的圓 . y sin sin y 一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) x, y 中的一 個與參數(shù) t 的關系，例如 x f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系 y g( x) ， 那么就是曲線的參數(shù)方程． 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使 x, y 的取值范圍保持一致，即等價轉(zhuǎn)化 . 【設計

21、意圖】通過實例體會參數(shù)方程與普通方程的互化，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象意識． ●活動② 鞏固基礎，檢查反饋 例 2 如圖，已知點 P 是圓 x2＋ y2 ＝16 上的一個動點，定點 A(12,0)，當點 P 在圓上運動時，求線段 PA 的中點 M 的軌跡 . 【知識點】圓的參數(shù)方程、點的軌跡方程． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合 【解題過程】設動點 M(x，y)， x＝4cos θ， ∵圓 x2＋ y2＝16 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) )， y＝

22、4sin θ， ∴設點 P(4cos θ， 4sin θ)， 4cos θ＋12 4sin θ 由線段的中點坐標公式，得 x＝ 2 ，且 y＝ 2 ， x＝2cos θ＋6， 轉(zhuǎn)化為普通方程得 ( x 6)2 y2 4 ∴點 M 的軌跡方程為 y＝2sin θ， 因此點 M 的軌跡是以點 (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓． 【思路點撥】借助于圓的參數(shù)方程來得到點的軌跡方程，即代入法． 【答案】點 M 的軌跡是以點 (6,0)為圓心，以 2 為

23、半徑的圓． 同類訓練 將例 1 中的定點 A 的坐標改為 ( 4,0) ，其它條件不變，求線段 PA 的中點 M 的軌跡 【知識點】圓的參數(shù)方程、點的軌跡方程． 【解題過程】設動點 M(x，y)， x＝4cos θ， ∵圓 x2＋ y2＝16 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) )，y＝4sin θ， ∴設點 P(4cos θ， 4sin θ)， 由線段的中點坐標公式，得 x 4cos 4 ，且 y＝ 4sin θ 2 ， 2

24、 ∴點 M 的軌跡方程為 x 2cos 2 ，轉(zhuǎn)化為普通方程得 (x 2)2 y 2 4 y 2sin 因此點 M 的軌跡是以點 (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓． 【思路點撥】借助于圓的參數(shù)方程來得到點的軌跡方程，即代入法． 【答案】點 M 的軌跡是以點 (2,0)為圓心，以 2 為半徑的圓． 【設計意圖】鞏固檢查參數(shù)方程與曲線的關系． 例 3 把下列參數(shù)方程化為普通方程

25、，并說明它們各表示什么曲線？ （ 1） x t 1 (t為參數(shù) ) （2） x sin cos ( 為參數(shù) ) y 1 2 t y 1 sin 2 【知識點】參數(shù)方程化為普通方程． 【解題過程】（1）由 x t 1 1，有 t x 1 ，代入 y 1 2 t ，得到 y 2x 3 .又因為 x t 1 1，所以與參數(shù)方程等價的普通方程是 y 2x 3(x 1) ，即以 (1,1) 為端點的一

26、條射 線（包括端點）  . （ 2）把  x  sin  cos  平方后減去  y  1 sin 2  ，得到  x2  y ，又因為 x sin  cos  2 sin(  ) ，所以  x  [  2,  2]  ，即與參數(shù)方程等價的普通方程是 4 x2  y ，  x  [  2,  2

27、]  ，即開口向上的拋物線的一部分  . 【思路點撥】先由一個方程求出參數(shù)的表達式，再代入另一個方程，或者利用三角恒等變換消 去參數(shù)． 【答案】（1） y 2 x 3( x 1) ；（ 2） x2 y ， x [ 2 , 2] ． 同類訓練 化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程 ,并指出它是什么曲線． x＝1＋2 t， x＝ cos θ＋ sin θ， (1) t (t 為參數(shù) )；(2) (θ為參數(shù) )． y＝3－4 y＝ sin θcos θ 【知識點】參數(shù)方程化為普通方程．

28、 【解題過程】 (1)∵x＝1＋2 t，∴ 2 t＝x－ 1. ∵－ 4 t＝－ 2x＋2，∴ y＝3－4 t＝ 3－ 2x＋2. 即 y＝－ 2x＋ 5(x≥1)，它表示一條射線． (2)∵x＝cos θ＋sin θ＝ 2sin θ＋ π 4 ， ∴ x∈ [ － 2， 2] ． x2＝ 1＋ 2sin θcos θ， 將 sin θcos θ＝ y 代入，得 x2＝1＋2y. ∴普通方程為 y＝12x2－12(－ 2≤x≤ 2)，它是拋物線的一部分． 【思路點撥】先由一個方程求出參數(shù)的表達式，再代入

29、另一個方程，或者利用三角恒等變換消 去參數(shù)． 【設計意圖】鞏固檢查參數(shù)方程與普通方程的互化． ●活動③ 強化提升、靈活應用 例 4 若 x，y 滿足 (x－1)2＋(y＋ 2)2＝4，求 2x＋ y 的最值．【知識點】參數(shù)方程的應用、三角函數(shù)． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化與化歸思想． 【解題過程】令 x－ 1＝ 2cos θ，y＋2＝2sin θ，則有 x＝ 2cos θ＋1，y＝ 2sin θ－ 2， 故 2x＋ y＝4cos θ＋2＋2sin θ－ 2＝ 4cos θ＋2sin θ＝ 2 5sin(θ＋φ)． ∴－ 2 5≤2x

30、＋y≤25. 即 2x＋ y 的最大值為 2 5，最小值為－ 2 5. 【思路點撥】考慮利用圓的參數(shù)方程將求 2x＋y 的最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題．【答案】 2x＋y 的最大值為 2 5，最小值為－ 2 5. 同類訓練 已知點 M(x， y)是圓 x2＋y2＋ 2x＝0 上的動點，若 4x＋3y－ a≤0恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍． 【知識點】參數(shù)方程的應用、三角函數(shù)． ． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化化歸思想． 【解題過程】由 x2＋y2＋ 2x＝0，得 (x＋ 1)2＋ y2＝1，又點 M 在圓上， ∴ x＝－ 1＋ cos θ，且 y＝sin

31、θ， 因此 4x＋3y＝4(－ 1＋ cos θ)＋3sin θ 4 ＝－ 4＋5sin(θ＋φ) ≤－ 4＋ 5＝ 1.(φ由 tan φ＝ 3確定 ) ∴ 4x＋3y 的最大值為 1. 若 4x＋ 3y－a≤0恒成立，則 a≥(4x＋ 3y)max， 故實數(shù) a 的取值范圍是 [1，＋ ∞)． 【思路點撥】考慮利用圓的參數(shù)方程將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值，在利用求三角函數(shù)最值問題． 【答案】 [1，＋ ∞)． 【設計意圖】熟練利用參數(shù)方程求解某些最值問題． 3.課堂總結 知識梳理 （ 1）一般的，在平面直角坐標系中，

32、如果曲線上的任意一點的坐標 x, y 都是某個變數(shù) t 的函數(shù)： x f (t) ① y g(t) 且對于 t 的每一個允許值，由方程組①確定的點 M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組①叫做 這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直 接給出點坐標 x, y 之間關系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程． （ 2）一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) x, y 中的一 個與參數(shù) t 的關系，例如 x

33、 f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系 y g( x) ， 那么就是曲線的參數(shù)方程． x＝ rcos θ， ( 為參數(shù) ) ; （ 3）①圓心在原點 ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 y＝ rsin θ. x a r cos ②圓心在 (a, b) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 b ( 為參數(shù) ) . y r sin 重難點歸納 （ 1）參數(shù) t （也可用其它小寫字母表示）是聯(lián)系變數(shù) x, y 的橋梁，它可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可

34、以是沒有明顯實際意義的變數(shù)； 參數(shù)方程和普通方程都是在直角坐標系之下同一曲線的兩種不同表的形式． （ 2）參數(shù)方程和普通方程互化時，一定使 x, y 的取值范圍保持一致，即等價轉(zhuǎn)化．（三）課后作業(yè) 基礎型 自主突破 1．下列方程中能表示曲線參數(shù)方程的是 ( ) A. 2x 3y t 0 x 2ty x 2t 4 x 5k 3 B. 3x 2t C. 3u 2 D. 3 2k y y y 【知識點】參數(shù)方程的含義． 【解題過程】 A 是含參數(shù)的方程 ,B 中的 x, y 并不都由參數(shù)

35、t 確定 ,C 中的 x, y 不是由同一個參數(shù)確定 ,D 正確 . 【思路點撥】根據(jù)參數(shù)方程的含義進行判斷． 【答案】 D x＝1＋t2 2．曲線 (t為參數(shù) ) 與 x 軸交點的直角坐標是 ( ) y＝t－1 A． (0,1) B． (1,2) C． (2,0) D． ( 2,0) 【知識點】曲線與參數(shù)方程． 【解題過程】設與 x 軸交點的直角坐標為 (x，y)，令 y＝0 得 t＝1，代入 x＝ 1＋t2，得 x＝ 2，∴曲線與 x 軸的交點的直角坐標為 (2,0)． 【思路點撥】根據(jù)曲線與參數(shù)方程的關系判斷．

36、 【答案】  C 3．曲線  x＝－ 1＋ cos θ，y＝2＋sin θ  (θ為參數(shù) )的對稱中心  (  ) A. 在直線  y＝ 2x 上  B.在直線  y＝－ 2x 上  C.在直線  y＝x－1 上  D.在直線  y＝x＋1 上 【知識點】圓的參數(shù)方程． 【解題過程】由  x＝－ 1＋cos θ，y＝2＋sin θ，  得  cos θ＝x＋1， sin θ＝y(tǒng)－2.

37、 所以 (x＋1)2＋(y－2)2＝ 1.曲線是以 (－1，2)為圓心， 1 為半徑的圓， 所以對稱中心為 (－1，2)，在直線 y＝－ 2x 上.故選 B． 【思路點撥】將圓的參數(shù)方程化為圓的標準方程． 【答案】 B ．若 ， y 滿足 2＋y2＝1，則 x＋ 3y 的最大值為 ( ) 4x x A． 1 B．2 C．3 D．4 【知識點】參數(shù)方程的應用． x＝ cos θ， 3y＝ 3sin θ＋ 【解題過程】由于圓 x

38、2＋y2＝1 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) )，則 x＋ y＝ sin θ cos θ＝2sin ( ) ，故 x＋ 3y 的最大值為 2.故選 B. 6 【思路點撥】利用三角代換求解． 【答案】 B． 5．圓心在點 (-1,2),半徑為 5 的圓的參數(shù)方程為 ________. 【知識點】普通方程化為參數(shù)方程． x 1 5 cos 【解題過程】 因為是圓心在點 (-1,2),半徑為 5 的圓，所以參數(shù)方程為 2 ( 為參數(shù) ) ．

39、 y 5sin 【思路點撥】根據(jù)三角代換公式來求解． x 1 5cos 【答案】 2 ( 為參數(shù) ) ． y 5sin 6．設 y＝tx(t 為參數(shù) )，則圓 x2＋y2－4y＝ 0 的參數(shù)方程是 _________． 【知識點】普通方程與參數(shù)方程互化． 2 【解題過程】把 y＝ tx 代入 x2＋y2－ 4y＝0 得 x＝ 4t 2， y＝ 4t 2， 1＋ t 1＋ t x＝ 4t 2， ∴參數(shù)方程為 1＋t (t 為參數(shù) )． 4t2

40、 y＝1＋t2 【思路點撥】利用代入法求解． x＝ 4t 2， 1＋t (t 為參數(shù) ) 【答案】 4t2 y＝1＋t2 能力型 師生共研 x＝2＋sin2θ 7．將參數(shù)方程 (θ為參數(shù) )化為普通方程為 () y＝sin2θ A． y＝x－2 B．y＝ x＋2 C． y＝x－2(2 ≤x≤ 3) D．y＝x＋ 2(0 ≤y≤ 1) 【知識點】參數(shù)方程化為普通方程． 【解題過程】消去 2

41、2 sin θ，得 x＝ 2＋ y，又 0≤ sinθ≤1，∴ 2≤x≤ 3. 【思路點撥】注意三角函數(shù)的有界性，參數(shù)方程的等價轉(zhuǎn)化． 【答案】 C x＝2cos θ (θ為參數(shù)， 0≤θ<2π)． 8．已知曲線 C 的參數(shù)方程為 y＝3sin θ 判斷點 A(2,0)，B ( 3, 3) 是否在曲線 C 上？若在曲線上，求出點對應的參數(shù)的值． 2 【知識點】曲線與參數(shù)方程． x＝ 2cos θ， 【解題過程】把點 A(2,0)的坐標代入 y＝ 3sin θ， 得 c

42、os θ＝1 且 sin θ＝0，由于 0≤θ<2π，解之得 θ＝0，因此點 A(2,0)在曲線 C 上，對應參數(shù) θ＝ 0. 同理，把 B ( 3, 3) 代入?yún)?shù)方程，得 2 － 3＝2cos θ， 3 cos θ＝－ 2 ， 3 ∴ θ， 1 2＝3sin sin

43、 θ＝2. 5 3 5 又 0≤θ<2π，∴ θ＝ 6π，所以點 B ( 3, 2 ) 在曲線 C 上，對應 θ＝6π. 【思路點撥】利用曲線與參數(shù)方程的關系求解． 【答案】 A， B 是在曲線 C 上， A，B 對應的參數(shù)的值分別為 θ＝0、θ＝ 5π． 6 探究型 多維突破 2＋y2－8xcos θ－ 6ysin θ＋7cos2θ＋ ＝

44、 ．在平面直角坐標系 xOy 中，動圓 θ∈ R) 的圓心為 9 x 8 0( P(x，y)，求 2x－y 的取值范圍． 【知識點】參數(shù)方程的應用． x＝4cos θ， 【解題過程】由題設得 (θ為參數(shù)， θ∈R)． y＝3sin θ， 于是 2x－y＝ 8cos θ－3sin θ＝ 73sin(θ＋φ)， 8 φ由tan φ＝－ 3確定 所以－ 73≤2x－y≤ 73. 所以 2x－y 的取值范圍是 [－ 73， 73] ． 【思路點撥】利用參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最

45、值來求解． 【答案】 [－ 73， 73] ． x＝4cos θ 10．在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)，且 0≤θ<2π)，點 y＝4sin θ M 是曲線 C1 上的動點． (1)求線段 OM 的中點 P 的軌跡的直角坐標方程； (2)以坐標原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線 l 的極坐標方程為 ρcos θ － ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求點 P 到直線 l 距離的最大值． 【知識點】參數(shù)方程、極坐標、點到直線的距離．

46、【解題過程】 (1)曲線 C1 上的動點 M 的坐標為 (4cos θ， θ，坐標原點 O(0,0) ， 4sin ) 設 P 的坐標為 (x， y)，則由中點坐標公式得 1 1 x＝2(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝2(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以點 P 的坐標為 (2cos θ，2sin θ)， x＝2cos θ θ為參數(shù)，且 ≤θ π)， 因此點 P 的軌跡的參數(shù)方程為

47、 ( 0 <2 y＝2sin θ 消去參數(shù) θ，得點 P 軌跡的直角坐標方程為 x2＋ y2＝4. (2)由直角坐標與極坐標關系得 直線 l 的直角坐標方程為 x－ y＋ 1＝ 0.又由 (1)知，點 P 的軌跡為圓心在原點，半徑為 2 的圓， 因為原點 (0,0)到直線 x－y＋1＝0 的距離為 |0－0＋1| ＝ 1 ＝ 2， 12＋ (－ 1)2 2 2 所以點 P 到直線 l 距離的最大值為 2＋ 2

48、 2 . 【思路點撥】普通方程側(cè)重于判斷曲線的形狀 ,參數(shù)方程側(cè)重于表示曲線上的點． 【答案】（1）P 軌跡的直角坐標方程為 x2 ＋y2＝4；（2）2＋ 22． 自助餐 x sin 2 為參數(shù) ．下列點在方程 ( ) 所表示的曲線上的是 () 1 y cos2 A. (2,7) B. (1 , 2) C. (1 , 1) D. (1, 1) 3 3

49、 2 2 【知識點】曲線與參數(shù)方程． 【解題過程】選 D.由方程 ( θ為參數(shù) ),令 x sin 2 1 得 , k , k Z y cos 2 1. 2 【思路點撥】利用曲線點的與參數(shù)方程的關系求解． 【答案】 D 2．把方程 xy＝1 化為以 t 為參數(shù)的參數(shù)方程是 ( ) 1 x＝ sin t x＝cos t， x＝ tan t， x＝t2 C. A. 1 B.1 1 D.1 y

50、＝t－ y＝ sin t y＝cos t y＝ tan t 2 【知識點】普通方程與參數(shù)方程互化． 【解題過程】 A 顯然代入不成立， B,C 選項中 x 1 ，不成立， D 選項滿足要求． 【思路點撥】把選項的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，注意等價轉(zhuǎn)化． 【答案】 D 3．圓的參數(shù)方程為 x＝2＋4cos θ， (0 ≤θ<2π)，若圓上一點 P 對應參數(shù) θ＝4π，則 P 點的坐標 y＝－ 3＋4sin θ 3 是 ________． 【知識點】曲線與參數(shù)方程． 4

51、 【解題過程】將 θ＝3π代入?yún)?shù)方程中，解得 x 0, y 3 3 ，所以 P( 0, 3 3) ． 【思路點撥】利用曲線上的點與參數(shù)方程的關系． 【答案】 (0，－ 3 3)． x＝－ 2＋cos θ， y 4．點 (x，y)是曲線 C： y＝sin θ (θ為參數(shù)， 0≤θ＜2π)上任意一點，則 x的取值范圍是 ________． 【知識點】圓的參數(shù)方程、直線斜率． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想 x＝－ 2＋cos θ， 【解題過程】曲線 C： 是以 (－ 2,0)為圓心， 1 為半徑的圓，即

52、(x＋2)2 ＋y2＝ y＝sin θ y 1.設 x＝ k，∴ y＝ kx.當直線 y＝kx 與圓相切時， k 取得最小值與最大值， ∴ |－ 2k| ＝1，k2＝1，∴ y的范圍為 － 3， 3 k2＋1 3x 3 3 . 【思路點撥】利用數(shù)形結合的思想求解． 【答案】 － 33， 33 ． 5．根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程： （ 1） y2 x y 1 0 ，設 y t 1, t 為參數(shù)； （ ） x2 y2 1 ，設 x 3cos , 為參數(shù) . 2 4 9

53、 【知識點】普通方程與參數(shù)方程互化． 【解題過程】（1）將 y t 1, 代入方程 y 2 x y 1 0 ，解得 x t 2 3t 1 ，所以參數(shù)方程為 x t 2 3t 1(t為參數(shù) ) y t 1 （ 2）將 x 3 cos , 代入方程 x2 y2 1 y 2 sin ，由于參數(shù) 的任意性，可取 y 2sin ， 9 4 x 3cos ( 為

54、參數(shù) ) ． 所以參數(shù)方程為 2 sin y 【思路點撥】普通方程化為參數(shù)方程，注意等價轉(zhuǎn)化． 【答案】（1） x t 2 3t 1 x 3cos y t 1 (t為參數(shù) ) ；（2） ( 為參數(shù) ) y 2 sin x＝ a＋ tcos θ， (a， b 為正常數(shù) )中， 6．在方程 y＝ b＋ tsin θ (1)當 t 為參數(shù)， θ為常數(shù)時，方程表示何種曲線？ (2)當 t 為常數(shù)， θ為參數(shù)時

55、，方程表示何種曲線？ 【知識點】參數(shù)方程的含義． 【數(shù)學思想】分類討論的思想． 【解題過程】（1）方程 x＝a＋tcos θ， ① ， 是正常數(shù) ， (a b ) y＝b＋tsin θ， ② (1)①sin θ－② cos θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝ 0. ∵ cos θ、 sin θ不同時為零，∴方程表示一條直線． (2)(ⅰ )當 t 為非零常數(shù)時， x－ a 原方程組為 t ＝ cos θ， ③ y－

56、b t ＝ sin θ. ④ ③ 2＋④ 2 得 x－a 2 y－ b 2 ＋ ＝ 1， t2 t2 即 (x－a)2＋ (y－b)2＝t2 ，它表示一個圓． 【思路點撥】 (1)運用加減消元法，消 t； (2)當 t＝0 時，方程表示一個點，當 t 為非零常數(shù)時， 利用平方關系消參數(shù) θ，化成普通方程，進而判定曲線形狀． 【答案】（1）方程表示一條直線； （2）(ⅰ)當 t 為非零常數(shù)時，它表示一個圓， (ⅱ)當 t＝0 時， 表示點 (a， b)．