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1、數(shù)學分析作業(yè)參考答案 山東師范大學成人高等教育 數(shù)學分析課程綜合作業(yè)（參考答案） 一、 選擇題(本題共10小題，每題1分, 共10分） 22 22 224, 01.(,) 0, 0x x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 在原點間斷, 是因為該函數(shù)( B ). (A) 在原點無定義。 (B) 在原點二重極限不存在。 (C) 在原點有二重極限,但無定義。 (D) 在原點二重極限存在,但不等于函數(shù)值。 2 、若 2 211 x y I +≤= ?? ,22212 x y I ≤+≤=?? , 22324 x

2、y I ≤+≤= ?? ,則下列關(guān)系式成立的是( A ). (A) 123I I I >> ； (B) 213I I I >> ； (C) 123I I I 3、222200 3sin() lim x y x y x y →→++的值為( C ). (A) 2 (B) 0 (C) 3 (D)不存在 4、) ,(00y x f x 和 ) ,(00y x f y 存在是函數(shù)),(y x f 在點) ,(00y x 可微的( A ). (A) 必要非充分的條件 (B) 充分非必要的條件 (C) 充分且必要的條件 (D) 即非充分又非必要的條件 5、

3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面 x y 22 1+=所圍的體積是( D ). (A) d d θπr r r 42 2 2-?? (B) 20 4d r π θ?? (C) 20 d r πθ? ? (D) 4420 1 2d d θπ r r r -?? 6、設(shè)),,(z t z y y x f u ---=，則 =??+??+??+??t u z u y u x u （ D ）. (A) 12f (B) 22f (C) 32f (D) 0 7、函數(shù)() 33ln

4、 y x z +=在（1，1）處的全微分=dz （ C ）。 A ．dy dx +； B ．()dy dx +2； C ．()dy dx +2 3 ； D ． ()dy dx +3． 8、 設(shè)D 為：2 2 2 R y x ≤+，二重積分的值 ?? +D dxdy y x 22=（ C ）。 A ．2R π； B ．2 2R π； C ．3 3 2R π； D ．4 2 1R π． 9、 函數(shù)2 2 2 1z y x u ++= 在點)1,1,1(處最大方向?qū)?shù)為（ D ）． （A ） 21； (B) 3 1 ； (C)１； (D) 31．

5、10、 圓弧1=r 以外與圓弧θcos 2=r 以內(nèi)的平面圖形的面積可表示為（ B ）． (A) ??θ π θcos 21 4 rdr d ； (B) ??θ π θcos 213 02rdr d ； (C) ??θ πθcos 2160 rdr d ； (D) ??1 cos 240 θ πθrdr d ． 二、填空題(本題共10小題，每題1分, 共10分） 1、函數(shù)) ln(22x y y x z -+= 的定義域為 {} 22(,) ,1x y y x y x >-≠ 2、已知22 (,)y f x y x y x +=

6、-,則=),(y x f 2(1)1x y y -+. 3、已知 π = ?∞+∞ --dx e x 2 , 則=?∞ +--dx e x x 21 . 4、函數(shù)2 2 (,)1f x y x xy y y =++-+在) 32,31(-點取得極值. 5、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,則= )0,1(x f 1. 6、設(shè)xy e z =，則 =)1,1(dz ) (dy dx e + . 7、函數(shù)),(y x f 在點),(y x P 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，是),(y

7、x f 在該點可微的 充分非必要 條件. 8、 交換積分次序：??-1 10 ),(x dy y x f dx =??-1 10 ),(y dx y x f dy ． 9、 已知2221 z y x u ++= ，則=??+??+??222222z u y u x u 0． 10、 球面169222=++z y x 在點}12,4,3{處的切平面方程為1691243=++z y x ． 三、簡答題(本題共4小題，每題5分, 共20分） 1、敘述有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性與最值性定理、一致連續(xù)性定理以及介值性定理。 2、敘述隱函數(shù)存在唯一性定

8、理。 3、敘述二重積分的定義與性質(zhì)。 4.敘述高斯公式和斯托克斯公式。 四．計算題(本題共6小題，每題10分, 共60分） 1、計算D I dxdy = ??，其中D 由0,1x y y x ===及圍成。 解：此三條直線的交點分別為(1,1)，(0,1)，(0,0)，所圍區(qū)域如下圖。 先對x 后對y 積分： 1 1 1 12 y x I dy dx dx dy === ???? 2、 計算 xdxdydz Ω ???，其中Ω 是三個坐標面與平面 x + y + z =1所圍成的區(qū)域 解 畫出區(qū)域 D ： 0101 y x x

9、≤≤-≤≤ x d x d y d z Ω ??? 11100 x y x dx dy xdz ---=??? 1 10 (1)x dx x x y dy -=--?? 1 2011(1)224 x x dx =-=? 3、 計算 ??d d , S z x y 其中 S 是球 面 ++=2221x y z 在 ≥≥0,0x y 部分并取球面的外側(cè)。 解 曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分別為 = =1122:, :. S z S z 它們在 xy 平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分. 因積分是沿

10、1S 的上側(cè)和2S 的下 側(cè)進行, 故 =+??????1 2 d d d d d d S S S z x y z x y z x y (= - ?? ??() () d d d xy xy D D x y x y =?? () 2 d xy D x y =??π1 20 2d = . 3 r r π θ 4、 計算下列第一型曲面積分： 22(),S x y z ds +-??其中S 為1,z = 22 1.x y +≤ 解: S 由平面構(gòu)成:2:1,S z = 22 1.x y +≤ 221 222

11、2200()(1)(1).2S D x y z ds x y dxdy d r rdr π π θ+-=+-=-?=-?????? 5、 計算積分 22()(),S y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++?? 其中S 是邊長為a 的正方體V 的表面并取外側(cè). 解 ： 應用高斯公式 , 有 22[ (())()()]V y x z x y xz dxdydz x y z ??? -+++?????? ()()a a V y x dxdydz dy y x dx =+=+????? 2401 ().2 a a ay a dy a

12、 =+=? 6、 驗證曲線積分 ()()()L y z dx z x dy x y dz +++++?與路徑無關(guān) , 并求被積表達式的原函數(shù)(,,)u x y z . 解：由于 ,,,P y z Q z x R x y =+=+=+ 1,P Q Q R R P y x z y x z ??????======?????? 所以曲線積分與路徑無關(guān). 取0M M ，從M 沿平行于x 軸的直線到100(,,)M x y z ，再沿平行于y 軸的直線到20(,,)M x y z ，最后沿平行于z 軸的直線到3(,,)M x y z . 于是 0 000(,,)()()()x y z x y z u x y z y z ds z x dt x y dr = +++++? ?? 000000000()()()()()()y z x y z x z x y z x y x y z x y z =+-+++-+++-+ ,xy xz yz c =+++ 其中000000c x y x z y z =---是一個常數(shù).若取為原點，則得 (,,).u x y z xy xz yz =++