《兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)公式》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)公式（20頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、考綱要求 考綱研讀 1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩 角差的余弦公式 2能利用兩角差的余弦公式導(dǎo) 出兩角差的正弦、 正切公式 3能利用兩角差的余弦公式導(dǎo) 出兩角和的正弦、余弦、正切 公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它們的內(nèi) 在聯(lián)系 . 向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù) 的一種工具，利用向量推導(dǎo)公式 時(shí)，要結(jié)合圖形，將所求的角用已 知角表示出來(lái)，并借助誘導(dǎo)公式求 解研究不同三角函數(shù)值之間的關(guān) 系時(shí)，常以角為切入點(diǎn)，并以此為 依據(jù)進(jìn)行公式的選擇，同時(shí)還要關(guān) 注式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)對(duì)式子進(jìn) 行恒等變形，將問(wèn)題得到簡(jiǎn)化 . 第 5講 兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)公式 1兩角和與差的三角函數(shù) c

2、os( ) _(C )； coscos sinsin coscos sinsin sincos cossin sincos cossin tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan cos( ) _(C )； sin( ) _(S )； sin( ) _(S )； tan( ) _(T )； tan( ) _(T ) 2二倍角的三角函數(shù) cos2 _ _ _； 2sincos sin2 _； tan2 _. 3降次公式 cos2 _； sin2 _. cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 2ta n 1 ta n 2 1 cos2 2 1 cos2 2

3、 其中 cos a a 2 b 2 ， sin b a 2 b 2 ， ta n b a ， 角 稱(chēng)為輔助角 4輔助角公 式 a sin x b co s x a 2 b 2 sin( x ) 1在 ABC 中， sinAsinBcosAcosB，則這個(gè)三角形的形狀 是 ( ) A銳角三角形 C直角三角形 B鈍角三角形 D等腰三角形 2 若 sin 3 5 2 ， ta n 1 2 ，則 ta n( ) 的值是 ( ) A 2 B 2 C. 2 11 D. 1 5 B B 3 若 co s 2 1 2 ， sin 2 3 2 ，則角 的終邊所在的象限是 _ _ _ 4已知角 的終邊過(guò)點(diǎn) (3，

4、 4)，則 cos2 _. _. 5 (201 0 年全國(guó) ) 已知 為第二象限的角， sin 35 ，則 ta n2 第三象限 24 7 725 考點(diǎn) 1 兩角和與差的正弦和余弦 例 1 ： 已知 sin 4 5 ， 2 ， ， cos 5 13 ， 是第三象限 角，求 co s( ) 的值 解析： 2 ， ， sin 4 5 ， cos 1 sin 2 1 4 5 2 3 5 . cos 5 13 ， 是第三象限角， sin 1 cos 2 1 5 13 2 12 13 . cos( ) cos co s sin sin 3 5 5 13 4 5 12 13 33 65 . cos( )

5、coscos sinsin.已知 sin求 cos， 已知 cos求 sin，都要用到公式 sin2 cos2 1，要注意角 ， 的象限，也就是符號(hào)問(wèn)題 【 互動(dòng)探究 】 1 已知 sin 3 45 ， 2 ， 56 ，求 cos . 解： 由 sin 3 4 5 ， 2 ， 5 6 ，得 3 6 ， 2 ， cos 3 3 5 ， 而由 3 3 得 cos cos 3 3 cos 3 cos 3 sin 3 sin 3 3 5 1 2 4 5 3 2 3 4 3 1 0 . 考點(diǎn) 2 兩角和與差的正切 例 2： 化簡(jiǎn)或求值： (1)t an 15 ； ( 2) ta n42 ta n 181

6、 ta n42 ta n18 ； (3) 1 ta n15 1 ta n15 . 解析： (1)ta n15 ta n(6 0 45 ) ta n60 ta n 45 1 ta n60 ta n45 3 1 1 3 2 3 . (2) ta n42 ta n 18 1 ta n42 ta n1 8 ta n(42 18 ) ta n 60 3 . (3) 因?yàn)?1 ta n45 ， 所以 1 ta n15 1 ta n15 ta n45 ta n 15 1 ta n45 ta n15 ta n(45 15 ) 3 . 本題 (1)體會(huì)正用 (直接 )公式； (2)體會(huì)逆 (反 )用公 式； (

7、3)創(chuàng)造條件 (變形 )逆用公式 【 互動(dòng)探究 】 2 計(jì)算： t a n2 0 t a n4 0 3 t a n2 0 t a n4 0 _ _ _ . 解析： ta n (20 40 ) ta n20 ta n 40 1 ta n20 ta n40 ， 3 3 ta n20 ta n40 ta n2 0 ta n40 . 移項(xiàng)可得： ta n20 ta n4 0 3 ta n20 ta n40 3 . 3 考點(diǎn) 3 二倍角公式的應(yīng)用 例 3 ： 已知： f ( x ) 2cos 2 x 3 sin2 x a ( 其中 a R ) (1) 若 x R ，求 f ( x ) 的最小正周期； (

8、2) 若 f ( x ) 在 6 ， 6 上最大值與最小值之和 3 ，求 a 的值 解析： f ( x ) 1 cos2 x 3 sin2 x a 2sin 2 x 6 a 1. (1) 最小正周期 T 2 2 . (2) x 6 ， 6 ， 2 x 6 6 ， 2 . 1 2 sin 2 x 6 1. f ( x ) m a x 2 a 1 ， f ( x ) m in 1 a 1 ， 2 a 3 3. 即 a 0. 利用二倍角公式 (降冪公式 )、輔助角公式 (二合一公 式 )將三角函數(shù)式由多項(xiàng)轉(zhuǎn)化為一項(xiàng)是化簡(jiǎn)的 最終目標(biāo)求三角函 數(shù)在某區(qū)間的最值 (范圍 )時(shí)，不要只代兩端點(diǎn)，要注意結(jié)合

9、圖象 【 互動(dòng)探究 】 考點(diǎn) 4 三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用 3 (201 0 年浙江 ) 函數(shù) f ( x ) sin 2 2 x 4 的最小正周期是 _ . 2 例 4 ： 已知函數(shù) f ( x ) 2 s in 2 4 x 2 3 cos 2 x 3 . (1) 求 f ( x ) 的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2) 若 f ( x ) m 2 在 x 0 ， 6 上 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 解析： (1) f ( x ) 1 cos 2 2 x 3 (2cos 2 x 1) 1 (sin2 x 3 cos2 x ) 2sin 2 x 3 1, 最小正周期 T . 2 k 2 2

10、x 3 2 k 2 ( k Z ) k 5 12 x k 12 ( k Z ) f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 k 5 12 ， k 12 ( k Z ). (2) x 0 ， 6 ， 2 x 3 3 ， 2 3 . 2sin 2 x 3 2 ， 3 即有 2 sin 2 x 3 1 1,1 3 f ( x ) 1,1 3 f ( x )1 3 . m 1 3 . m 的取值范圍是 ( 1 3 ， ) 【 互動(dòng)探究 】 cos( ) 3 4 4 已知 ， 為銳角且 cos 1 10 ， cos 1 5 ，為了求 的值，先要求 sin( ) 或 cos( ) ，你認(rèn)為選 _ _ _ 更 好最后

11、求得 等于 _ . 1本講公式較多，對(duì)公式的掌握，一方面是熟悉各組公式間 的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上把握公式的特點(diǎn)；另一方面是要注意公式 的逆用和變形公式的應(yīng)用包括：正用、反用與變用，如 tan tan tan( )(1tantan)等 2在處理三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，三個(gè)統(tǒng)一中 (角的統(tǒng)一、函數(shù)名統(tǒng) 一、次數(shù)統(tǒng)一 )，角的統(tǒng)一是 第一位 3合一變換與降次都是常用的方法，合一變換的目的是把一 個(gè)角的兩個(gè)三角函數(shù)的和轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)降次的 目的，一方面把一個(gè)角變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍另外一方面是為了次數(shù) 的統(tǒng)一 1在對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換的過(guò)程中，要深刻理解“恒 等”的含義，不能改變自變量的取值范圍要注意和、差、倍角 的相對(duì)性，還要注意“ 1”的靈活應(yīng)用 2已知三角函數(shù)值求角時(shí)，要先確定所求角的范圍，再選擇 在該范圍內(nèi)具有單調(diào)性的某一三角函數(shù)求解，否則容易出現(xiàn)增根 如若 (0 ， ) ，則選余弦函數(shù)；若 2 ， 2 ，則選正弦函數(shù)