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1、
【人教 A 版】必修 2《2
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1 若 a、b 表示直線,α 表示平面,下列命題中正確的個(gè)數(shù)為( )
① a⊥α ,b∥α a⊥b ②a⊥α ,a⊥b b∥α ③a∥α ,a⊥b b⊥α
④ a⊥α ,b⊥α a∥b
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①正確,過 b 作平面 β∩α =b′,∵ b∥α ,∴b∥b′.
又∵ a⊥α ,b′ α,∴a⊥ b′,∴a⊥b;②錯(cuò),b 有可能在 α 內(nèi);③b
與 α
關(guān)系有四
2、種, b α ,b∥α ,b⊥α 或 b 與 α 斜交;④正確 .
答案: B
2 下列講法中正確的是( )
①過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直②過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直③過平面外一點(diǎn)可作許多條直線與已知平面平行④過直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直
A. ①②③
B.①②③④
C.②③
D.②③④
解析:由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知①②③正確;④錯(cuò),過
直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直,則平面內(nèi)的所有直線都與該直線垂直 .
答案: A
3 設(shè)
a、
3、b
是異面直線,下列命題中正確的是(
)
A. 過不在 a、b 上的一點(diǎn) P 一定可作一條直線和 a、b 都相交
B.過不在 a、b 上的一點(diǎn) P 一定可作一個(gè)平面和 a、b 都垂直
C.過 a 一定可作一個(gè)平面與 b 垂直
D.過 a 一定可作一個(gè)平面與 b 平行
解析: A 項(xiàng)錯(cuò),當(dāng)點(diǎn) P 在過 a 與 b 平行的平面內(nèi)時(shí)不能作; B 項(xiàng)錯(cuò),若 a⊥α ,b⊥α ,則 a∥b 與 a、b 異面矛盾; C 項(xiàng)錯(cuò),若有平面 α,使得 a α, b⊥α ,則 a⊥b,但條件中的 a,b 不一定是垂直的; D 項(xiàng)正確,過 a 上取一點(diǎn)
4、A,作 b′∥ b,則 a 與 b′確定的平面與 b 平行 .
答案: D
4 如 ,BC 是 Rt△ABC 的斜 , P, PB、PC, A 作 AD ⊥ BC 于點(diǎn)
A 作△ ABC 所在平面 α 的垂 A D, PD,那么 中直角三角
形的個(gè)數(shù)是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
解析:∵ PA⊥面 ABC ,∴ PA⊥BC,又 AD ⊥BC,
∴ BC⊥面 PAD,∴ BC⊥PD.
∴直角三角形有:△ PAB,△ PAC,△ PAD,△ BAC ,△ ADB ,△ A
5、D
C,△ PDB,△ PDC.
答案: D
5 設(shè) m、n 是兩條不同的直 ,α、β、γ 是三個(gè)不同的平面, 出下
列四個(gè)命 ,其中正確命 的序號(hào)是??( )
①若 m⊥α ,n∥α, m⊥n
②若 α∥β ,β∥γ ,m⊥α, m⊥γ
③若 m∥α ,n∥α, m∥n
④若 α⊥γ ,β⊥γ, α∥β
A. ①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:①正確(前面已 ) ;②正確,∵ m⊥α,又 α∥β ,∴m⊥β .
又 β∥γ ,∴ m⊥γ .③ , m 與 n 可平行,可相交也可異面;④ ,例如教
室的
6、角 .
答案: A
6 關(guān)于四面體 ABCD, 出下列四個(gè)命 :
①若 AB=AC,BD=CD, 則 BC⊥AD;
②若 AB=CD,AC=BD, 則 BC⊥AD;
③若 AB ⊥AC,BD ⊥CD,則 BC⊥AD;
④若 AB ⊥CD,BD ⊥AC,則 BC⊥AD.
其中真命 的序號(hào)是 ___________________.寫(出所有真命 的序號(hào) )
解析:①正確,取 BC 中點(diǎn) O,
∵ AB=AC ,∴ AO ⊥BC,
又∵ BD=DC ,∴ DO⊥BC,∴BC⊥面 AOD ,∴ BC⊥AD.
7、
④正確,過 A 作 AH ⊥面 BCD,
∴ AH ⊥CD.又∵ CD⊥AB ,∴ CD⊥面 ABH ,
∴ CD⊥BH ,同理可證 CH⊥BD,
∴ H 為△ BCD 的垂心,連 DH,則 DH ⊥BC.又 AH ⊥BC,∴BC⊥面 A
DH.∴BC⊥AD.
答案:①④
7 直線 a 和 b 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 的兩個(gè)不同平面內(nèi) ,使 a∥b
成立的條件是
____________.(只填序號(hào)即可
)
①a 和 b 垂直于正方體的同一個(gè)面 ②a 和 b 在正方體兩個(gè)相對(duì)的
8、面內(nèi)
且共面 ③a 和 b 平行于同一條棱 ④a 和 b 在正方體的兩個(gè)面內(nèi) ,且與正方
,
體的同一條棱垂直
解析:由線面垂直的性質(zhì)知①正確;由公理 4 知,③正確;由面面平
行的性質(zhì)知②正確;④錯(cuò)誤 .
答案:①②③
8m、n 是空間兩條相交直線, l1、l2 是與 m、n 都垂直的兩條直線,直線 l 與 l1、l2 都相交,則直線 l 與 l1、 l2 所成的角的大小關(guān)系是 _________
__________.
解析:設(shè) m、 n 確定平面為 α,由條件知 l1⊥α ,l2⊥α ,∴l(xiāng)1∥l2,由線線成角定義知,
9、 l 與 l1,l2 所成的角相等 .
答案:相等
綜合運(yùn)用
11 與空間四邊形
A.1 個(gè)于
ABCD B.5
四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有(個(gè) C.6 個(gè)
)
D.7
個(gè)
解析:每一個(gè)頂點(diǎn)到其余三點(diǎn)所確定的平面的垂線段是唯獨(dú)的,過中
點(diǎn)的垂直平面是唯獨(dú)的,那個(gè)平面確實(shí)是滿足條件的平面,共有四個(gè) .
每兩條對(duì)邊差不多上異面直線,公垂線段是唯獨(dú)的,過公垂線段的中
點(diǎn)的垂面也是唯獨(dú)的,那個(gè)平面確實(shí)是滿足條件的平面,共有三個(gè),因此
與空間四邊形 ABC
10、D 四個(gè)頂點(diǎn)相等的平面共有七個(gè) .
答案: D
10 五個(gè)正方體圖形中, l 是正方體的一條對(duì)角線,點(diǎn) M 、N、P 分不為其所在棱的中點(diǎn),能得出 l ⊥面 MNP 的圖形序號(hào) ___________.
解析:①④易判定,⑤中△ PMN 是正三角形且 AM=AP=AN ,因此,三棱錐 A-PMN 是正三棱錐,因此圖⑤中 l⊥平面 MNP,由此法,還可否定
③ .
∵AM ≠AP≠AN, 也易否定②,∴應(yīng)填①④⑤ .
答案:①④⑤
11 如圖 ,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 ,AB= 2 , AF=1,M 是線段
11、 EF 的中點(diǎn) .
(1)求證 :AM ∥平面 BDE;
( 2)求證: AM ⊥平面 BDF.
證明: (1)如圖,設(shè) AC∩BD=O ,連結(jié) OE.
∵ O,M 分不是 AC,EF 的中點(diǎn) ,ACEF 是矩形 ,
∴四邊形 AOEM 是平行四邊形 .
∴ AM ∥OE.
∵ OE 平面 BDE,AM 平面 BDE,
∴ AM ∥平面 BDE.
( 2)如圖,∵ BD⊥ AC,BD⊥AF ,且 AC 交 AF 于 A,
∴ BD⊥平面 AE.
又∵ AM
12、 平面 AE,
∴ BD⊥AM.
∵ AD= 2 , AF=1,OA=1,
∴AOMF 是正方形 .
∴ AM ⊥OF.又 AM ⊥BD,且 OF∩ BD=O ,
∴ AM ⊥平面 BDF.
拓展探究
12 已知:直線 m,n 和平面 α、β ,
求證:(1)若 m⊥α, n⊥β, m∥n,則 α∥β .
(2)若 m⊥α, n⊥β, m 與 n 不平行,則 α 與 β 相交 .
(3)若 m⊥α, n⊥β, m⊥n,則 α⊥β .
證明:(1)∵ m⊥α,又 m∥n,∴ n⊥α .
又 n⊥β,由線面
13、垂直的性質(zhì)知 α∥β .
(2)假設(shè) α 與 β 不相交,則 α∥β ,∵m⊥α,
∴m⊥β .又 n⊥β,由線面垂直的性質(zhì)知 m∥n,這與 m、n 不平行矛盾,故 α 與 β 必相交 .
( 3)①當(dāng) m 與 n 相交時(shí),由( 2)知,現(xiàn)在 α 與 β 必相交,設(shè) m∩n =O,α∩β =l (如圖) .
設(shè) m⊥α 于點(diǎn) A,n⊥β 于點(diǎn) B,m 與 n 確定的平面為 γ,設(shè) γ∩ l= C,則四邊形 OACB 為平面四邊形 .
∵m⊥α, n⊥β,
∴ OA⊥AC,OA⊥l,OB⊥BC,OB⊥l.
∴ l⊥面 OACB ,
∴ AC⊥l ,BC⊥l,
∴∠ AOB 為 α-l- β 的平面角 .
在平面四邊形 OACB 中,
∠ OAC= ∠OBC=∠AOB=90 .
∴∠ ACB=90 ,∴α⊥β .
②當(dāng) m 與 n 異面時(shí),在空間取一點(diǎn) O,過 O 作 m′∥ m,n′∥ n,則
m′⊥α, n′⊥β,同理①可證 α⊥β .
綜上知 α⊥β .