《代數(shù)方程及代數(shù)方程組的求解在化學(xué)中的應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《代數(shù)方程及代數(shù)方程組的求解在化學(xué)中的應(yīng)用（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 一 章 代 數(shù) 方 程 及 代 數(shù) 方 程 組 的 求 解 在 化 學(xué) 中 的 應(yīng) 用直接法間接法直接法間接法N3二 分 法弦截法插值法牛 頓 迭 代 法Gauss消 去 法 Gauss-Seidel迭 代 法 例 ： 壓 力 對 化 學(xué) 反 應(yīng) 中 反 應(yīng) 物 平 衡 轉(zhuǎn) 化 率 的 影 響任何氣相化學(xué)反應(yīng) 達平衡時有B0 B 0BBA B = C D a b c d B B 0/ (1 ) (1 )( ) ( )( )n mol a x b x cx dxa b c d x a bx n 起始nB,0/mol a b 0 0平衡nB/mol a(1-x) b(1-x) cx dx 1-

2、1-11 二 分 法 問 題 的 提 出 溫度一定，K0為常數(shù)， 平衡時，K0與總壓p之間關(guān)系為： B)( B pnpKK n即B B0 0B0B( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) /( )(1 ) c da bc d c da b a bcx dx pK a x b x n px c d p px a b n 令BBB( ) ( )c da bSR a b SP c dc dKN a b 反應(yīng)物產(chǎn)物上式整理為：KNpp nKxx SRSP /)/()1( BB0 1-1-11 二 分 法 問 題 的 提 出 令0/)/()1()( BB KNpp nKxxxF SRSP 此方程為含x

3、的高次方程，x:0.01.0之間 用二分法1-1-11 二 分 法 問 題 的 提 出 有函數(shù)f(x)=0，求在區(qū)間a,b內(nèi)的實根。設(shè)：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)。 函數(shù)在a、b兩點之值f(a)與f(b)異號，說明在 區(qū)間a,b中至少有一實根。a bx 0 x1可得一系列區(qū)間套：),(),(),(),( 1111 babababa nnnn 它們必須滿足：nnn nn abab bfaf 2 0)()( xy f(x)x2 1-1-12 二 分 法 方 法 原 理 1.取x的初值 計算函數(shù)f(x0)值，若| f(x0) |EPS，計算并比較函數(shù)值，取與f(x0)異號的區(qū)間為新的區(qū)間，（可能

4、為x0,b或a,x0），如圖）a a,x0 x0,b bx0（EPS取10 -5）EPSab nn 判據(jù)： 1-1-12 二 分 法 方 法 原 理 （ ） A1=A B1=B F0=F(A)X=(A1+B1)/2 F=F(X)A1=X RETURNHALF(A,B,EPS,F,X)F=0F0*F0no B1=X|(B1-A1)/X|EPS yesno yesyesno 改 進 的 二 分 法 ： 將 區(qū) 間a,b劃 分 成 若 干 小 區(qū) 間 1-1-13 二 分 法 程 序 框 圖 開始輸入：M,N(I),K0,P計算SR,SP,KNA=0.0 B=1.0 A1=A B1=B F1=F(A

5、1) F2=F(B1)調(diào)用二分法子程序求解方程F0，解出轉(zhuǎn)化率x輸出：轉(zhuǎn)化率x結(jié)束定義函數(shù)SN，F(xiàn)=F(x) 顯示程序 1-1-14 二 分 法 應(yīng) 用 示 例 計算反應(yīng) )(NH)(H23)(N21 322 ggg 在773K時，不同壓力下的平衡轉(zhuǎn)化率，結(jié)果如下：（已知773K時反應(yīng)平衡常數(shù)K0=0. 3007）p/MPa轉(zhuǎn)化率x0.1 0.9865475.0 0.99809710.0 0.99865530.0 0.9992231-1-14 二 分 法 應(yīng) 用 示 例 例 ： 已 知 醋 酸 H Ac濃 度 為 c的 溶 液 ， 求 其 pH 。解：H Ac稀溶液中存在：質(zhì)量平衡：電荷平衡：

6、將Ac -，H Ac代入（1）將OH -=Kw/H +代入（3）解上述方程得H + Newton-Raphson迭 代 法 1-1-21 Newton-Raphson迭 代 法 有非線性N次方程式 在x=x0-0附近進行泰勒（Taylor）級數(shù)展開 （1） f (x)有明確表示式且容易計算（2）容易確定根的初值x0忽略二階以上的 0誤差項Newton法適用條件 n次迭代 Newton公式 1-1-22 （EPS取10-5） 判 據(jù) ： 幾 何 意 義 ： 切 線 法 xy y=f(x)x0 x1x2x* PNewton-Raphson迭 代 法 1-1-22 Newton-Raphson迭 代

7、 法 FX=F(X0) GX=G(X0)X=X0-FX/GXRETURNNEWN(X0,EPS,F,G,X)|(X-X0)/X|EPSyesnoX0=X 改進：1.一階導(dǎo)數(shù)不便計算時，用差商代替導(dǎo)數(shù) 2.引進比例因子，便于收斂 1-1-23 Newton-Raphson迭 代 法 )(23)( )()( w2 ww23 KcKxKxxf KKxKcKxKxxf aa aaa 設(shè)H+ =x：輸入C,KA,KW,EPS 開始計算初值 acKx 0調(diào)用Newton法子程序計算X 計算pH=-lgx輸出H +,pH結(jié)束初值：acKx 0顯示程序 1-1-24 例 2： 已 知 300K-500K之 間

8、 ， 甲 苯 胺 的 飽 和 蒸 汽 壓 計 算 公 式 為TTp lg081.5/3.34808369.23lg 其 中 ， p為 壓 力 /kpa， T為 溫 度 /K ， 試 求 甲 苯 胺 的 正 常 沸 點 。解：按題意，將 p=101.325kPa代入上述方程：0lg081.5/3.34808239.21)( TTTf則TTTf /2067.2/3.3480)( 2 初值：T0=300K Newton-Raphson迭 代 法 1-1-24 輸入p =101.325kPa開始 初值T0=300K調(diào)用Newton法子程序計算T輸出T結(jié)束 Newton-Raphson迭 代 法 1-1

9、-24 例 ： 質(zhì) 譜 法 測 定 多 組 分 混 合 物 中 組 分 含 量背景 質(zhì)譜法：通過將樣品轉(zhuǎn)化為運動的氣態(tài)離子并按質(zhì)荷比(me或 mz)大小進行分離記錄的分析方法。所得結(jié)果即為質(zhì)譜圖(亦稱質(zhì)譜，Mass spectrum)。主要應(yīng)用：鑒定復(fù)雜分子并闡明其結(jié)構(gòu)、確定元素的同位素質(zhì)量及分布等。 1-2-1-1 Gauss消 去 法 （ 列 主 元 ） 對于一定質(zhì)荷比（m/e）：),2,1(1 nipsrH nj jjiji Hi：混合物樣品中第i個 峰高pj：組分j的分壓sj：組分j的靈敏度因子rij：組分j形成的第i種離子 的相對含量已知sj rij Hi ，得PRSHniprsH

10、n j jiji )(),2,1()(1 即解方程組 H(RS)P ,得各組分的分壓pj由式： nj jjj ppm 1/100得混合物中各組分的含量mj 1-2-1-1 Gauss消 去 法 （ 列 主 元 ） 線性方程組：BAX 基 本 思 想： 用行的初等變換，逐次消去未知數(shù)的方法， 把原來的方程組AX=B，化為與其等價的上三角方程組。 nnnnnn nn bbbxxxaaa aaa aaa 212121 22221 11211 1-2-1-2 Gauss消 去 法 （ 列 主 元 ） 例 ： 求 下 列 方 程 組 的 根 72 4524 132 21 321 321 xx xxx x

11、xx解：增廣矩陣為：第1步消元321AAA 133 122 1111 12/ BAB BAB aAB 第2步消元233 2222 5.1/ CBC bBC 第3步消元 3333 /cCD x3x3 ,x2 x2x1 回 代步 驟 ： )1()1( max kiknikklk aa 1-2-1-2 Gauss消 去 法 （ 列 主 元 ） 2.消 元增廣矩陣：第1步第k步第n步 1-2-1-2 Gauss消 去 法 （ 列 主 元 ） 公式：)()1()1()( )1()1()( / kkjkikkijkij kkkkkjkkj aaaa aaa kinkki kjnkkj nk ,2,1 1,

12、2,1,2,1 3.回 代 1,2,1 1 )()( 1, )( 1, nnixaax ax nij jnijnnii nnnn 1-2-1-2 Gauss消 去 法 （ 列 主 元 ） GS(A,N,M,EPS)Do K=1,N ,L=K,N,J=K,MK)MAX(A(I,K)A(L, A(L,K)MAXITRETURN noyesyesyes1)(KI(K)I XX nono 1-2-2-3 GaussSeidel迭 代 法 開始輸入：物質(zhì)名稱 給定不同波長下各純物質(zhì)及混合物的摩爾吸光度Eij,Ai,即為線性方程組的系數(shù)A(N,M)；MN1 選主元精度EPS 調(diào)用GaussSeidel迭 代 法子程序求解線性方程組ECA計算混合物中各組分的濃度Cj輸出：混合物中各組分的濃度Cj結(jié)束顯示程序 顯示輸出 1-2-2-4 GaussSeidel迭 代 法 例：根據(jù)分光光度法測得的下列數(shù)據(jù)，確定五組分混合物中各組分的物質(zhì)的量濃度。解：由題意，得到方程組為： 1330.02992.02700.02215.01135.012016842 241401841 210903030 9.051012012 5.01210100 54321ccccc 1-2-2-4 GaussSeidel迭 代 法