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2021二次根式及其化簡(jiǎn)公開(kāi)課教案教案

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1、二次根式及其化簡(jiǎn) 公開(kāi)課教案 教案 2.7 二次根式 第1課時(shí) 二次根式及其化簡(jiǎn) 1.了解二次根式的定義及最簡(jiǎn)二次根式;(重點(diǎn)) 2.運(yùn)用二次根式有意義的條件解決相關(guān)問(wèn)題.(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 問(wèn)題:(1)如圖,在Rt △ABC 中,AC =3,BC =2,∠C =90,那么AB 邊的長(zhǎng)是多少?(2)面積為S 的正方形的邊長(zhǎng)是多少?(3)要修建一個(gè)面積為6.28平方米的圓形水池,它的半徑是多少米?(π取3.14) 上述結(jié)果有什么共同特征? 二、合作探究 探究點(diǎn)一:二次根式的相關(guān)概念 【類型一】 二次根式的定義 下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二

2、次根式? (1)2;(2)4;(3)3 3;(4)1x +y ; (5)x +y (x≥0,y ≥0);(6)3a 2 +8; (7)-x 2 -12. 解:(1)(2)(5)(6)是;(3)(4)(7)不是. 方法總結(jié):在判斷一個(gè)代數(shù)式是不是二次根式時(shí),應(yīng)該在原始形式的基礎(chǔ)上進(jìn)行判斷,不能先化簡(jiǎn)再作判斷,如本題4=2,4是二次根式,但2不是二次根式. 【類型二】 二次根式有意義的條件 當(dāng)x________,x +3+ 1 x +1 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義. 解析:要使x +3+1 x +1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足被開(kāi)方數(shù)x +3≥0和分母 x +1

3、≠0,解得x ≥-3且x≠-1. 方法總結(jié):使一個(gè)代數(shù)式有意義的未知數(shù)的取值范圍通常要考慮三種情況:一是分母不 為零,二是偶次方根的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),三是零次冪的底數(shù)不為零.探究點(diǎn)二:二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn)下列二次根式. (1)48;(2)8a3b(a≥0,b≥0); (3)(-36)169(-9). 解析:本題主要考查運(yùn)用 ab=ab(a≥0,b≥0)及a2=a(a≥0)進(jìn)行化簡(jiǎn).解:(1)48=163=163=43; (2)8a3b=22a22ab=(2a)22ab=2a2ab; (3)(-36)169(-9)=361699=6133=234. 方法總結(jié):(1)若被

4、開(kāi)方數(shù)中含有負(fù)因數(shù),則應(yīng)先化成正因數(shù),如(3)題.(2)將二次根式盡量化簡(jiǎn),使被開(kāi)方數(shù)(式)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)(因式),即化為最簡(jiǎn)二次根式(后面學(xué)到). 探究點(diǎn)三:最簡(jiǎn)二次根式 在二次根式8a, c 9 ,a2+b2,a2 中,最簡(jiǎn)二次根式共有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析:8a中有因數(shù)4; c 9 中有分母9;a3中有因式a2.故最簡(jiǎn)二次根式只有a2+b2.故選A. 方法總結(jié):只需檢驗(yàn)被開(kāi)方數(shù)是否還有分母,是否還有能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式. 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 二次根式 ?? ? ??定義???形如a(a≥0)的式子 有意義的條件:a≥0

5、 性質(zhì):(a)2=a(a≥0),a2=a(a≥0) 最簡(jiǎn)二次根式 本節(jié)經(jīng)歷從具體實(shí)例到一般規(guī)律的探究過(guò)程,運(yùn)用類比的方法,得出實(shí)數(shù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則,使學(xué)生清楚新舊知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系,加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解,能否根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),選擇合理、簡(jiǎn)便的算法,能否確認(rèn)結(jié)果的合理性等等. 4.4一次函數(shù)的應(yīng)用 第1課時(shí)確定一次函數(shù)的表達(dá)式 1.會(huì)確定正比例函數(shù)的表達(dá)式;(重點(diǎn)) 2.會(huì)確定一次函數(shù)的表達(dá)式.(重點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 某農(nóng)場(chǎng)租用播種機(jī)播種小麥,在甲播種機(jī)播種2天后,又調(diào)來(lái)乙播種機(jī)參與播種,直至完成800畝的播種任務(wù),播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖.你能通

6、過(guò)圖象提供的信息求出y 與x 之間的關(guān)系式嗎?你知道乙播種機(jī)參與播種的天數(shù)是多少呢?學(xué)習(xí)了本節(jié)的內(nèi)容,你就知道了. 二、合作探究 探究點(diǎn)一:確定正比例函數(shù)的表達(dá)式 求正比例函數(shù)y =(m -4)m 2 -15的表達(dá)式. 解析:本題是利用正比例函數(shù)的定義來(lái)確定表達(dá)式的,即自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0,這種類型簡(jiǎn)稱為定義式. 解:由正比例函數(shù)的定義知m 2 -15=1且m -4≠0,∴m =-4,∴y =-8x. 方法總結(jié):利用正比例函數(shù)的定義確定表達(dá)式:自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0. 探究點(diǎn)二:確定一次函數(shù)的表達(dá)式 【類型一】 根據(jù)給定的點(diǎn)確定一次函數(shù)的表達(dá)式 已知一

7、次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(0,5)、(2,-5)兩點(diǎn),求一次函數(shù)的表達(dá)式. 解析:先設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y =kx +b ,因?yàn)樗膱D象經(jīng)過(guò)(0,5)、(2,-5)兩點(diǎn),所以當(dāng)x =0時(shí),y =5;當(dāng)x =2時(shí),y =-5.由此可以得到兩個(gè)關(guān)于k 、b 的方程,通過(guò)解方程即可求出待定系數(shù)k 和b 的值,再代回原設(shè)即可. 解:設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y =kx +b ,根據(jù)題意得, ∴?????5=b ,-5=2k +b.解得? ????k =-5,b =5.∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y =-5x +5. 方法總結(jié):“兩點(diǎn)式”是求一次函數(shù)表達(dá)式的基本題型.二次函數(shù)y =kx +b 中有兩個(gè)待定系數(shù)k 、b

8、 ,因而需要知道兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能確定函數(shù)的關(guān)系式. 【類型二】 根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示,它們的交點(diǎn)為A(4,3),B 為一次函數(shù)的 圖象與y 軸的交點(diǎn),且OA =2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式. 解析:根據(jù)A(4,3)可以求出正比例函數(shù)表達(dá)式,利用勾股定理可以求出OA 的長(zhǎng),從而可以求出點(diǎn)B 的坐標(biāo),根據(jù)A 、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出一次函數(shù)的表達(dá)式. 解:設(shè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y 1=k 1x ,一次函數(shù)的表達(dá)式為y 2=k 2x +b.∵點(diǎn)A(4,3)是它們的交點(diǎn),∴代入上述表達(dá)式中,得3=4k 1,3=4k 2+b

9、.∴k 1=3 4,即正比例函數(shù)的表達(dá) 式為y =34x.∵OA =32+42 =5,且OA =2OB ,∴OB =52.∵點(diǎn)B 在y 軸的負(fù)半軸上,∴B 點(diǎn)的 坐標(biāo)為(0,-52).又∵點(diǎn)B 在一次函數(shù)y 2=k 2x +b 的圖象上,∴-5 2=b ,代入3=4k 2+b 中, 得k 2=118.∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y 2=118x -5 2 . 方法總結(jié):根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式的方法:從圖象上選取兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo), 然后運(yùn)用待定系數(shù)法將兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入所設(shè)表達(dá)式中求出待定系數(shù),從而求出函數(shù)的表達(dá)式. 【類型三】 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定一次函數(shù)的表達(dá)式

10、某商店售貨時(shí),在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加一定利潤(rùn),其數(shù)量x 與售價(jià)y 的關(guān)系如下表所 示,請(qǐng)你根據(jù)表中所提供的信息,列出售價(jià)y(元)與數(shù)量x(千克)的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)數(shù)量是2.5 解析:從圖表中可以看出售價(jià)由8+0.4依次向下擴(kuò)大到2倍、3倍、…… 解:由表中信息,得y =(8+0.4)x =8.4x ,即售價(jià)y 與數(shù)量x 的函數(shù)關(guān)系式為y =8.4x.當(dāng)x =2.5時(shí),y =8.42.5=21.所以數(shù)量是2.5千克時(shí)的售價(jià)是21元. 方法總結(jié):解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學(xué)模型,得出變化關(guān)系,并求出函數(shù)的表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式作答. 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 確定一次函數(shù)表達(dá)式???? ?正比

11、例函數(shù)y =kx (k≠0)一次函數(shù)y =kx +b (k≠0) 經(jīng)歷對(duì)正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的探求過(guò)程,掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式,進(jìn)一步使用數(shù)形結(jié)合的思想方法;經(jīng)歷從不同信息中獲取一次函數(shù)表達(dá)式的過(guò)程,體會(huì)到解決問(wèn)題的多樣性,拓展學(xué)生的思維. 2.2 平方根 第1課時(shí) 算術(shù)平方根 1.了解算術(shù)平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根;(重點(diǎn)) 2.根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根;(重點(diǎn)) 3.了解算術(shù)平方根的性質(zhì).(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 上一節(jié)課我們做過(guò):由兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形,通過(guò)剪一剪,拼一拼,得到一個(gè)邊長(zhǎng) 為a

12、 的大正方形,那么有a 2 =2,a =________,2是有理數(shù),而a 是無(wú)理數(shù).在前面我們學(xué) 過(guò)若x 2 =a ,則a 叫做x 的平方,反過(guò)來(lái)x 叫做a 的什么呢? 二、合作探究 探究點(diǎn)一:算術(shù)平方根的概念 【類型一】 求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根: (1)64;(2)214 ;(3)0.36;(4)412-402 . 解析:根據(jù)算術(shù)平方根的定義求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根,只要找到一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)即可. 解:(1)∵82 =64,∴64的算術(shù)平方根是8; (2)∵(32)2=94=214,∴214的算術(shù)平方根是32; (3)∵

13、0.62 =0.36,∴0.36的算術(shù)平方根是0.6; (4)∵412 -402 =81,又92 =81,∴81=9,而32 =9,∴412 -402 的算術(shù)平方根是3. 方法總結(jié):(1)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí),首先要弄清是求哪個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根,分清求81與81的算術(shù)平方根的不同意義,不要被表面現(xiàn)象迷惑. (2)求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根常借助平方運(yùn)算,因此熟記常用平方數(shù)對(duì)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根十分有用. 【類型二】 利用算術(shù)平方根的定義求值 3+a 的算術(shù)平方根是5,求a 的值. 解析:先根據(jù)算術(shù)平方根的定義,求出3+a 的值,再求a. 解:因?yàn)?2 =25

14、,所以25的算術(shù)平方根是5,即3+a =25,所以a =22. 方法總結(jié):已知一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根,可以根據(jù)平方運(yùn)算來(lái)解題. 探究點(diǎn)二:算術(shù)平方根的性質(zhì) 【類型一】 解析:首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算,再進(jìn)行加減運(yùn)算. 解:49+9+16-225=7+5-15=-3. 方法總結(jié):解題時(shí)容易出現(xiàn)如9+16=9+16的錯(cuò)誤. 【類型二】 已知x 3(y -2)2 =0,求x -y 的值. 解析:算術(shù)平方根和完全平方式都具有非負(fù)性,即a ≥0,a 2 ≥0,由幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0,可得每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0,由此可求出x 和y 的值,進(jìn)而求得答案. 解:由題意可得x -

15、1=0,y -2=0,所以x =1,y =2.所以x -y =1-2=-1. 方法總結(jié):算術(shù)平方根、絕對(duì)值和完全平方式都具有非負(fù)性,即a ≥0,|a|≥0,a 2 ≥0,當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí),各數(shù)均為0. 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 算術(shù)平方根???概念:非負(fù)數(shù)a 的算術(shù)平方根記作 a 性質(zhì):雙重非負(fù)性???a≥0, a ≥0 讓學(xué)生正確、深刻地理解算術(shù)平方根的概念,需要由淺入深、不斷深化.概念的形成 過(guò)程也是思維過(guò)程,加強(qiáng)概念形成過(guò)程的教學(xué),對(duì)提高學(xué)生的思維水平是很有幫助的.概念教學(xué)過(guò)程中要做到:講清概念,加強(qiáng)訓(xùn)練,逐步深化. 4.4 一次函數(shù)的應(yīng)用 第1課時(shí) 確定一次函

16、數(shù)的表達(dá)式 1.會(huì)確定正比例函數(shù)的表達(dá)式;(重點(diǎn)) 2.會(huì)確定一次函數(shù)的表達(dá)式.(重點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 某農(nóng)場(chǎng)租用播種機(jī)播種小麥,在甲播種機(jī)播種2天后,又調(diào)來(lái)乙播種機(jī)參與播種,直至完成800畝的播種任務(wù),播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖.你能通過(guò)圖象提供的信息求出y 與x 之間的關(guān)系式嗎?你知道乙播種機(jī)參與播種的天數(shù)是多少呢?學(xué)習(xí)了本節(jié)的內(nèi)容,你就知道了. 二、合作探究 探究點(diǎn)一:確定正比例函數(shù)的表達(dá)式 求正比例函數(shù)y =(m -4)m 2 -15的表達(dá)式. 解析:本題是利用正比例函數(shù)的定義來(lái)確定表達(dá)式的,即自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0,這種類

17、型簡(jiǎn)稱為定義式. 解:由正比例函數(shù)的定義知m 2 -15=1且m -4≠0,∴m =-4,∴y =-8x. 方法總結(jié):利用正比例函數(shù)的定義確定表達(dá)式:自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0. 探究點(diǎn)二:確定一次函數(shù)的表達(dá)式 【類型一】 根據(jù)給定的點(diǎn)確定一次函數(shù)的表達(dá)式 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(0,5)、(2,-5)兩點(diǎn),求一次函數(shù)的表達(dá)式. 解析:先設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y =kx +b ,因?yàn)樗膱D象經(jīng)過(guò)(0,5)、(2,-5)兩點(diǎn),所以當(dāng)x =0時(shí),y =5;當(dāng)x =2時(shí),y =-5.由此可以得到兩個(gè)關(guān)于k 、b 的方程,通過(guò)解方程即可求出待定系數(shù)k 和b 的值,再代回原設(shè)即可. 解:設(shè)

18、一次函數(shù)的表達(dá)式為y =kx +b ,根據(jù)題意得, ∴?????5=b ,-5=2k +b.解得?????k =-5,b =5. ∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y =-5x +5. 方法總結(jié):“兩點(diǎn)式”是求一次函數(shù)表達(dá)式的基本題型.二次函數(shù)y =kx +b 中有兩個(gè)待定系數(shù)k 、b ,因而需要知道兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能確定函數(shù)的關(guān)系式. 【類型二】 根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示,它們的交點(diǎn)為A(4,3),B 為一次函數(shù)的 圖象與y 軸的交點(diǎn),且OA =2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式. 解析:根據(jù)A(4,3)可以求出正比例函數(shù)表達(dá)式,利

19、用勾股定理可以求出OA 的長(zhǎng),從而可以求出點(diǎn)B 的坐標(biāo),根據(jù)A 、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出一次函數(shù)的表達(dá)式. 解:設(shè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y 1=k 1x ,一次函數(shù)的表達(dá)式為y 2=k 2x +b.∵點(diǎn)A(4,3)是它們的交點(diǎn),∴代入上述表達(dá)式中,得3=4k 1,3=4k 2+b.∴k 1=3 4,即正比例函數(shù)的表達(dá) 式為y =34x.∵OA =32+42 =5,且OA =2OB ,∴OB =52.∵點(diǎn)B 在y 軸的負(fù)半軸上,∴B 點(diǎn)的 坐標(biāo)為(0,-52).又∵點(diǎn)B 在一次函數(shù)y 2=k 2x +b 的圖象上,∴-5 2=b ,代入3=4k 2+b 中, 得k 2=118.∴一次

20、函數(shù)的表達(dá)式為y 2=118x -5 2 . 方法總結(jié):根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式的方法:從圖象上選取兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo), 然后運(yùn)用待定系數(shù)法將兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入所設(shè)表達(dá)式中求出待定系數(shù),從而求出函數(shù)的表達(dá)式. 【類型三】 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定一次函數(shù)的表達(dá)式 某商店售貨時(shí),在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加一定利潤(rùn),其數(shù)量x 與售價(jià)y 的關(guān)系如下表所 示,請(qǐng)你根據(jù)表中所提供的信息,列出售價(jià)y(元)與數(shù)量x(千克)的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)數(shù)量是2.5千克時(shí)的售價(jià). 解析:從圖表中可以看出售價(jià)由8+0.4依次向下擴(kuò)大到2倍、3倍、…… 解:由表中信息,得y =(8+0.4)x =8.4x ,即售價(jià)y 與數(shù)量x 的函數(shù)關(guān)系式為y =8.4x.當(dāng)x =2.5時(shí),y =8.42.5=21.所以數(shù)量是2.5千克時(shí)的售價(jià)是21元. 方法總結(jié):解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學(xué)模型,得出變化關(guān)系,并求出函數(shù)的表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式作答. 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 確定一次函數(shù)表達(dá)式?????正比例函數(shù)y =kx (k≠0) 一次函數(shù)y =kx +b (k≠0) 經(jīng)歷對(duì)正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的探求過(guò)程,掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá) 式,進(jìn)一步使用數(shù)形結(jié)合的思想方法;經(jīng)歷從不同信息中獲取一次函數(shù)表達(dá)式的過(guò)程,體會(huì)到解決問(wèn)題的多樣性,拓展學(xué)生的思維.

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