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1、8 有限元法的前后處理8-1 引言有限元法分成以下幾步：（1）計(jì)算模型的幾何剖分、數(shù)據(jù)生成和數(shù)據(jù)準(zhǔn)備；（2）計(jì)算分析；（3）計(jì)算結(jié)果的分析、整理和圖形顯示。有限元發(fā)展初期，（1）、（3）都是由人工來做。有統(tǒng)計(jì)資料表明，（1）的工作量為45%，（3）的工作量為50%，而（2）只占到5%。 以（1）為例，首先按比例畫到坐標(biāo)紙上，然后按一定的順序編號，再整理出如下信息，以供有限元分析之用：*節(jié)點(diǎn)信息節(jié)點(diǎn)編號和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；*單元信息單元編號和單元中節(jié)點(diǎn)號的排列順序；*材料信息計(jì)算模型的材料性質(zhì)（彈性模量，泊松比，比熱，導(dǎo)熱系數(shù)等）；*載荷信息計(jì)算模型所受的負(fù)載信息（集中力，體積力，表面力，溫度，壓力等）

2、；*約束信息初始條件和邊界條件。 最后還要將這些數(shù)據(jù)一一輸入計(jì)算機(jī)。以上工作乏味而且容易出錯(cuò)。有限元分析的前處理就是使計(jì)算機(jī)部分或全部完成計(jì)算模型的幾何剖分、數(shù)據(jù)生成和數(shù)據(jù)輸入，有限元的后處理則是將有限元計(jì)算結(jié)果由計(jì)算機(jī)整理成易于閱讀或分析的數(shù)值或圖形形式。8-2 有限元分析的前處理技術(shù)有限元法的前處理主要有以下內(nèi)容：（1）計(jì)算模型的幾何表示；（2）模型網(wǎng)格的自動(dòng)分劃（或剖分）；（3）剛度矩陣的帶寬優(yōu)化；（4）模型網(wǎng)格圖的計(jì)算機(jī)繪制。 一 計(jì)算模型的幾何表示1 對于設(shè)計(jì)階段的零部件進(jìn)行有限元分析，如果采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，則模型的幾何表示可采用計(jì)算機(jī)造型系統(tǒng)中的幾何表示。常用的有表面模型和立體模

3、型。2 對于已有的零部件做有限元分析，既可以將其輸入到計(jì)算機(jī)中，采用第一種辦法表示其幾何形狀，也可以根據(jù)零件的幾何形狀來決定其表示法。常用的有整體表示法和分塊表示法。（1）整體表示法：用點(diǎn)表示線，用線表示面，用面表示體。（2）分塊表示法：把整體看成是由簡單個(gè)體的組合，而簡單個(gè)體則可用多邊形和多面體表示。 二 有限元網(wǎng)格的自動(dòng)剖分有限元網(wǎng)格的自動(dòng)剖分與計(jì)算模型的幾何表示方法有密切的關(guān)系。整體表示的幾何模型，適宜于采用整體剖分要用到較多的數(shù)學(xué)知識。下面討論分塊表示幾何模型時(shí)常用的一種分塊剖分法。以二維問題為例。圖示的二維區(qū)域可以看成是A,B,C三個(gè)部分組成。 A,B,C都是簡單的四邊形，四邊形頂點(diǎn)

4、的坐標(biāo)可以表示其形狀和位置。 網(wǎng)格自動(dòng)剖分的方法分成四個(gè)步驟：1）分塊映射；2）網(wǎng)格剖分；3）順序編碼；4）總體合成。1 分塊映射首先把計(jì)算區(qū)域手工粗分成若干個(gè)四邊形區(qū)域的組合，每個(gè)四邊形稱為一個(gè)大單元。 B CA 為了既能表示直邊大單元，又能表示曲邊大單元，采用8個(gè)節(jié)點(diǎn)來描述一個(gè)大單元。右圖中，（a）是真實(shí)圖形在總體坐標(biāo)系下的樣子，經(jīng)過等參數(shù)單元的變換后，得到（b）圖中邊長為2的正方形。同樣的方法可以得到B和C的映射結(jié)果。 2 3 467 11 2 3 4 5567 88yO OA )(b)(a x 2 網(wǎng)格剖分網(wǎng)格剖分是在映射后的正方形區(qū)域中進(jìn)行的。剖分時(shí)可以有兩種方法：等邊剖分和不等邊剖

5、分。（1）等邊剖分將=-1邊和=1邊剖分成相等的份數(shù)。同樣，將=-1和=1邊也剖分成相等的份數(shù)。則最終剖份單元數(shù)為 。 NN O （2）不等邊剖分某一方向兩個(gè)邊界上的剖分?jǐn)?shù)不一致。比如 =-1分割數(shù)為3， =1一側(cè)的分割數(shù)為7。需要計(jì)算沿另一個(gè)方向（等值、 方向）的分割數(shù)，使相鄰的兩條等值線的分割數(shù)差1。 O3 4 6 75CBA 對于相鄰的兩條等值線分割數(shù)不相等的情況，應(yīng)將分割數(shù)多的等值線上的最后兩點(diǎn)與相鄰的、分割數(shù)少1的等值線上的最后一點(diǎn)組成一個(gè)三角形單元。已經(jīng)形成的四邊形單元，只要連接四邊形的兩個(gè)對角點(diǎn)，即可得到兩個(gè)三角形單元?；蛘弑３炙倪呅螁卧?，這樣，求解區(qū)域既有四邊形單元，也有三角形

6、單元，相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃囈灿袃煞N類型，總體合成時(shí)，按照總體節(jié)點(diǎn)編號累加單元中的元素值即可。完成局部坐標(biāo)系o中的大單元的分割后，對應(yīng)的總體坐標(biāo)系xoy中的大四邊形也同時(shí)被分割了。從o到xoy的坐標(biāo)變換關(guān)系是 式中 為映射函數(shù)，也就是8節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元位移插值函數(shù)的形函數(shù)。 是總體坐標(biāo)系中大四邊形各邊節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。 ii ii ii yNy xNx 8181 , 8,2,1,iNi ,84 1121 2,6 1121 7,5,3,1 11141, 22 iiiN ii iiiii 8,2,1,iyx ii 按照坐標(biāo)變換關(guān)系式，將已經(jīng)分割后的局部坐標(biāo)系中的正方形中的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(,)代入，即可得到

7、對應(yīng)的總體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)。例如， 方向分割數(shù)N=4， 方向的分割數(shù)N=3，求圖中K點(diǎn)的坐標(biāo)(xK,yK)。 KO 如果以O(shè)為起點(diǎn)，則K點(diǎn)的局部坐標(biāo)為根據(jù)已知的 ， 將(K,K)代入坐標(biāo)變換式，即可求出對應(yīng)的(x K,yK)。 方向的分割線序數(shù)。方向和點(diǎn)算起從，；起算點(diǎn)的局部坐標(biāo) OKK KN KNOO OK OK 1,1, 3113212 2 114212 8,2,1,iN i 8,2,1,iyx ii 3 順序編碼編碼就是將所有節(jié)點(diǎn)連續(xù)無缺地順序編號，并對每個(gè)單元編號和形成單元信息。編碼可以分成兩步來做。首先對每個(gè)大四邊形編碼。對基本的大四邊形單元編碼時(shí)，可以按行（列）進(jìn)行。以

8、按行編碼為例，每計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)號加1。單元編號也可類似進(jìn)行（比如按列）。 )2( )3(1k2k )1( )4( )5(5k )1(NS )2(NS )3(NS )4(NS 為了形成與某一個(gè)單元相關(guān)的節(jié)點(diǎn)號，在節(jié)點(diǎn)編號時(shí)，對每一個(gè)新行的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)專門形成一個(gè)數(shù)組NS(i)。其中的i代表節(jié)點(diǎn)編碼的行號， NS(i)的值代表該行起點(diǎn)節(jié)點(diǎn)號。如果單元編碼按列進(jìn)行，則第二個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)是NS(3)， NS(3)+1， NS(2)+1， NS(2)。如果單元是8節(jié)點(diǎn)等參元，還要計(jì)入單元每邊中間一點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號。對每個(gè)大四邊形順序編碼，這樣，可能會有一些節(jié)點(diǎn)在大四邊形組合后，同一節(jié)點(diǎn)擁有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)號。這個(gè)問題

9、可以在下一步總體合成中予以解決。 4 總體合成將經(jīng)過剖分、編碼后的大四邊形單元合在一起，調(diào)整具有多個(gè)節(jié)點(diǎn)號的節(jié)點(diǎn)編碼，重排節(jié)點(diǎn)號，稱為總體合成?？傮w合成的主要任務(wù)是使整體節(jié)點(diǎn)號的編號連續(xù)無缺，并修改分開編碼形成的單元信息。對于同一節(jié)點(diǎn)具有多個(gè)節(jié)點(diǎn)編號多重編號的節(jié)點(diǎn)，可以采用比較節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的辦法將其消除。比如，如果同時(shí)成立，說明i和j重合或很接近。 yji xji yy xx 21 21 式中(xi1,yi1)為第一大單元中的節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)；(xj1,yj1)為第二大單元中的節(jié)點(diǎn)j的坐標(biāo)； x,y是預(yù)先給定的距離很小的數(shù)值。找出重復(fù)編號的節(jié)點(diǎn)之后，修改第二大單元中的節(jié)點(diǎn)信息和單元信息：（1）保留節(jié)點(diǎn)

10、號i，取消節(jié)點(diǎn)編號j；（2）將第二大單元中比i大的節(jié)點(diǎn)編號全部減1；（3）修改第二大單元中該節(jié)點(diǎn)所在的單元信息和比該節(jié)點(diǎn)編號要大的那些單元的信息。重復(fù)以上過程，直至第二大單元中的所有節(jié)點(diǎn)都循環(huán)完畢。 對于三維問題，也可以實(shí)現(xiàn)有限元網(wǎng)格的自動(dòng)分割，只是分塊區(qū)域?yàn)榱骟w或五面體，映射后的區(qū)域?yàn)檎骟w和直三棱柱。 1 2 3 4 56 1016 1511 17 18 19 2021 2224 2627 2930 3233 34 35 1823262932 33 2528大單元連續(xù)編號重復(fù)編號的剔除222123 3134 三 剛度矩陣的帶寬優(yōu)化為了節(jié)省計(jì)算機(jī)的存儲空間，需要優(yōu)化總剛矩陣的帶寬。節(jié)點(diǎn)編

11、號對應(yīng)總剛矩陣中的非零元素的位置。節(jié)點(diǎn)編號變動(dòng)，總剛矩中非零元素的位置也發(fā)生變動(dòng)，反之亦然。帶寬優(yōu)化的原理：通過調(diào)整總剛矩陣中非零元素的位置，對應(yīng)地修改單元信息，從而減少剛陣帶寬。 為此引入鄰接矩陣B，其階數(shù)與剛度矩陣相同，其中的元素非0即1式中，aij是剛度矩陣中的元素。B也具有帶狀的樣子。帶寬優(yōu)化有許多實(shí)用算法，有些要用到圖論或較深的數(shù)學(xué)知識。下面介紹兩種易于理解的帶寬優(yōu)化方法，它們都是采用變換鄰接矩陣中的行或列的辦法來減少剛陣帶寬的。 0 0 0 1 ijijij aab 1 羅森算法羅森（Roson）算法的基本思想：找出引起B(yǎng)矩陣最大帶寬的一對頂點(diǎn)，取其中一個(gè)與其他頂點(diǎn)互換，看能否減小

12、帶寬。若可以，則進(jìn)行交換。交換后，再繼續(xù)尋找引起當(dāng)時(shí)B矩陣最大帶寬的一對頂點(diǎn)，并重復(fù)上述過程。為此，首先將B中的“頂點(diǎn)”序號紀(jì)錄在一個(gè)數(shù)組中，稱為“頂點(diǎn)表”。“頂點(diǎn)”是B中每一行離主對角線元素最遠(yuǎn)的那一點(diǎn)。然后在頂點(diǎn)表中：（1）確定B矩陣的帶寬及兩個(gè)達(dá)到最大帶寬的第一對頂點(diǎn)。在這對頂點(diǎn)中，若較高編號頂點(diǎn)能與一低編號頂點(diǎn)互換以減小帶寬，則轉(zhuǎn)向（6）； （2）若較低編號頂點(diǎn)能與一高編號頂點(diǎn)互換以減小帶寬，則轉(zhuǎn)向（6）；（3）若較高編號頂點(diǎn)能與一低編號頂點(diǎn)互換二保持帶寬不變，則轉(zhuǎn)向（6）；（4）若較低編號頂點(diǎn)能與一高編號頂點(diǎn)互換而保持帶寬不變，則轉(zhuǎn)向（6）；（5）如果在（3）、（4）步中已連續(xù)執(zhí)行過

13、規(guī)定的經(jīng)驗(yàn)次數(shù)，或已交換過的頂點(diǎn)又重新選出來交換，則算法終止；否則，轉(zhuǎn)向（6）；（6）執(zhí)行所指出的頂點(diǎn)交換，即分別交換頂點(diǎn)表的對應(yīng)分量以及B矩陣的行和列，并轉(zhuǎn)向（1）?？梢?，整個(gè)交換過程都在頂點(diǎn)表中進(jìn)行。 2 阿基茨厄特庫算法阿基茨(Akyuz)厄特庫(Utku)算法也在1968年提出一種減小平均帶寬的方法，簡稱AU算法。平均帶寬的定義：AU算法的基本步驟：（1）從B矩陣中取出相鄰的兩行列進(jìn)行交換，并計(jì)算平均帶寬。如果滿足下列兩個(gè)條件之一，則交換有效：行的帶寬。矩陣第剛度矩陣的階數(shù)；式中in n ini i 11 平均帶寬減少；平均帶寬保持不變，但有較多元素的行從矩陣中心向外移。（2）在一個(gè)指

14、定的交換循環(huán)內(nèi)，按(1) 及(1) 執(zhí)行行列交換，其交換順序規(guī)定為(1,2), (n,n-1), (2,3), (n-1,n-2),直至中心行。（3）如果在一個(gè)循環(huán)內(nèi)沒有發(fā)生交換，或經(jīng)過經(jīng)驗(yàn)次數(shù) 次的循環(huán)而平均帶寬不減小，交換運(yùn)算停止；否則，重復(fù)執(zhí)行(1)、(2)。一般來講，實(shí)用的帶寬優(yōu)化算法并不能使剛度矩陣的帶寬達(dá)到極小化，但并不影響其實(shí)用性。大型的有限元分析軟件包一般都具有帶寬極小化的功能。1003 n 四 模型網(wǎng)格的自動(dòng)生成目的：檢查所生成的幾何數(shù)據(jù)的正確性。方法：根據(jù)單元數(shù)組信息（單元和單元節(jié)點(diǎn)關(guān)系）和節(jié)點(diǎn)數(shù)組信息（節(jié)點(diǎn)號和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系），將相鄰節(jié)點(diǎn)連接起來，一個(gè)單元一個(gè)單元地去形成有

15、限元剖分網(wǎng)格。注意：所得結(jié)果還要消除隱藏線，否則看不清結(jié)果。這部分內(nèi)容屬于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，在此不做討論。 8-3 有限元分析的后處理有限元數(shù)據(jù)后處理的原因：1）計(jì)算結(jié)果是位移和應(yīng)力；2）數(shù)據(jù)量大，不直觀。有限元數(shù)據(jù)處理工作包括兩個(gè)方面；1）數(shù)值處理 將有限元結(jié)果轉(zhuǎn)化成工程中常用的形式，或設(shè)計(jì)師熟悉的形式；2 ）圖形處理 用圖形直觀地表示設(shè)計(jì)結(jié)果，使設(shè)計(jì)結(jié)果一目了然。 一 數(shù)值處理以應(yīng)力分析為例。有限元位移法計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)的位移，進(jìn)而計(jì)算單元的應(yīng)力：單元內(nèi)任意一點(diǎn)處的應(yīng)力為 。上述結(jié)果不論是數(shù)值積分點(diǎn)處的應(yīng)力，節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力，還是單元中心處的應(yīng)力，也不論其精度高低，都不好使用，原因是：我們需要的不是應(yīng)

16、力分量，而是主應(yīng)力或等效應(yīng)力。說明：單元內(nèi)不同點(diǎn)處的應(yīng)力值的精度是有差別的。一般，數(shù)值積分點(diǎn)處的應(yīng)力值較為準(zhǔn)確。 )(, eBDzyx zxyzxyzyx , 1 主應(yīng)力計(jì)算和等效應(yīng)力計(jì)算工程中往往用一點(diǎn)的主應(yīng)力 來計(jì)算或判斷結(jié)構(gòu)的安全程度。對于二維問題，有限元分析可得任意一點(diǎn)的 ，則主應(yīng)力 與它們的關(guān)系為主應(yīng)力方向 321 , xyyx 和, 21, xyyxyx xyyxyx 22 21 22 22 yx xy 2arctan21 最大剪應(yīng)力和最小剪應(yīng)力為對于三維應(yīng)力問題，主應(yīng)力可以通過求解下述三次方程得到：2 21minmax 2223 22221 322132 0 xyzzxyyzxz

17、xyzxyzyx zxyzxyxzzyyx zyxIII III 其中 上式的解可表示為將 按從大到小的順序排列則 是最大主應(yīng)力， 是最小主應(yīng)力。 23221 32131221 13 12 11 32 2792cos ,332 34cos3 32cos3 3cos3 II IIIIIIR RI RI RI 其中 321 , 321 1 3 從理論上可以證明，三個(gè)根都是實(shí)根，因此有否則，一定是有限元計(jì)算結(jié)果有誤。主應(yīng)力的方向可由以下三式中的任意兩式三式聯(lián)立，得出主應(yīng)力的方向余弦1cos1- ,03 221 II 1 000 222 iii iiziyzizx iyziiyixy izxixyii

18、x nml nml nml nml以及 3,2,1, inml iii 上式中前兩式與第四式聯(lián)立求解的結(jié)果為令 ，即可得到 的方向余弦。 21222 212 212 12 12 1 11 xyiyixixyzxyzx iyzxyzxy xyiyixi ixyzxyzxi iyzxyzxyiA An Am Al 式中3,2,1i 321 , 另外，要核算所分析的零件強(qiáng)度是否足夠，還要根據(jù)一定的強(qiáng)度理論來計(jì)算某點(diǎn)的綜合應(yīng)力。各種強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力如下： 213232221xd3 31xd3 321xd2 11xd21 第四強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論第二強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論 2 應(yīng)力修勻有限元保證位移在單

19、元邊界的連續(xù)性。但是，應(yīng)力在單元邊界并不連續(xù)。怎樣處理計(jì)算結(jié)果才能使應(yīng)力連續(xù)和直觀呢？（1）簡單平均或加權(quán)平均以三角形單元為例。三角形為常應(yīng)力單元，但不同三角形單元的應(yīng)力值不同。簡單平均：加權(quán)平均： 有關(guān)單元面積所在單元面積節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值有關(guān)單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值 （2）最小二乘法在單元內(nèi)采用最小二乘法修勻應(yīng)力；單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值，取環(huán)繞該節(jié)點(diǎn)的不同單元的應(yīng)力值的平均（簡單平均或加權(quán)平均）。單元內(nèi)全應(yīng)力修勻設(shè)應(yīng)力向量 ，修勻后的應(yīng)力向量為 ，則使A(e)達(dá)到最小。其中 )( 21)( eV Te dVA 用的插值函數(shù)。值函數(shù)和修勻應(yīng)力時(shí)采有限元求解時(shí)的單元插節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值；應(yīng)力值和修勻應(yīng)力后

20、的有限元求解得到的節(jié)點(diǎn)ii ii iiiiNN NN , , 根據(jù)上式是以修勻后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力向量 為未知量的線性代數(shù)方程組。利用解析法或高斯積分，可以求得 ，進(jìn)而利用單元應(yīng)力插值，可以計(jì)算單元內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力值。 )( )()( ,2,1 0 ,2,1 0 )( eV iT eie nidVN niAe 或 i i 單元內(nèi)部分應(yīng)力修勻只修勻單元中我們感興趣的分量。例如，只修勻分量。這時(shí)有x )( 2)( 21eV xxxxe dVA )()( ,2,1 0 )( eV ixxxieii xixi xiixxiix nidVNANN NN e 帶入變分后的表達(dá)式函數(shù)。修勻應(yīng)力時(shí)采用的插值值函數(shù)；有

21、限元求解時(shí)的單元插值；修勻應(yīng)力后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力應(yīng)力值；有限元求解得到的節(jié)點(diǎn)將 上式為一線性代數(shù)方程組，方程的數(shù)目為n(e)，未知量為修勻后的單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力分量 。單元內(nèi)應(yīng)力線性外推利用單元內(nèi)的數(shù)值積分點(diǎn)處的應(yīng)力值，外推單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值，然后再平均與節(jié)點(diǎn)有關(guān)的單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。對于二維四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元，若計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)取了 個(gè)積分點(diǎn)，則積分點(diǎn)的坐標(biāo)為xi22 ,31,31: ,31,31: ,31,31: ,31,31: DC BA 帶入公式可以求出未修勻時(shí)積分點(diǎn)處的應(yīng)力值設(shè)修勻后的應(yīng)力在單元內(nèi)按雙線性變化，則修勻應(yīng)力為 )(, eBDzyx DCBA , i i ii NNNN NNNN N 432

22、1 43214321 41, O1 24 3A BCD 令積分點(diǎn)處的應(yīng)力值等于修勻后的應(yīng)力值，則 Pi i DCBADCBAP N NDNDNDNDN CNCNCNCN BNBNBNBN ANANANAN 1 43214321 4321 4321 4321 由此可以解出： 將上述求得的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，再根據(jù)不同的單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值予以平均，就可得到最終的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值。一般情況下，采用局部應(yīng)力磨平處理，可以得到較好的結(jié)果，而計(jì)算量是很小的，所以得到廣泛的應(yīng)用。應(yīng)力全域磨平和子域局部應(yīng)力磨平可參見清華大學(xué)王勖成編著的“有限單元法基本原理和數(shù)值方法”。二 圖形處理圖形處理使計(jì)算結(jié)果簡潔，直觀，生動(dòng)。常用以下幾種

23、方法。 1 變形圖分為兩種：1）用網(wǎng)格表示內(nèi)部變形（當(dāng)外部變形不大時(shí)）；2 ）用邊界表示外部變形（只關(guān)注外部變形時(shí)）。兩種方法，都把原圖和變形后的圖重疊畫出，以作對比。繪圖時(shí)注意：要放大，否則看不出來。例如，原節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)，位移為(u,v)，則繪制變形時(shí)該節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為 變形放大倍數(shù)。式中QP uQyy uPxx, 2 等值線圖等值線可以是等溫度線，熱流線，等應(yīng)力線。方法：追蹤法+插值法。思路：先找到一個(gè)等值點(diǎn)，然后根據(jù)離散節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)的場變量值，求出節(jié)點(diǎn)連線間的等值點(diǎn)位置，并和開始找到的等值點(diǎn)相連。就這樣一直尋找下去，直到邊界。 jA Bia b 入口 入口 出口c 出口 插值算法：設(shè)

24、兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j的坐標(biāo)為(xi,yi),(xj,yj)，場變量(Ti,Tj)，待求場變量為Ta，則當(dāng)成立時(shí)，在 邊上有一等值點(diǎn)a，其坐標(biāo)為對于二次插值單元，單元邊界上有三個(gè)節(jié)點(diǎn)i,j,k，可采用二次插值或分段線性插值求出等值點(diǎn)。 0 jaia TTTTij ijij iaia ijij iaia yyTT TTyy xxTT TTxx 追蹤算法：從A單元a點(diǎn)到b點(diǎn)，再從b點(diǎn)進(jìn)入B單元，c為B單元的出口。求解關(guān)鍵：找出單元B。為此，只要搜索除A單元外的其他單元，這些單元的特點(diǎn)是：單元包含節(jié)點(diǎn)i,j；或單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與i,j一致。使用中的幾個(gè)問題：1）尋找起點(diǎn)沒有規(guī)律可循。按單元循環(huán)，每個(gè)單元按邊循環(huán)。2）等值線可能不只一條；3）只搜索沒有搜索過的單元。 3 濃淡色彩圖（彩色云圖）對顯示的區(qū)域不斷剖分，直到一個(gè)像素的大小，同時(shí)用插值算法計(jì)算剖分后的小單元（像素）對應(yīng)的場變量值，然后用當(dāng)前場變量值對應(yīng)的色彩，顯示該像素。4 節(jié)點(diǎn)變量變化圖采用曲線擬合或曲線插值技術(shù)，將所有離散時(shí)間點(diǎn)上的某節(jié)點(diǎn)場變量值，按一定的函數(shù)形式擬合成一條或幾條連續(xù)曲線，并按比例畫出。