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1、考 綱 要 求 考 綱 研 讀1.以 空 間 直 線 、 平 面 的 位 置 關(guān)系 及 四 個 公 理 為 出 發(fā) 點 認 識和 理 解 空 間 中 的 垂 直 關(guān) 系 2 理 解 直 線 和 平 面 垂 直 、 平面 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 3 理 解 并 能 證 明 直 線 和 平 面垂 直 、 平 面 和 平 面 垂 直 的 性 質(zhì)定 理 4 能 用 公 理 、 定 理 和 已 獲 得的 結(jié) 論 證 明 一 些 空 間 位 置 關(guān)系 的 簡 單 命 題 . 1.從 立 體 幾 何 的 有 關(guān) 定 義 、 定 理 和公 理 出 發(fā) ， 通 過 直 觀 感 知 、 操 作 確

2、認 、 思 辨 論 證 ， 認 識 和 理 解 空 間 中線 面 垂 直 的 有 關(guān) 性 質(zhì) 和 判 定 2 正 確 使 用 線 面 垂 直 判 定 的 關(guān) 鍵是 在 平 面 內(nèi) 找 到 兩 條 相 交 直 線 與已 知 直 線 垂 直 ； 要 證 面 面 垂 直 可 轉(zhuǎn)化 為 線 面 垂 直 明 確 線 線 、 線 面 及面 面 垂 直 的 判 定 方 法 及 相 互 轉(zhuǎn) 化是 正 確 解 答 有 關(guān) 垂 直 問 題 的 關(guān) 鍵 .第 5講 直 線 、 平 面 垂 直 的 判 定 與 性 質(zhì) 1 直 線 與 平 面 垂 直任 意 垂 直(1)直 線 與 平 面 垂 直 定 義 ： 如 果 一

3、 條 直 線 和 一 個 平 面 相 交 ， 并且 和 這 個 平 面 內(nèi) 的 _一 條 直 線 都 _， 那 么 這 條 直 線 和 這 個平 面 垂 直 (2)直 線 與 平 面 垂 直 判 定 定 理 ： 如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 內(nèi) 的兩 條 _直 線 都 垂 直 ， 那 么 這 條 直 線 垂 直 于 這 個 平 面 (3)直 線 與 平 面 垂 直 性 質(zhì) 定 理 ： 垂 直 于 同 一 個 平 面 的 兩 條 直 線_平 行 相 交 2 平 面 與 平 面 垂 直(1)平 面 與 平 面 垂 直 的 定 義 ： 相 交 成 直 二 面 角 的 兩 個 平 面 ，

4、 叫做 互 相 垂 直 的 平 面 (2)平 面 與 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 ： 如 果 一 個 平 面 經(jīng) 過 另 一 個 平面 的 _， 那 么 這 兩 個 平 面 互 相 垂 直 垂 線(3)平 面 與 平 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 ： 如 果 兩 個 平 面 互 相 垂 直 ， 那么 在 一 個 平 面 內(nèi) 垂 直 于 它 們 _的 直 線 垂 直 于 另 一 個 平 面 3 直 線 與 平 面 所 成 的 角(1)如 果 直 線 與 平 面 平 行 或 者 在 平 面 內(nèi) ， 則 直 線 與 平 面 所 成 的角 等 于 0 . 交 線 (2)如 果 直 線 和 平

5、 面 垂 直 ， 則 直 線 與 平 面 所 成 的 角 等 于 90 .(3)平 面 的 斜 線 與 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 銳 角 叫 做 這 條 斜 線與 平 面 所 成 的 角 ， 其 范 圍 是 (0 ， 90 ) 斜 線 與 平 面 所 成 的 _是 這 條 斜 線 和 平 面 內(nèi) 經(jīng) 過 斜 足 的 直 線 所 成 的 一 切 角 中 最 _的 角 4 二 面 角 線 面 角小從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個 半 平 面 組 成 的 圖 象 叫 做 二 面 角 從 二面 角 的 棱 上 任 意 一 點 為 端 點 ， 在 兩 個 面 內(nèi) 分 別 作 垂

6、直 于 棱 的 兩 條射 線 ， 這 兩 條 射 線 所 成 的 角 叫 做 二 面 角 的 平 面 角 平 面 角 是 直 角的 二 面 角 叫 做 _直 二 面 角 1 垂 直 于 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 一 定 ( )DA 平 行C 異 面 B 相 交D 以 上 都 有 可 能2 A， B 為 空 間 兩 點 ， l 為 一 條 直 線 ， 則 過 A， B 且 垂 直 于 l的 平 面 ( )BA 不 存 在C 有 且 只 有 1 個 B 至 多 1 個D 有 無 數(shù) 個 4 如 圖 13 5 1， 在 正 方 體 ABCD A1B1C1D1中 ， 下 列 結(jié) 論D 圖

7、 13 5 1中 正 確 的 個 數(shù) 是 ( ) BD1 AC； BD1 A1C1； BD1 B1C.A 0 個 B 1 個C 2 個 D 3 個 3 設(shè) 直 線 m與 平 面 相 交 但 不 垂 直 ， 則 下 列 說 法 中 正 確 的是 ( ) A 在 平 面 內(nèi) 有 且 只 有 一 條 直 線 與 直 線 m垂 直 B 過 直 線 m有 且 只 有 一 個 平 面 與 平 面 垂 直 C 與 直 線 m垂 直 的 直 線 不 可 能 與 平 面 平 行 D 與 直 線 m平 行 的 平 面 不 可 能 與 平 面 垂 直B 5 給 定 下 列 四 個 命 題 ： 若 一 個 平 面 內(nèi)

8、 的 兩 條 直 線 與 另 一 個 平 面 都 平 行 ， 那 么 這 兩個 平 面 相 互 平 行 ； 若 一 個 平 面 經(jīng) 過 另 一 個 平 面 的 垂 線 ， 那 么 這 兩 個 平 面 相 互垂 直 ； 垂 直 于 同 一 直 線 的 兩 條 直 線 相 互 平 行 ； 若 兩 個 平 面 垂 直 ， 那 么 一 個 平 面 內(nèi) 與 它 們 的 交 線 不 垂 直 的直 線 與 另 一 個 平 面 也 不 垂 直 其 中 ， 為 真 命 題 的 是 ( )DA 和 B 和 C 和 D 和 考 點 1 直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 與 性 質(zhì)例 1： 如 圖 3 5 2，

9、 已 知 矩 形 ABCD， 過 A 作 SA 平 面 AC，再 過 A 作 AE SB 于 E 點 ， 過 E 作 EF SC 交 SC 于 F 點 (1)求 證 ： AF SC(2)若 平 面 AEF 交 SD 于 G， 求 證 ： AG SD. 圖 13 5 2 解 析 ： (1)證 明 ： 因 為 BC 面 SAB， 且 AE 在 面 SAB 內(nèi) ，所 以 AE BC.又 因 為 AE SB， SBBC B，所 以 AE 面 SBC.而 SC 在 面 SBC 內(nèi) ，所 以 AE SC.又 因 為 EF SC， EFAE E，所 以 SC 面 AEF.而 AF 在 面 AEF 內(nèi) ， 所

10、 以 AF SC. 直 線 與 直 線 垂 直 直 線 與 平 面 垂 直 平 面 與 平面 垂 直 直 線 與 平 面 垂 直 直 線 與 直 線 垂 直 ， 通 過 直 線 與 平 面 位置 關(guān) 系 的 不 斷 轉(zhuǎn) 化 來 處 理 有 關(guān) 垂 直 的 問 題 出 現(xiàn) 中 點 時 ， 平 行 要聯(lián) 想 到 三 角 形 中 位 線 ， 垂 直 要 聯(lián) 想 到 三 角 形 的 高 ； 出 現(xiàn) 圓 周 上 的點 時 ， 聯(lián) 想 直 徑 所 對 圓 周 角 為 直 角 【 互 動 探 究 】1 如 圖 13 5 3， PA O 所 在 的 平 面 ， AB 是 O 的 直 徑 ，C 是 O 上 的

11、一 點 ， E， F 分 別 是 A 在 PB， PC 上 的 射 影 ， 給 出 下面 結(jié) 論 ， 其 中 正 確 命 題 的 個 數(shù) 是 ( )B 圖 13 5 3 AF PB； EF PB； AF BC； AE 平 面 PBC.A 2 個C 4 個 B 3 個D 5 個解 析 ： 正 確 ， 又 AF 平 面 PBC， 錯 誤 考 點 2 平 面 與 平 面 垂 直 的 判 定 與 性 質(zhì)例 2： (2011 年 江 蘇 )如 圖 13 5 4， 在 四 棱 錐 P ABCD 中 ，平 面 PAD 平 面 ABCD， AB AD， BAD 60 ， E， F分 別 是 AP，AD 的 中

12、 點 求 證 ： (1)直 線 EF 平 面 PCD；(2)平 面 BEF 平 面 PAD 圖 13 5 4 BF AD BF 面 PAD( 因 為 平 面 PAD 平 面ABCD) 平 面 BEF 平 面 PAD(因 為 BF 平 面 BEF) 前 者 利 用 面面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 ， 后 者 利 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 證 明 ： (1) E， F 分 別 是 AP， AD 的 中 點 ， EF PD.又 PD 面 PCD， EF 面 PCD， 直 線 EF 平 面 PCD.(2) AB AD， BAD 60 ， F 是 AD 的 中 點 ， BF AD.又 平

13、 面 PAD 平 面 ABCD， 面 PAD面 ABCD AD， BF 面 PAD. 平 面 BEF 平 面 PAD. 【 互 動 探 究 】2 (2011 年 浙 江 )下 列 命 題 中 錯 誤 的 是 ( )DA 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 內(nèi) 一 定 存 在 直 線 平 行 于 平面 B 如 果 平 面 不 垂 直 于 平 面 ， 那 么 平 面 內(nèi) 一 定 不 存 在 直 線垂 直 于 平 面 C 如 果 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， l， 那 么 l 平 面 D 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 內(nèi) 所 有 直 線 都 垂 直 于 平面 解 析

14、： 因 為 若 這 條 線 是 平 面 和 平 面 的 交 線 l， 則 交 線 l 在 平 面 內(nèi) ， 明 顯 可 得 交 線 l 在 平 面 內(nèi) ， 所 以 交 線 l 不 可 能 垂 直 于 平 面 ， 平 面 內(nèi) 所 有 直 線 都 垂 直 于 平 面 是 錯 誤 的 考 點 3 線 面 所 成 的 角例 3： 如 圖 13 5 5， 在 正 方 體 ABCD A1B1C1D1中 ， 求 A1B與 平 面 A1B1CD所 成 的 角 圖 13 5 5 求 直 線 和 平 面 所 成 的 角 時 ， 應 注 意 的 問 題 是 ：(1)先 判 斷 直 線 和 平 面 的 位 置 關(guān) 系

15、(2)當 直 線 和 平 面 斜 交 時 ， 常 有以 下 步 驟 ： 作 作 出 或 找 到 斜 線 與 射 影 所 成 的 角 ； 證 論 證所 作 或 找 到 的 角 為 所 求 的 角 ； 算 常 用 解 三 角 形 的 方 法 求 角 ； 結(jié) 論 點 明 斜 線 和 平 面 所 成 的 角 值 【 互 動 探 究 】3 如 圖 13 5 6， 在 長 方 體 ABCD A1B1C1D1中 ， AB BC 2， AA1 1， 則 AC1 與 平 面 A1B1C1D1所 成 角 的 正 弦 值 為 ( )圖 13 5 6 答 案 ： D 圖 D27 考 點 4 立 體 幾 何 中 的 探

16、 索 性 問 題例 4： (2011 年 廣 東 茂 名 一 模 )如 圖 13 5 7， 在 四 棱 錐 PABCD 中 ， 底 面 ABCD 為 菱 形 ， BAD 60 ， Q 為 AD 的 中 點 (1)若 PA PD， 求 證 ： 平 面 PQB 平 面 PAD；(2)點 M 在 線 段 PC 上 ， PM tPC， 試 確 定 t 的 值 ， 使 PA 平面 MQB. 圖 13 5 7 解 析 ： (1)如 圖 13 5 8， 連 接 BD， 四 邊 形 ABCD菱 形 ， BAD 60 ， ABD為 正 三 角 形 又 Q 為 AD 中 點 ， AD BQ. PA PD， Q 為

17、 AD 的 中 點 ， AD PQ.又 BQPQ Q， AD 平 面 PQB.又 AD 平 面 PAD， 平 面 PQB 平 面 PAD. 圖 13 5 8 探 索 性 問 題 是 一 種 具 有 開 放 性 和 發(fā) 散 性 的 問 題 ，此 類 題 目 的 條 件 或 結(jié) 論 不 完 備 要 求 解 答 者 自 己 去 探 索 ， 結(jié) 合 已有 條 件 ， 進 行 觀 察 、 分 析 、 比 較 和 概 括 它 對 學 生 的 數(shù) 學 思 想 、數(shù) 學 意 識 及 綜 合 運 用 數(shù) 學 方 法 的 能 力 提 出 了 較 高 的 要 求 它 有 利于 培 養(yǎng) 學 生 探 索 、 分 析 、

18、 歸 納 、 判 斷 、 討 論 與 證 明 等 方 面 的 能 力 ，使 學 生 經(jīng) 歷 一 個 發(fā) 現(xiàn) 問 題 、 研 究 問 題 、 解 決 問 題 的 全 過 程 【 互 動 探 究 】4 (2011 年 廣 東 深 圳 一 模 )如 圖 13 5 9， 在 四 棱 錐 S ABCD中 ， AB AD， AB/CD， CD 3AB， 平 面 SAD 平 面 ABCD， M 是線 段 AD 上 一 點 ， AM AB， DM DC， SM AD.(1)證 明 ： BM 平 面 SMC； 圖 13 5 9 (1) 證 明 ： 平 面 SAD 平 面 ABCD， 平 面 SAD平 面 ABC

19、D AD，SM 平 面 SAD， SM AD， SM 平 面 ABCD. BM 平 面 ABCD, SM BM. 四 邊 形 ABCD 是 直 角 梯 形 ， AB/CD， AM AB， DM DC， MAB， MDC 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AMB CMD 45 ， BMC 90 . BM CM. SM 平 面 SMC， CM 平 面 SMC， SMCM M， BM 平 面 SMC. (2)解 ： 三 棱 錐 C SBM 與 三 棱 錐 S CBM 的 體 積 相 等 ，由 ( 1 ) 知 SM 平 面 ABCD， 1 證 明 線 面 垂 直 的 方 法(1)用 線 面 垂

20、直 的 定 義 ： 若 一 直 線 垂 直 于 平 面 內(nèi) 任 一 直 線 ， 這條 直 線 垂 直 于 該 平 面 (2)用 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 ： 若 一 直 線 垂 直 于 平 面 內(nèi) 兩 條 相 交直 線 ， 這 條 直 線 垂 直 于 該 平 面 (3)用 線 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 ： 若 兩 平 行 直 線 之 一 垂 直 于 平 面 ，則 另 一 條 直 線 也 垂 直 于 該 平 面 (4)用 面 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 ： 若 兩 個 平 面 垂 直 ， 在 一 個 平 面 內(nèi)垂 直 于 交 線 的 直 線 必 垂 直 于 另 一 個 平 面

21、 (5)如 果 一 條 直 線 垂 直 于 兩 個 平 行 平 面 中 的 一 個 ， 那 么 也 垂 直于 另 一 個 平 面 (6)如 果 兩 個 相 交 平 面 都 和 第 三 個 平 面 垂 直 ， 那 么 相 交 平 面 的交 線 也 垂 直 于 第 三 個 平 面 2 判 定 面 面 垂 直 的 方 法(1)定 義 法 ： 首 先 找 二 面 角 的 平 面 角 ， 然 后 證 明 其 為 直 角 (2)用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 ： 一 個 平 面 經(jīng) 過 另 一 個 平 面 的 一 條垂 線 3 垂 直 于 同 一 個 平 面 的 兩 條 直 線 平 行 ， 是 判

22、 定 兩 條 直 線 平 行的 又 一 重 要 方 法 ， 是 實 現(xiàn) 空 間 中 平 行 關(guān) 系 和 垂 直 關(guān) 系 在 一 定 條 件下 相 互 轉(zhuǎn) 化 的 一 種 手 段 4 本 節(jié) 教 材 中 線 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 的 證 明 用 到 反 證 法 ， 反 證法 屬 邏 輯 方 法 范 疇 ， 它 的 嚴 謹 體 現(xiàn) 在 它 的 原 理 上 ， 即 “ 否 定 之 否定 等 于 肯 定 ” ， 其 中 第 一 個 否 定 是 指 否 定 結(jié) 論 ， 第 二 個 否 定 是 指“ 邏 輯 推 理 結(jié) 果 否 定 了 假 設(shè) ” 5 常 用 定 理 ： (1)過 一 點 有 且

23、 只 有 一 條 直 線 與 已 知 平 面 垂 直 (2)過 一 點 有 且 只 有 一 個 平 面 與 已 知 直 線 垂 直 ；(3)如 果 兩 個 平 面 互 相 垂 直 ， 那 么 經(jīng) 過 第 一 個 平 面 內(nèi) 的 一 點 垂直 于 第 二 個 平 面 的 直 線 必 在 第 一 個 平 面 內(nèi) 1 面 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 是 證 明 線 面 垂 直 的 依 據(jù) 和 方 法 ， 在 解決 二 面 角 的 問 題 中 ， 作 其 平 面 角 經(jīng) 常 用 到 ， 應 用 定 理 的 關(guān) 鍵 是 創(chuàng)設(shè) 定 理 成 立 的 條 件 ： 一 是 線 在 面 內(nèi) ， 二 是 線 垂 直 于 交 線 兩 個 條件 同 時 具 備 才 能 推 出 線 面 垂 直 2 線 線 垂 直 、 線 面 垂 直 、 面 面 垂 直 的 相 互 轉(zhuǎn) 化 是 解 決 有 關(guān) 垂直 證 明 題 的 指 導 思 想 ， 既 要 注 意 一 般 的 轉(zhuǎn) 化 規(guī) 律 ， 又 要 看 清 題 目的 條 件 ， 選 擇 正 確 的 轉(zhuǎn) 化 方 向 ， 不 能 過 于 模 式 化 復 雜 的 題 目 不是 一 次 或 兩 次 就 能 完 成 ， 而 是 不 斷 從 某 一 垂 直 向 另 一 垂 直 轉(zhuǎn) 化 ，最 終 達 到 目 的