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1、 《方程的根與函數的零點》的教學設計 湖北省黃岡市團風中學 胡建平 教材分析 本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教課書數學 I 必修本（ A 版）》的第三章 3.1.1 方程 的根與函數的的零點。 函數與方程是中學數學的重要內容， 既是初等數學的基礎， 又是出等數學與高等數學的 連接紐帶。 在現(xiàn)實生活實踐中， 函數與方程都有著十分的應用， 在注重理論與實踐相結合的 今天， 有著無可替代的作用， 在加上函數與方程還是中學數學四大數學思想之一。 因此函數 與方程在高一乃止整個高中數學教學中，占有非常重要的地位。 本節(jié)

2、要求學生通過對二次函數的圖象的研究， 去判斷一元二次方程根的存在性以及根的 個數，近而了解函數的零點與一元二次方程根的聯(lián)系。 它既揭示了初中兩大知識方程與函數 的內在聯(lián)系， 也是對本章函數知識的加深與總結。 也是對函數知識的總深拓展， 把函數在解 方程中加以應用， 從而還可以滲透中學的重要數學思想： 方程與函數的思想， 數形結合的思 想。為學好中學數學打下一個良好基礎。因此教好本節(jié)是至關重要的。 學生分析 程度差異性：中等程度的學生占大多數，程度教高的學生與程度差的學生占少數。 知識、 心理、能力儲備：學生在次之前已經學習了函數的圖象和性質，特別對二次

3、函數 有較深的認識， 基本會畫簡單函數的圖象， 也會通過圖象去研究理解函數的性質， 這就為學 生理解函數的零點提供了幫助， 初步的數形結合知識也足以讓學生直觀理解函數零點的存在 性，因此從學生熟悉的二次函數的圖象入手介紹函數的零點， 從認知規(guī)律上講， 應該是容易 理解的。 一元二次方程是初中的重要內容， 學生應該有較好的基礎對于它根的個數以及存在 性學生比較熟悉， 學生理解起來沒有多大問題。 這也為我們歸納函數的零點與方程的根聯(lián)系 提供了知識基礎。但是學生對其他函數的圖象與性質認識不深（比如三次函數） ，對于高次 方程還不熟悉， 我們缺乏更多類型的例子

4、， 讓學生從特殊到一般歸納出函數與方程的內在聯(lián) 系，因此理解函數的零點、 函數的零點與方程根的聯(lián)系應該是學生學習的難點。 加之函數零 點的存在性的判定方法的表數抽象難懂。 因此在教學中應加強師生互動， 盡多的給學生動手 的機會， 讓學生在實踐中體驗二者的聯(lián)系。 并充分提供不同類型的二次函數和相應的一元二 次方程讓學生研討， 從而直觀地歸納、 總結、分析出二者的聯(lián)系。 教學中還應創(chuàng)設問題情景， 激發(fā)學生探究興趣，并引導學生觀察、計算、思考從而達到教學目標。 教學目標 知識和技能目標： 掌握函數零點的概念； 了解函數零點與方程根的關系； 學會在某區(qū)間

5、 上圖象連續(xù)的函數存在零點的判定方法。 過程與方法：由二次函數的圖象與 x 軸的交點的橫坐標和對應的一元二次方程為突破 口，探究方程的根與函數的零點的關系， 以探究的方法發(fā)現(xiàn)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數存在零點的判定方法；在課堂探究中體會數形結合的數學思想，從特殊到一般的歸納思想。 情感、 態(tài)度、價值觀： 在函數與方程的聯(lián)系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值． 在 教學中讓學生體驗探究的過程、 發(fā)現(xiàn)的樂趣， 在數學教學中培養(yǎng)學生的辨證思維的思想， 以 及分析問題解決問題的能力。 重點難點 重點：函數零點與方程根之間的關系；連續(xù)函數在某區(qū)間上存在零點的判定

6、方法。難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數零點的關系；探究發(fā)現(xiàn)函數存在零點的方法。教學程序與環(huán)節(jié)設計： 創(chuàng)設情境 結合實際問題誘發(fā)興趣，結合二次函數引入課 組織探究 二次函數的零點及零點存在性的． 研究二次函數在零點、零點之內及零點外的函數值符 號，并嘗試進行系統(tǒng)的總結。 分析教材設計意圖，探討教學規(guī)律； 教學建議 探索合理教學思想，提出教學建議。 設計流程

7、 一、 創(chuàng)設情景、引出問題 問題 1：我國自行研制的某種彈道導彈以每小時 5000 米 /每秒的速度發(fā)射，那么它幾秒 后可以擊中地面目標。 （不記空氣阻力，重力加速度 g=10 m 2 ） s 讓學生各自獨立思考， 并請兩名不同解法的同學陳述自己的解法。 不出意外應該有兩種思路： 思路一 先列出方程 5000 t 5 2 0 ，由方程的解得到。 t 思路二 寫出函數式 s 5000t 5t 2 ，再令 s 0 得到。 [ 師生互動 ] 師：思

8、路一用一元二次方程的知識得到結果， 而思路二用二次函數的知識得到了相同的結果， 那么二者有沒有關系？如果有，那又是什么關系？ 生：一元二次方程的根等于對應二次函數圖象與軸的焦點的橫坐標。 師：再看下面的題目，從圖象的角度直觀的體驗上述結論。 問題 2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數的圖象： 1 2 2 x 3 0 與函數 y x 2 2x 3 ○ 方程 x 2 2 2x 1 0 與函數 y x 2 2x 1 ○ 方程 x 3 2 2 x 3 0

9、 與函數 y x 2 2x 1 ○ 方程 x [ 師生互動  ] 師：引導學生畫圖、觀察圖象與 x 軸交點的個數與方程的根的個數的關系；觀察圖象與 軸交點的橫坐標與方程根的大小關系。并引出函數零點概念。 生：畫圖、思考、并歸納出結論：函數圖象與 x 軸交點的個數等于對應方程根的個數；函數 圖象與軸的焦點的橫坐標的大小與對應方程的根的大小相等。 設計意圖 ------- 問題

10、1 以實際應用問題引入， 以學生熟悉的感興趣背景入題， 不僅能激發(fā)學生的興趣， 激活學生的已學知識， 為下一步的深入研究做好鋪墊。 問題 2 是幾種不同的函數與方程， 既是幾個特殊的函數與方程又具有很強的概括性，包括方程有兩不相等的根、兩相等的根、 無根的情況，研究它們有利于培養(yǎng)學生思維的完整性，也為學生歸納方程與函 數的關系鋪好了臺階。 二、 層層推進，組織探究  x 又能 它 老師給出函數零點的定義：  對于函數  y  f (x)( x  D ) 

11、 ，把使  f (x)  0 成立的實數  x 叫做函 數 y f (x)( x D ) 的零點． 問題 3：思考函數零點的概念，寫出問題 2 中三個函數的零點？并填下表 函數 2 2x 3 y x 2 2 x 1 y x2 2x 1 y x 函數的零點 方程的根 設計意圖 ------- 此問的設置一方面讓學生理解函數零點的含義， 另一方面通過對比讓學生再次加深對二者關 系的認識， 使函數圖象與 x 軸交點的橫坐標到函

12、數零點的概念轉變變得更自然、 更易懂。 通 過對比教學揭示知識點之間的密切關系。 師生共同觀察、分析得出對函數零點的幾點認識： （1）  函數的零點并不是“點”  ，它不是以坐標的形式出現(xiàn)。例如函數  y x2  2x  3 的零 點為  x=-1,3 （2）  函數零點的意義：函數  y  f ( x) 的零點就是方程  f (x)  0 實數根，亦即函數 y f ( x) 的圖象與 x 軸交點的橫坐標．

13、 (3) 方程 f ( x) 0 有實數根 函數 y f (x) 的圖象與 x 軸有交點 函數 y f (x) 有 零點． (4) 函數零點的求法：可以解方程 f ( x) 0 而得到（代數法） ；可以將它與函數  y  f (x) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點． （幾何法） 補充練習：求函數 y x3 4 x 的零點（建議學生用兩種方法做） 設計意圖 ------ 鞏固函數零點的求法， 滲透二次以外的函數的零點情況。 總結討論二次函數的零點的存在情況

14、 問題 4：是不是所有的二次函數都有零點？ [ 師生互動 ] 師：僅提出問題，不須做任何提示。 生：根據函數零點的意義探索研究二次函數的零點情況，并進行交流，總結概括形成結論． 二次函數的零點： 二次函數 2 ( 0) ． y ax bx c a １）△＞０， 方程 ax 2 bx c 0 有兩不等實根， 二次函數的圖象與

15、 x 軸有兩個交點， 二次函數有兩個零點． ２）△＝０，方程 ax 2 bx c 0 有兩相等實根（二重根） ，二次函數的圖象與 x 軸 有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點． ３）△＜０，方程 ax 2 bx c 0 無實根，二次函數的圖象與 x軸無交點，二次函數 無零點． 設計意圖 ------ 本節(jié)

16、的前半節(jié)一直以二次函數作為模本研究， 此題是從特殊到一般的升華， 也全面總結了二 次函數零點情況，給學生一個清晰的解題思路。進而培養(yǎng)學生總結歸納能力。 零點存在性的探索： 問題 5：（Ⅰ）觀察二次函數 f (x) x2 2x 3 的圖象： ○ 在區(qū)間 2,1 上有零點嗎？ ______； 1 f ( 2) _______， f (1) ______

17、_, f ( 2) f (1) _____0 （＜或＞）． 思考： 若 f ( 2) f (1) <0 ，那么函數 f ( x) x 2 2 x 3 在 2,1 上一定有零點嗎 ? ○ 在區(qū)間 2,4 上有零點 ______； 2 f (2) f (4) ____0（＜或＞）． 思考：若 f a b 0 ，那

18、么函數 f (x) x2 2x 3 在 [ a,b ] 上一定有零點嗎 ? （Ⅱ）觀察下面函數 y f ( x) 的圖象 ○1 在區(qū)間 a,b 上 ______(有 / 無)零點； f (a) f (b) _____0（＜或＞）． ○ 在區(qū)間 b, c 上______( 有 /無 )零點； f (b) f (c) _____0（＜或＞）． 2 ○ 在區(qū)間 c,d 上 ______(有 /無 )零點； f (c) f (d ) _____0

19、（＜或＞）． 3 ○ f a f c _____0（＜或＞）．在區(qū)間 a, c 上 ______( 有 /無 )零點？ 4 ○ f a f d 0（＜或＞）。區(qū)間 5 思考：若函數 y f ( x) 滿足 f m f n 0 ，在區(qū)間 [m, n] 上一定有零點嗎？ 若函數 y f ( x) 滿足 f m f n 0 ，在區(qū)間 [m, n] 上一定有零點嗎？ 由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結論？ < 師生共同總結  >如果 

20、 y  f ( x)  在區(qū)間  a, b  上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線  ,并且有 f a  f b  0 ,那么函數  y  f ( x) 在區(qū)間  a, b  內有零點  ,即存在  c  a, b  ,使得 f c  0,這個  c 也就是方程  f ( x)  0 的根。 理解：○1 此性質成立的前提是圖象是連續(xù)不斷的一條曲線

21、。 ○2 零點 c 并不一定是唯一的，但一定存在。 ○3 f a f b 0 是函數 y f (x) 在區(qū)間 a, b 內有零點的充分條件。但是若函數 y f (x)是一次、 二次時， 則 f a f b 0 是函數 y f ( x) 在區(qū)間 a,b 內有零 點的充要條件。 [ 師生互動 ] 師：怎樣利用函數零點存在性定理，斷定函數在某給定區(qū)間上是否存在零點． 生：分析函數，按提示探索，完成解答，并認真思考． 師：引導學生結合函數圖象， 分析函數在區(qū)間端點上的函數值的符號情況， 與函數零

22、點是否 存在之間的關系． 生：結合函數圖象，思考、討論、總結歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析． 師：引導學生理解函數零點存在定理，分析其中各條件的作用． 設計意圖 ------ 如何由函數零點的概念過度到函數零點的判定方法是本節(jié)課的難點， 用數形結合的方法是最 直觀的，學生也是最易接受的。 問題念，自己總結出函數零點的判定方法。灌輸概念發(fā)生的從特殊到一般過程。三、 例范研究  5 的問題設計層層遞進、 層層加深。有助于學生理解概 這樣設計不僅符合學生的認知特點， 也無形中給學生

23、 例 1．求函數  f ( x)  ln x  2x  6 的零點個數．問題： 1）你可以想到什么方法來判斷函數零點個數？ 2）判斷函數的單調性，由單調性你能得該函數的單調性具有什么特性？ 例 2．求函數 y x 3 x 2 x 2 ，并畫出它的大致圖象． 2 [ 師生互動 ] 師：引導學生探索判斷函數零點的方法， 指出可以借助計算機或計算器來

24、畫函數的圖象， 結 合圖象對函數有一個零點形成直觀的認識． 生：借助計算機或計算器畫出函數的圖象， 結合圖象確定零點所在的區(qū)間， 然后利用函數單 調性判斷零點的個數． 四、練習嘗試 1．利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根： （ 1） x 2 x 2 0 ； （ 3） 9 x 2 6 x （ 4） x 3 3x 0

25、 2．利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的大致區(qū)間： （ 1） f (x) x3 3x 3 ； （ 2） f (x) 2x ln( x 2) 3 ； （ 3） f (x) ex 4x ； （ 4） f ( x) 3(x 2)( x 3)( x 4) x ． [ 師生互動  ] 師：多媒體演示； 結合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數， 結合函數的單調性說明零點的 個數；讓學生認識到函數的圖象及基本性質 （特別是單調性） 在確定函數零點中的重要

26、 作用． 生：建議學生使用計算器求出函數的大致區(qū)間， 培養(yǎng)學生的估算能力， 也為下一節(jié)的用二分 法求方程的近似解做準備。 五、 探索研究 1．已知  f (x)  2x4  7x 3  17 x2  58x  24 ，請?zhí)骄糠匠?  f (x)  0 的根．如果方程 有根，指出每個根所在的區(qū)間（區(qū)間長度不超過 1）． 2．設函數 f ( x) 2x ax 1 ． （ 1）利用計算機探求 a 2 和 a 3 時函數 f

27、( x) 的零點個數； （ 2）當 a R 時，函數 f (x) 的零點是怎樣分布的？ 3．討論：請大家給方程 x2 ex 3 0 的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更??？ [ 師生互動 ] 師：把學生分成小組共同探究， 給學生足夠的自主學習時間， 讓學生充分研究，發(fā)揮其主觀 能動性。 也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究， 激發(fā)學生學習潛能和熱情。 老師 用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。 生：分組討論，各抒己見。在探究學習中得到數學能力的提高，從小科學研究的素養(yǎng)?，F(xiàn)代 設計意

28、圖 ------ 數學教學的新理念， 就是想法設法在教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和探究意識， 本組探究題目 就是為了培養(yǎng)學生的探究能力， 此組題目具有較強的開放性， 探究性， 基本上可以達到上述 目的。 六、 作業(yè)回饋 1． 教材 P108 習題 3．1（ A 組）第 1、 2 題； 2． 求下列函數的零點： （ 1） y x 2 x 30 ； （ 2） f ( x) (x 2 2)( x 2 3x 2) ． 3．求下列函數的零點，圖象頂點的坐標，畫出各自

29、的簡圖，并指出函數值在哪些區(qū)間上大于零，哪些區(qū)間上小于零： （ 1） y 3 x 2 3x 1； 4 （ 2） y 2x2 4x 3 ． 七、 課外活動 課后討論并總結函數零點求法要注意的問題； 思考可以用求函數零點的方法求方程的近似解嗎？ 八、 教學建議 注意函數與實際問題的聯(lián)系， 體現(xiàn)數學建模的思想： 我們生活在一個充滿變化的多彩世 界，其中存在大量問題可以通過體現(xiàn)變量關系的函數、 方程模型得到解決， 這就為函數的應 用的教學提供了大量的實際背景。 教學內容圍繞實際問題的討論而展開， 有利于揭示函數與 方程之間的關

30、系，能提高學生對函數與方程關系的認識與理解． 注意由淺入深、 循序漸進地建立函數與方程的關系： 對函數與方程的關系有一個逐步認 識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．分三步來展開這部分的內容．第一步， 從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手， 由具體到一般， 建立一元二次方 程的根與相應的二次函數的零點的聯(lián)系， 然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形． 第 二步， 在用二分法求方程近似解的過程中， 通過函數圖象和性質研究方程的解， 體現(xiàn)函數與 方程的關系．第三步，在函數模型的應用過程中， 通過建立函數模型以及模型的求解， 更全

31、 面地體現(xiàn)函數與方程的關系逐步建立起函數與方程的聯(lián)系． 本節(jié)只是函數與方程的關系建立 的第一步，教學中切忌面面具到，延展太深。 恰當使用信息技術： 本節(jié)的教學中應當充分使用信息技術。 實際上， 一些內容因為涉及 大數字運算、 大量的數據處理、 超越方程求解以及復雜的函數作圖， 因此如果沒有信息技術 的支持，教學是不容易展開的。 因此，教學中應當加強信息技術的使用力度。合理使用多媒 體和計算器。 參考資料： 1、函數與方程思想在數學解題中的應用 袁桂珍 廣西教育 2004 、 3. 2、函數與方程思想的應用 胡榴寶 中學數學教學 2003 、 3.