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第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù),,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)角的有關(guān)概念:,正角,負角,零角,象限角,α+k·360°,α+k·2π,(2)弧度的概念: ①1弧度的角:長度等于_______的弧所對的圓心角叫做1弧度的角. ②角α的弧度數(shù)公式:|α|=___. ③角度與弧度的換算:360°=____rad,1°=_____rad,1rad=(____)° ≈57°18′.,半徑長,2π,(3)任意角的三角函數(shù): ①定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sinα=__,cosα=__,tanα=________.,y,x,②幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起 點都在x軸上,余弦線的起點都是原點,正切線的起點都是(1,0). 如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的_______,_______和_______.,正弦線,余弦線,正切線,(4)終邊相同的角的三角函數(shù): sin(α+k·2π)=______, cos(α+k·2π)=______, tan(α+k·2π)=______(其中k∈Z), 即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等. (5)扇形的弧長與面積公式: 扇形的弧長l=____;扇形的面積S=____=_______.,sinα,cosα,tanα,αr,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)象限角與軸線角 ①象限角:,②軸線角:,(2)任意角三角函數(shù)的定義 設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于頂點的任一點,其到原點O的距離為r,則sinα=__,cosα=__,tanα=_________. 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:數(shù)形結(jié)合法. (2)數(shù)學思想:分類討論、數(shù)形結(jié)合. (3)記憶口訣:各象限角三角函數(shù)值符號的記憶口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)順時針旋轉(zhuǎn)得到的角是正角.( ) (2)鈍角是第二象限的角.( ) (3)若兩個角的終邊相同,則這兩個角相等.( ) (4)1弧度的角就是長度為1的弧所對的圓心角.( ) (5)終邊在y軸上的角的正切值不存在.( ),【解析】(1)錯誤.順時針旋轉(zhuǎn)得到的角是負角.(2)正確.鈍角的范圍 是( ,π),顯然是第二象限的角.(3)錯誤.角180°的終邊與角 -180°的終邊相同,顯然它們不相同.(4)錯誤.1弧度的角是單位圓中 長度為1的弧所對的圓心角.(5)正確.終邊在y軸上的角與單位圓的交 點坐標為(0,1),(0,-1).由三角函數(shù)的定義知,角的正切值不存在. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P10T10改編)單位圓中,200°的圓心角所對的弧長為( ) A.10π B.9π C. D. 【解析】選D.單位圓的半徑r=1,200°的弧度數(shù)是200× = ,由弧度數(shù)的定義得 ,所以l= .,(2)(必修4P15T6改編)若角θ滿足tanθ0,sinθ0知,θ是一、三象限角,由sinθ0知,θ是三、四象限角,故θ是第三象限角.,3.真題小試感悟考題試一試 (1)(2015·蘭州模擬)下列各角與 終邊相同的角是( ) 【解析】選D.與 終邊相同的角可以寫成 +k·2π,k∈Z， 當k=-1時，為,(2)(2015·石家莊模擬)已知角α的終邊在直線y=-x上，且cos α＜0，則tan α=( ) 【解析】選D.如圖，由題意知，角α的終邊在第二 象限，在其上任取一點P(x,y)則y=-x，由三角函數(shù) 的定義得tan α= =-1.,(3)(2014·新課標全國卷Ⅰ)若tanα0,則( ) A.sinα0 B.cosα0 C.sin2α0 D.cos2α0 【解析】選C.由tanα0可得:kπ0.,考點1 象限角及終邊相同的角 【典例1】(1)終邊在直線y= x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為 . (2)如果α是第三象限的角,試確定-α,2α的終邊所在位置. 【解題提示】(1)數(shù)形結(jié)合,先寫出[0,2π)內(nèi)的角,再寫出[-2π,0)內(nèi)的角,最后寫出集合. (2)由α的范圍寫出-α與2α的范圍,再由終邊相同角的關(guān)系判斷.,【規(guī)范解答】(1)如圖，在坐標系中畫出直線y= x， 可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是 ，在［0，2π)內(nèi)，終 邊在直線y= x上的角有兩個： ;在［-2π，0) 內(nèi)滿足條件的角有兩個： 故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為 答案：,(2)由α是第三象限的角得 所以 即 所以角-α的終邊在第二象限. 由π+2kπ＜α＜ +2kπ(k∈Z)，得2π+4kπ＜2α＜3π+ 4kπ(k∈Z).所以角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負半軸.,【易錯警示】解答本題(2)有兩點容易出錯： (1)由α的象限表達式得到-α的不等式時，不能正確地運用不等式的性質(zhì)化為終邊相同的角的形式，導致判斷出錯. (2)由α的象限表達式得到2α的表達式后，容易漏掉y軸的非負半軸這一情況，導致不全而判斷失誤.,【互動探究】在本例題(2)的條件下，判斷 的終邊所在的位置. 【解析】因為π+2kπ＜α＜ +2kπ(k∈Z), 所以 當k=3n(n∈Z)時， 當k=3n+1(n∈Z)時，,當k=3n+2(n∈Z)時， 所以 的終邊在第一、三、四象限.,【規(guī)律方法】 1.終邊在某直線上角的求法步驟 (1)數(shù)形結(jié)合,在平面直角坐標系中畫出該直線. (2)按逆時針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角. (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合. (4)求并集化簡集合.,2.確定kα, (k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出kα或 的范圍,然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或 的終邊所在位置.,【變式訓練】設(shè)角α是第二象限的角，且 則角 屬于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】選C.因為α是第二象限角，所以90°+k·360°＜α＜180°+k·360°(k∈Z), 45°+k·180°＜ ＜90°+k·180°(k∈Z), 當k是偶數(shù)時， 是第一象限角; 當k是奇數(shù)時， 是第三象限角. 又由|cos |=-cos 得 是第三象限角.,【加固訓練】1.(2015·濟南模擬)若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z)，則角α與β的終邊的位置關(guān)系是( ) A.重合 B.關(guān)于原點對稱 C.關(guān)于x軸對稱 D.關(guān)于y軸對稱 【解析】選C.顯然角α與角θ的終邊相同，角β與角-θ的終邊相同，而θ與-θ的終邊關(guān)于x軸對稱，故選C.,2.如圖所示： 則終邊在圖中所示直線上的角的集合為____________.,【解析】由題干圖易知,在0°～360°范圍內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個,即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}. 答案:{β|β=135°+n·180°,n∈Z},考點2 弧度制及扇形面積公式的應用 【典例2】(1)時間經(jīng)過8小時,鐘表中時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為____. (2)已知扇形的圓心角是α,半徑是r,弧長為l, ①若α=100°,r=2,求扇形的面積; ②若扇形的周長為20,求扇形面積的最大值,并求此時扇形圓心角的弧度數(shù).,【解題提示】(1)明確時針旋轉(zhuǎn)的方向是解題的關(guān)鍵. (2)①先把角度數(shù)化成弧度數(shù),再利用扇形的面積公式求解; ②利用扇形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)的最值求解.,【規(guī)范解答】(1)時針是順時針方向旋轉(zhuǎn)的，所以經(jīng)過8小時，時針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為-360°× =-240°，其弧度數(shù)為 答案： (2)①α=100°=100× 所以l= ·2= 故S扇= lr=,②由題意，得l+2r=20,l=20-2r, 所以S扇= lr= (20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25, 所以，當r=5時,S扇最大=25，此時扇形圓心角的弧度數(shù)為,【規(guī)律方法】弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長公式l=αr，扇形的面積公式是S= lr= (其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角). (2)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.,【變式訓練】(2015·太原模擬)已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是( ) A.2 B.sin 2 C. D.2 sin 1 【解析】選C.如圖:∠AOB=2弧度，過O點作OC⊥AB于C，并延長OC交弧AB于D.則∠AOD=∠BOD=1弧度，且AC= AB=1， 在Rt△AOC中，AO= 即 從而弧AB的長為l=|α|·r=,【加固訓練】1.已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是( ) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 【解析】選C.設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l， 則 解得 或 從而 或,2.已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10， (1)求弦AB所對的圓心角α的大小. (2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.,【解析】(1)在△AOB中，AB=OA=OB=10， 所以△AOB為等邊三角形. 因此弦AB所對的圓心角 (2)由扇形的弧長與扇形面積公式，得 l=α·r= ×10= ,S扇形= r·l= 又S△AOB= ·OA·OB·sin = 所以弓形的面積S=S扇形-S△AOB=,考點3 三角函數(shù)的定義及其應用 知·考情 任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義屬于理解內(nèi)容.在高考中以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查利用定義求三角函數(shù)值或已知角求點的坐標等問題.,明·角度 命題角度1：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 【典例3】(2015·廣州模擬) 若角θ的終邊經(jīng)過點P( ，m)(m≠0)且sin θ= 則cos θ的值為_______. 【解題提示】由三角函數(shù)的定義及sin θ= 列方程求m，再求cos θ.,【規(guī)范解答】由題意得，r= ，所以 因為m≠0，所以 當m= 時， 點P的坐標為( )， 所以 當m=- 時， 點P的坐標為( )， 所以 答案：,命題角度2:利用三角函數(shù)的定義求點的坐標 【典例4】(2015·臨沂模擬)頂點在原點,始邊在x軸的正半軸上的角α,β的終邊與圓心在原點的單位圓交于A,B兩點,若α=30°, β=60°,則弦AB的長為 . 【解題提示】根據(jù)三角函數(shù)的定義求A,B兩點的坐標,由兩點間的距離公式求解.,【規(guī)范解答】由三角函數(shù)的定義得A(cos 30°,sin 30°), B(cos 60°,sin 60°)，即 所以|AB|= 答案：,悟·技法 三角函數(shù)定義的應用方法 (1)已知角α終邊上一點P的坐標,可求角α的三角函數(shù)值.先求P到原點的距離,再用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的某三角函數(shù)值,可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值,可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值. (3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.,通·一類 1.(2015·青島模擬)已知角α的終邊與單位圓的交點P(- ，y),則 sin α·tan α=( ),【解析】選C.由|OP|2= 得 當y= 時，sin α= ,tan α= 此時，sin α·tan α= 當y=- 時，sin α=- ,tan α= 此時，sin α·tan α=,2.(2015·銅川模擬)已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為 ，若α= ，則點P的坐標為( ) A.(1， ) B.( ，1) C.( ， ) D.(1，1),【解析】選D.設(shè)點P的坐標為(x,y)，則由三角函數(shù)的定義得 即 故點P的坐標為(1，1).,3.(2015·合肥模擬)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos 2θ=( ) 【解析】選B. 由題意知，tan θ=2，即sin θ=2cos θ，將其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ= ，故cos 2θ=2cos2θ-1=,自我糾錯8 利用定義求三角函數(shù)值 【典例】(2015·杭州模擬)已知角α的終邊在直線3x+4y=0上，則5sin α+5cos α+4tan α=____.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示: 解題過程錯在求r時開方?jīng)]加絕對值,誤以為t0而導致漏解.,【規(guī)避策略】 1.準確利用三角函數(shù)的定義 利用定義來求任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是求出角的終邊上點P的橫、縱坐標及點P到原點的距離,再利用定義求解. 2.區(qū)分角的終邊和角的終邊所在的直線 角的終邊是射線,若角的終邊落在某條直線上,這時終邊位置實際上有兩個,對應的三角函數(shù)值有兩組,應分別求解.,【自我矯正】因為角α的終邊在直線3x＋4y=0上， 所以在角α的終邊上任取一點P(4t，-3t)(t≠0)， 則 當t＞0時，r=5t，sin α= cos α= tan α= 所以5sin α＋5cos α＋4tan α=-3+4-3=-2; 當t＜0時，r=-5t，sin α= cos α=,tan α= 所以5sin α＋5cos α＋4tan α=3-4-3=-4. 綜上，所求值為-2或-4. 答案：-2或-4,