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最新考綱 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．,第6講 正弦定理、余弦定理及解三角形,1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則,知 識 梳 理,b2＋c2－2bccos A,c2＋a2－2cacos B,a2＋b2－2abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin A∶sin B∶,sin C,3．實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線_____叫仰角，目標視線在水平視線____叫俯角(如圖1)．,上方,下方,(2)方位角 從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角．如B點的方位角為α(如圖2)． (3)方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值．,,診 斷 自 測,×,√,√,×,答案 D,3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是 ( ),答案 A,5．(人教A必修5P10B2改編)在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個三角形的形狀為________． 答案 等腰三角形或直角三角形,考點一 正、余弦定理的簡單運用 【例1】 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.,深度思考 已知兩邊及其中一邊所對的角求另一邊可采用正弦定理也可用余弦定理來解決，不妨兩種方法你都體驗一下吧！,規(guī)律方法 (1)在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應用及角的范圍限制．,【訓練1】 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△ABC是 ( ) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形,規(guī)律方法 有關(guān)三角形面積問題的求解方法：(1)靈活運用正、余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化；(2)合理運用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．,【訓練2】 (2014·重慶卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋b＋c＝8.,規(guī)律方法 解三角形應用題的兩種情形：(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．,【訓練3】 (2014·新課標全國Ⅰ卷)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高MN＝________m.,答案 150,微型專題 解三角形中的向量法 解三角形問題是歷年高考的必考內(nèi)容，其實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題及方程問題．解答這類問題的關(guān)鍵是正確分析邊角關(guān)系，依據(jù)題設(shè)條件合理地設(shè)計解題程序，將三角形中的邊角關(guān)系進行互化．解三角形問題的一般解題策略有：公式法、邊角互化法、構(gòu)造方程法、向量法、分類討論法等．,【例4】 已知△ABC頂點的坐標分別為A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，則sin A的值為________． 點撥 先把坐標用向量來表示，再利用向量的數(shù)量積求解即可．,點評 本題的求解如果不采用向量法，難度就加大了，需要先作出圖形，求得角A一鄰邊上的高，不僅計算量加大，題目也變得復雜．而采用向量法就很輕易地實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，計算量大大降低，很容易求得結(jié)果.,[易錯防范] 1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形有時出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論(此類類型也可利用余弦定理求解)． 2．利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制． 3．解三角形實際問題時注意各個角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來．而容易出現(xiàn)的錯誤是把角的含義弄錯，把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯．,