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考點突破,夯基釋疑,考點一,考點三,考點二,例 1,訓練1,例 2,訓練2,例 3,訓練3,第 2 講 導數在研究函數中的應用,概要,課堂小結,,判斷正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)f′(x)＞0是f(x)為增函數的充要條件．( ) (2)函數在某區(qū)間上或定義域內極大值是唯一的．( ) (3)函數的極大值不一定比極小值大．( ) (4)對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件．( ) (5)函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值．( ),夯基釋疑,,,考點突破,所以曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x－2y－1＝0.,考點一 利用導數研究函數的單調性,,首先要確定函數的定義域,,又f(1)＝0，,,利用導數研究,,,,考點突破,考點一 利用導數研究函數的單調性,(2)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．,當a≥0時，f′(x)＞0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．,當a＜0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，,由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，,函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．,,,考點突破,考點一 利用導數研究函數的單調性,設x1，x2(x1＜x2)是函數g(x)的兩個零點，,所以x∈(0，x1)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；,f′(x)＜0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．,,,考點突破,考點一 利用導數研究函數的單調性,x∈(x1，x2)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增； x∈(x2，＋∞)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減． 綜上可得：當a≥0時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；,考點突破,規(guī)律方法 (1)利用導數研究函數單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，當 f(x) 含參數時，需要根據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論． (2)若可導函數 f(x) 在指定的區(qū)間 D 上單調遞增（減），求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0（或f′(x) ≤0）恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．,考點一 利用導數研究函數的單調性,,,考點突破,令f′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，,考點一 利用導數研究函數的單調性,即x＝0或x＝ln 2；,令f′(x)＞0，則x＜0或x＞ln 2； 令f′(x)＜0，則0＜x＜ln 2. ∴f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，0)，(ln 2，＋∞)； 遞減區(qū)間是(0，ln 2)．,,,考點突破,令ex＝t，由于x∈[－1，1]，,考點一 利用導數研究函數的單調性,,,考點突破,∵函數f(x)在[－1，1]上為單調函數，,考點一 利用導數研究函數的單調性,若函數f(x)在[－1，1]上單調遞增，,若函數f(x)在[－1，1]上單調遞減，,,考點突破,考點二 利用導數研究函數的極值,,,考點突破,考點二 利用導數研究函數的極值,,令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 因為x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內，故舍去． 當x∈(0，5)時，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)內為減函數； 當x∈(5，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)內為增函數． 由此知函數f(x)在x＝5時取得極小值f(5)＝－ln 5.,考點突破,考點二 利用導數研究函數的極值,規(guī)律方法 (1)可導函數y＝f(x)在x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在 x0 左側與右側f′(x)的符號不同． (2)若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區(qū)間上單調函數沒有極值．,,考點突破,解 (1)對f(x)求導，得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c， 由f′(x)為偶函數，知f′(－x)＝f′(x)恒成立， 即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b. 又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1. (2)當c＝3時，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么,,考點二 利用導數研究函數的極值,當x＝0時等號成立．,故f(x)在R上為增函數． (3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，,,考點突破,下面分三種情況進行討論： 當c0, 此時f(x)無極 值; 當c＝4時, 對任意x≠0, f′(x)＝2e2x＋2e－2x－40, 此時f(x)無極值;當c4時，令e2x＝t，,,考點二 利用導數研究函數的極值,當x1x2時，f′(x)0， 從而f(x)在x＝x2處取得極小值． 綜上，若f(x)有極值，則c的取值范圍為(4，＋∞)．,,,考點突破,考點三 利用導數研究函數的最值,,,考點突破,考點三 利用導數研究函數的最值,深度思考 對于第(2)小問已知函數f(x)在某個閉區(qū)間上的最值，求參數值，一般解法你了解嗎？(先求f(x)的最值再解方程求參數),,,考點突破,考點三 利用導數研究函數的最值,f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4處取得，,,,考點突破,考點三 利用導數研究函數的最值,而f(1)≠8， 由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)， 當a＝－10時，f(x)在(1，4)上單調遞減， f(x)在[1，4]上的最小值為f(4)＝8，符合題意． 綜上，a＝－10.,接上一頁 f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4處取得，,,考點突破,規(guī)律方法 (1)求解函數的最值時，要先求函數y＝f(x)在[a，b]內所有使f′(x)＝0的點，再計算函數y＝f(x)在區(qū)間內所有使f′(x)＝0的點和區(qū)間端點處的函數值，最后比較即得． (2)已知函數的最值求參數，一般先求出最值，利用待定系數法求解．,考點三 利用導數研究函數的最值,,考點突破,解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x＞0，,考點三 利用導數研究函數的最值,考點突破,(2)g(x)＝xln x－a(x－1)， 則g′(x)＝ln x＋1－a， 由g′(x)＝0，得x＝ea－1， 所以，在區(qū)間(0，ea－1)上，g(x)為遞減函數， 在區(qū)間(ea－1，＋∞)上，g(x)為遞增函數． 當ea－1≤1，即a≤1時，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞增函數， 所以g(x)的最小值為g(1)＝0.,考點三 利用導數研究函數的最值,,考點突破,當1＜ea－1＜e，即1＜a＜2時， g(x)的最小值為g(ea－1)＝a－ea－1. 當ea－1≥e，即a≥2時， 在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞減函數， 所以g(x)的最小值為g(e)＝a＋e－ae. 綜上，當a≤1時，g(x)的最小值為0； 當1＜a＜2時，g(x)的最小值為a－ea－1； 當 a≥2時，g(x)的最小值為a＋e－ae.,考點三 利用導數研究函數的最值,,思想方法,課堂小結,易錯防范,課堂小結,