高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法課件 文.ppt
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第七章 不等式,§7.2 一元二次不等式及其解法,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.“三個二次”的關(guān)系,,知識梳理,1,?,?,,答案,2.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式的解法,,{x|axb},口訣:大于取兩邊,小于取中間.,{x|x≠a},{x|xa},?,,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2+bx+c0.( ) (2)不等式 ≤0的解集是[-1,2].( ) (3)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),則方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1和x2.( ) (4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根,則不等式ax2+bx+c0的解集為R.( ) (5)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a0且Δ=b2-4ac≤0.( ),√,×,√,×,×,思考辨析,,答案,返回,1.不等式x2-3x-100的解集是________________________.,解析 解方程x2-3x-10=0得x1=-2,x2=5, 由y=x2-3x-10的開口向上, 所以x2-3x-100的解集為(-∞,-2)∪(5,+∞).,(-∞,-2)∪(5,+∞),,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.設(shè)集合M={x|x2-3x-40},N={x|0≤x≤5},則M∩N=________. 解析 ∵M={x|x2-3x-40}={x|-1x4}, ∴M∩N=[0,4).,[0,4),,解析答案,1,2,3,4,5,解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a0即為x2-5x+60,解集為(2,3).,(2,3),,解析答案,1,2,3,4,5,4.若關(guān)于x的不等式m(x-1)x2-x的解集為{x|1x2-x的解集為{x|1x2}. 所以1,2一定是m(x-1)=x2-x的解,∴m=2.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,5.若關(guān)于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一負根,則a的取值范圍為________. 解析 由題意可知,Δ0且x1x2=a2-10,故-1a1.,(-1,1),,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,命題點1 不含參的不等式,例1 求不等式-2x2+x+30, 解方程2x2-x-3=0得x1=-1,,,,題型一 一元二次不等式的求解,,解析答案,命題點2 含參不等式 例2 解關(guān)于x的不等式:x2-(a+1)x+a1時,x2-(a+1)x+a0的解集為{x|1xa}, ②當(dāng)a=1時,x2-(a+1)x+a0的解集為?, ③當(dāng)a1時,x2-(a+1)x+a0的解集為{x|ax1}.,,解析答案,將原不等式改為ax2-(a+1)x+10,求不等式的解集.,,解析答案,引申探究,思維升華,解 若a=0,原不等式等價于-x+11.,,解析答案,思維升華,,思維升華,思維升華,,含有參數(shù)的不等式的求解,往往需要對參數(shù)進行分類討論. (1)若二次項系數(shù)為常數(shù),首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù),再考慮分解因式,對參數(shù)進行分類討論,若不易分解因式,則可依據(jù)判別式符號進行分類討論; (2)若二次項系數(shù)為參數(shù),則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零,確定不等式是不是二次不等式,然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形,以便確定解集的形式; (3)對方程的根進行討論,比較大小,以便寫出解集.,求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,,②a=0時,x2>0,解集為{x|x∈R且x≠0};,,解析答案,綜上所述,當(dāng)a>0時,不等式的解集為,當(dāng)a=0時,不等式的解集為{x|x∈R且x≠0};,命題點1 在R上恒成立,(-3,0),,,題型二 一元二次不等式恒成立問題,,解析答案,(2)設(shè)a為常數(shù),?x∈R,ax2+ax+10,則a的取值范圍是________.,解析 ?x∈R,ax2+ax+10,,[0,4),,解析答案,命題點2 在給定區(qū)間上恒成立,例4 設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對于x∈[1,3],f(x)-m+5恒成立,求m的取值范圍.,,解析答案,解 要使f(x)-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即,有以下兩種方法:,,解析答案,當(dāng)m0時,g(x)在[1,3]上是增函數(shù), 所以g(x)max=g(3)?7m-60,,當(dāng)m=0時,-60恒成立; 當(dāng)m0時,g(x)在[1,3]上是減函數(shù), 所以g(x)max=g(1)?m-60,所以m6,所以m0.,,解析答案,命題點3 給定參數(shù)范圍的恒成立問題,例5 對任意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是___________ . 解析 x2+(k-4)x+4-2k0恒成立, 即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)0, 在k∈[-1,1]時恒成立.,{x|x3},解之得x3.,,解析答案,思維升華,思維升華,,(1)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).,(1)若不等式x2-2x+5≥a2-3a對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為__________.,解析 x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值為4, 所以x2-2x+5≥a2-3a對任意實數(shù)x恒成立, 只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.,[-1,4],跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,(2)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)0成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.,解析 作出二次函數(shù)f(x)的草圖,對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)0,,,解析答案,(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域;,例6 某商品每件成本價為80元,售價為100元,每天售出100件.若售價降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加 x成.要求售價不能低于成本價.,所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定義域為x∈[0,2].,,,題型三 一元二次不等式的應(yīng)用,,解析答案,(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元,求x的取值范圍.,解 由題意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,,,解析答案,思維升華,思維升華,,求解不等式應(yīng)用題的四個步驟 (1)閱讀理解,認真審題,把握問題中的關(guān)鍵量,找準(zhǔn)不等關(guān)系. (2)引進數(shù)學(xué)符號,將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言,用不等式表示不等關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. (3)解不等式,得出數(shù)學(xué)結(jié)論,要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實際意義. (4)回歸實際問題,將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果.,某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為12萬元/輛,年銷售量為10 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1),則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x,同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量.,(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;,解 y=[(1+0.75x)×12-(1+x)×10]×(1+0.6x)×10 000 =-6 000x2+2 000x+20 000, 即y=-6 000x2+2 000x+20 000(0x1).,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)? 解 上年利潤為(12-10)×10 000=20 000. ∴y-20 0000,即-6 000x2+2 000x0,,,解析答案,返回,,思想與方法系列,,典例 (1)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域為[0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m,m+6),則實數(shù)c的值為________.,思維點撥 考慮“三個二次”間的關(guān)系;,,思想與方法系列,14.轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用,,解析答案,思維點撥,∵f(x)的值域為[0,+∞),,解析 由題意知f(x)=x2+ax+b,,解析答案,答案 9,思維點撥 將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.,,溫馨提醒,解析答案,返回,思維點撥,即當(dāng)x≥1時,a-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上單調(diào)遞減, ∴g(x)max=g(1)=-3,故a-3. ∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a-3}. 答案 {a|a-3},,溫馨提醒,溫馨提醒,,(1)本題的解法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想:函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a,b滿足的條件;不等式恒成立可以分離常數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題. (2)注意函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞)與f(x)≥0的區(qū)別.,,返回,,思想方法 感悟提高,1.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ),一般可把a0時的情形. 2.f(x)0的解集即為函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸上方的點的橫坐標(biāo)的集合,充分利用數(shù)形結(jié)合思想. 3.簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化,利用一元二次不等式解法進行求解.,方法與技巧,1.對于不等式ax2+bx+c0,求解時不要忘記討論a=0時的情形. 2.當(dāng)Δ0 (a≠0)的解集為R還是?,要注意區(qū)別. 3.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn),避免盲目討論.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集為____________. 解析 由(x-1)(2-x)≥0可知(x-2)(x-1)≤0, 所以不等式的解集為{x|1≤x≤2}.,{x|1≤x≤2},,解析答案,解析 方法一 當(dāng)x≤0時,x+2≥x2, ∴-1≤x≤0;① 當(dāng)x0時,-x+2≥x2,∴0x≤1.② 由①②得原不等式的解集為{x|-1≤x≤1}. 方法二 作出函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=x2的圖象,如圖,由圖知f(x)≥x2的解集為[-1,1].,[-1,1],,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若集合A={x|ax2-ax+10}=?,則實數(shù)a的取值范圍是____________. 解析 由題意知a=0時,滿足條件.,得0a≤4,所以0≤a≤4.,[0,4],,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.已知不等式x2-2x-30的解集是A,不等式x2+x-60的解集是B,不等式x2+ax+b0的解集是A∩B,那么a+b=________. 解析 由題意,A={x|-1x3},B={x|-3x2}, A∩B={x|-1x2}, 則不等式x2+ax+b0的解集為{x|-1x2}. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知,a=-1,b=-2, 所以a+b=-3.,-3,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.設(shè)a0,不等式-cax+bc的解集是{x|-2x1},則a∶b∶c=________.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 ∵-c0,,∵不等式的解集為{x|-2x1},,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 2∶1∶3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,則a的值為__________.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解, 則x2-2ax+a=-1有兩個相等的實根,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,-2,解析 ∵f(x+3)=f(x), ∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)-1.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,函數(shù)F(x)=f(x)-x的兩個零點為m,n(m0的解集; 解 由題意知,F(xiàn)(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n). 當(dāng)m=-1,n=2時,不等式F(x)0, 即a(x+1)(x-2)0. 當(dāng)a0時,不等式F(x)0的解集為{x|x2}; 當(dāng)a0的解集為{x|-1x2}.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),,∴x-m0. ∴f(x)-m0,即f(x)m.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數(shù)f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)0的解集是(-1,3),則不等式f(-2x)3或-2x-1,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.若關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=________.,解析 由x2-2ax-8a20, 所以不等式的解集為(-2a,4a), 即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,,13.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),對任意實數(shù)x都有f(1-x)=f(1+x)成立,當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)0恒成立,則b的取值范圍是_____________. 解析 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)圖象的對稱軸為直線x=1,,由f(x)的圖象可知f(x)在[-1,1]上為增函數(shù). ∴x∈[-1,1]時,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2, 令b2-b-20,解得b2.,b2,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.求使不等式x2+(a-6)x+9-3a0,|a|≤1恒成立的x的取值范圍. 解 將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x-3)a+x2-6x+90. 令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9. 因為f(a)0在|a|≤1時恒成立,所以 (1)若x=3,則f(a)=0,不符合題意,應(yīng)舍去. (2)若x≠3,則由一次函數(shù)的單調(diào)性,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以x的取值范圍是{x|x4}.,返回,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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