高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理 10.2 排列與組合課件 理.ppt
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,第十章 計數(shù)原理,§10.2 排列與組合,,,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.排列與組合的概念,一定的順序,,知識梳理,1,,答案,2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用 表示. (2)組合數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用 表示.,所有排列,所有組合,,答案,3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì),n(n-1)(n-2)…(n-m+1),n!,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.( ) (2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.( ) (3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n+1)?。璶!=n·n!.( ),×,×,√,√,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改編)用數(shù)字1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為________.,48,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有________種.,,解析答案,1,2,3,4,5,方法二 從2本同樣的畫冊,3本同樣的集郵冊中取出4本有兩種取法: 第一種:從2本畫冊中取出1本,將3本集郵冊全部取出; 第二種:將2本畫冊全部取出,從3本集郵冊中取出2本.由于畫冊是相同的,集郵冊也是相同的, 因此第一種取法中只需從4位朋友中選出1人贈送畫冊,其余的贈送集郵冊,,,解析答案,1,2,3,4,5,第二種取法中只需從4位朋友中選取2人贈送畫冊,其余的贈送集郵冊,,因此共有4+6=10種贈送方法.,答案 10,,1,2,3,4,5,3.(2014·遼寧改編)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為________. 解析 “插空法”,先排3個空位,形成4個空隙供3人選擇就座,,24,,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項活動,其中男女生都有的選法種數(shù)為________. 解析 分兩類:男1女2或男2女1,,30,,解析答案,1,2,3,4,5,5.某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度要啟動的項目,則重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法的種數(shù)是________. 解析 從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度啟動的項目,,故重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是90-30=60.,60,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,例1 (1)3名男生,4名女生,選其中5人排成一排,則有________種不同的排法. 解析 問題即為從7個元素中選出5個全排列,,2 520,,,題型一 排列問題,,解析答案,(2)將A,B,C,D,E,F(xiàn)六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有________種.,,解析答案,若C排在第2位,A和B有C右邊的4個位置可以選,,若C排在第3位,則A,B可排C的左側(cè)或右側(cè),,若C排在第4,5,6位時,其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同, 故共有2×(120+72+48)=480種排法. 答案 480,1.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“排成前后兩排,前排3人,后排4人”,其他條件不變,則有多少種不同的排法?,引申探究,,解析答案,2.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排,男、女各站在一起”,其他條件不變,則有多少種不同的排法?,,解析答案,3.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排,男生不能站在一起”,其他條件不變,則有多少種不同的排法?,,解析答案,4.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排,甲不站排頭也不站排尾”,其他條件不變,則有多少種不同的排法?,,解析答案,思維升華,,思維升華,排列應(yīng)用問題的分類與解法 (1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法. (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.,用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字. (1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)? 解 符合要求的四位偶數(shù)可分為三類:,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)能組成多少個奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字)? 解 先排0,2,4,再讓1,3,5插空,,,解析答案,例2 某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi),不同的取法有多少種?,∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.,,,題型二 組合問題,,解析答案,(2)其中某一種假貨不能在內(nèi),不同的取法有多少種?,∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.,,解析答案,(3)恰有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?,∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種. (4)至少有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?,∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種.,,解析答案,(5)至多有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?,∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種.,,解析答案,思維升華,,思維升華,組合問題常有以下兩類題型變化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,考慮逆向思維,用間接法處理.,從10位學(xué)生中選出5人參加數(shù)學(xué)競賽. (1)甲必須入選的有多少種不同的選法? 解 學(xué)生甲入選,再從剩下的9人選4人,,(2)甲、乙、丙不能同時都入選的有多少種不同的選法?,故甲、乙、丙不能同時都入選的有252-21=231種不同的選法.,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,命題點1 相鄰問題 例3 一排9個座位坐了3個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為________.(用式子表示) 解析 把一家三口看作一個排列,然后再排列這3家, 所以有(3!)4種坐法.,(3!)4,,,題型三 排列與組合問題的綜合應(yīng)用,,解析答案,命題點2 相間問題 例4 (2014·重慶改編)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目,2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________種.,,解析答案,解析 先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目,然后讓歌舞節(jié)目去插空. 安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種:“小品1,小品2,相聲”,“小品1,相聲,小品2”和“相聲,小品1,小品2”. 對于第一種情況,形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”,,,解析答案,同理,第三種情況也有36種安排方法,對于第二種情況,三個節(jié)目形成4個空,其形式為“□小品1□相聲□小品2□”,,故共有36+36+48=120種安排方法. 答案 120,命題點3 特殊元素(位置)問題 例5 (2014·四川改編)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有________種.,所以共有120+96=216種方法.,216,,解析答案,思維升華,,思維升華,排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略 (1)相鄰問題捆綁法.在特定條件下,將幾個相關(guān)元素視為一個元素來考慮,待整個問題排好之后,再考慮它們“內(nèi)部”的排列. (2)相間問題插空法.先把一般元素排好,然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中,它與捆綁法有同等作用. (3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法.優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置,然后再排列其他一般元素或位置. (4)多元問題分類法.將符合條件的排列分為幾類,而每一類的排列數(shù)較易求出,然后根據(jù)分類計數(shù)原理求出排列總數(shù).,(1)某校高二年級共有6個班級,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名,則不同的安排方案種數(shù)為_____.,方法二 先從6個班級中選2個班級有C =15種不同方法,,90,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,(2)(2014·浙江)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張,其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人,每人2張,不同的獲獎情況有_____種.,60,,解析答案,返回,,易錯警示系列,典例 有20個零件,其中16個一等品,4個二等品,若從20個零件中任意取3個,那么至少有1個一等品的不同取法有________種.,,14.排列、組合問題計算重、漏致誤,,易錯警示系列,,解析答案,易錯分析,溫馨提醒,返回,解析 方法一 將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類:“恰有1個一等品”,“恰有2個一等品”,“恰有3個一等品”,,方法二 考慮其對立事件“3個都是二等品”,,答案 1 136,,溫馨提醒,,返回,溫馨提醒,,(1)排列、組合問題由于其思想方法獨特,計算量龐大,對結(jié)果的檢驗困難,所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則,如特殊元素(位置)優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細(xì)膩,考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題. (2)“至少、至多”型問題不能直接利用分步計數(shù)原理求解,多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解.,,思想方法 感悟提高,1.對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題,通常從三個途徑考慮: (1)以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素; (2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置; (3)先不考慮附加條件,計算出排列數(shù)或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).,方法與技巧,2.排列、組合問題的求解方法與技巧: (1)特殊元素優(yōu)先安排;(2)合理分類與準(zhǔn)確分步;(3)排列、組合混合問題先選后排;(4)相鄰問題捆綁處理;(5)不相鄰問題插空處理;(6)定序問題排除法處理;(7)分排問題直排處理;(8)“小集團”排列問題先整體后局部;(9)構(gòu)造模型;(10)正難則反,等價條件.,求解排列與組合問題的注意點: (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個原理做最后處理. (2)解受條件限制的組合題,通常用直接法(合理分類)或間接法(排除法)來解決,分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一,避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.若從1,2,3,…,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有________種. 解析 共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù),要使和為偶數(shù), 則4個數(shù)全為奇數(shù),或全為偶數(shù),或2個奇數(shù)和2個偶數(shù),,66,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.10名同學(xué)合影,站成了前排3人,后排7人.現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排,其他人的相對順序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答).,420,,解析答案,3.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成,演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位,節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有________種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 42,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.在航天員進(jìn)行的一項太空實驗中,要先后實施6個程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步,程序B和C在實施時必須相鄰,問實驗順序的編排方法共有______種.,∴由分步計數(shù)原理,實驗編排共有2×48=96種方法.,96,,解析答案,5.(2014·安徽改編)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60°的共有________對. 解析 正方體中共有12條面對角線,任取兩條作為一對共有 =66對,12條對角線中的兩條所構(gòu)成的關(guān)系有平行、垂直、成60°角. 相對兩面上的4條對角線組成的 =6對組合中,平行有2對,垂直有4對,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,48,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.(2015·廣東)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了________條畢業(yè)留言. 解析 依題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù), 所以全班共寫了 =40×39=1 560條畢業(yè)留言.,1 560,,解析答案,7.(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有________種. 解析 先考慮產(chǎn)品A與B相鄰,把A,B作為一個元素有 種方法,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,故滿足條件的擺法有48-12=36種.,36,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了,則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有________種. 解析 把g、o、o、d 4個字母排一列,可分兩步進(jìn)行,第一步:排g和d,共有 種排法; 第二步:排兩個o.共一種排法,所以總的排法種數(shù)為 =12.,11,,解析答案,9.2015年某通訊公司推出一組手機卡號碼,卡號的前七位數(shù)字固定,后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個號碼中選擇.公司規(guī)定:凡卡號的后四位恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金兔卡”,享受一定優(yōu)惠政策.如后四位數(shù)為“2663”,“8685”為“金兔卡”,求這組號碼中“金兔卡”的張數(shù). 解 ①當(dāng)后四位數(shù)有2個6時,“金兔卡”共有C ×9×9=486張; ②當(dāng)后四位數(shù)有2個8時,“金兔卡”也共有C ×9×9=486張. 但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由2個6和2個8組成的這種情況, 所以要減掉C =6,即“金兔卡”共有486×2-6=966張.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.有9名學(xué)生,其中2名會下象棋但不會下圍棋,3名會下圍棋但不會下象棋,4名既會下圍棋又會下象棋.現(xiàn)在要從這9名學(xué)生中選出2名學(xué)生,一名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,共有多少種不同的選派方法?,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)2名會下象棋但不會下圍棋的同學(xué)組成集合A,3名會下圍棋但不會下象棋的同學(xué)組成集合B,4名既會下圍棋又會下象棋的同學(xué)組成集合C,則選派2名參賽同學(xué)的方法可以分為以下4類: 第一類:A中選1人參加象棋比賽,B中選1人參加圍棋比賽,方法數(shù)為 =6種;,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由分類計數(shù)原理,選派方法數(shù)共有6+12+8+12=38種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中,有5架艦載機準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而丙、丁不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有________種. 解析 丙、丁不能相鄰著艦, 則將剩余3機先排列,再將丙、丁進(jìn)行“插空”. 由于甲、乙“捆綁”視作一整體,剩余3機實際排列方法共2×2=4種.,由分步計數(shù)原理,共有4×6=24種著艦方法.,24,,解析答案,12.(2014·廣東改編)設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 在x1,x2,x3,x4,x5這五個數(shù)中, 因為xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5, 所以滿足條件1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的可能情況有“①一個1(或-1),四個0,有C ×2種;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 130,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教,有________種不同的分派方法.,故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校,,90,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.4個不同的球,4個不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi). (1)恰有1個盒不放球,共有幾種放法? 解 為保證“恰有1個盒不放球”, 先從4個盒子中任意取出去一個,問題轉(zhuǎn)化為“4個球,3個盒子,每個盒子都要放入球,共有幾種放法?”, 即把4個球分成2,1,1的三組, 然后再從3個盒子中選1個放2個球,其余2個球放在另外2個盒子內(nèi),,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球,共有幾種放法?,解 “恰有1個盒內(nèi)有2個球”, 即另外3個盒子放2個球,每個盒子至多放1個球, 也即另外3個盒子中恰有一個空盒, 因此,“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事, 所以共有144種放法.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(3)恰有2個盒不放球,共有幾種放法?,4個球放進(jìn)2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類,,,解析答案,15.7名師生站成一排照相留念,其中老師1人,男生4人,女生2人,在下列情況下,各有不同站法多少種? (1)兩個女生必須相鄰而站; 解 ∵兩個女生必須相鄰而站, ∴把兩個女生看做一個元素, 則共有6個元素進(jìn)行全排列,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(2)4名男生互不相鄰; 解 ∵4名男生互不相鄰, ∴應(yīng)用插空法, 對老師和女生先排列,形成四個空再排男生共有 =144種站法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)老師不站中間,女生甲不站左端.,當(dāng)老師不站左端時,老師有5種站法,女生甲有5種站法,,根據(jù)分類計數(shù)原理知共有720+3 000=3 720種站法.,,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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