《高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1_1_2 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件 新人教A版選修2-3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1_1_2 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件 新人教A版選修2-3（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.1.2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1進(jìn)一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理2能根據(jù)具體問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題 現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，若推選兩人做小組組長，這兩人需來自不同的班級問題有多少種不同的選法？ 提示分六類，每類又分兩步，從一班、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有

2、810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法，所以共有不同的選法N787971089810910431(種) 兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的方法 1分類要做到“_”，分類后再對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)2分步要做到“_”完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)應(yīng)用兩個計數(shù)原理應(yīng)注意的問題不重不漏步驟完整 兩個計數(shù)原理的使用方法(1)合理分類，準(zhǔn)確分步處理計數(shù)問題，應(yīng)扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，接下來要搞清楚“分類”

3、或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么分類時需要滿足兩個條件：類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；總數(shù)要完備(保證不遺漏)也就是要確定一個合理的分類標(biāo)準(zhǔn)分步時應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性 (2)特殊優(yōu)先，一般在后解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想 (3)分類討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸分類討論就是把一個復(fù)雜的問題，通過正確劃分，轉(zhuǎn)化為若干個小問題予以擊破，這是解決計數(shù)問題的基本思想數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸也是化難為易，化抽象為具體，化陌生為熟悉，化未知為已知的重要思

4、想方法，對解決計數(shù)問題至關(guān)重要 解析：由分步乘法計數(shù)原理得55555556.答案：A 2(2015鄭州高二檢測)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A30種B35種C42種D48種 解析：選3門課程，要求A，B兩類至少各選1門，可分為兩種情況，一類是A類選修2門，B類選修1門，共有3412種選法；另一類是A類選修1門，B類選修2門，共有3618種選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得符合條件的選法共有121830(種)答案：A 3編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示五個盒子中要求每個盒子只能放一個小球，且A不能放1,2號

5、，B必須放在與A相鄰的盒子中則不同的放法有_ 解析：以小球A放的盒為分類標(biāo)準(zhǔn)，共分為三類：第一類，當(dāng)小球放在4號盒內(nèi)時，不同的放法有3216(種)；第二類，當(dāng)小球放在3號盒內(nèi)時，不同的放法有332118(種)；第三類，當(dāng)小球放在5號盒內(nèi)時，不同的放法有3216(種)綜上所述，不同的放法有618630(種)答案：30種 4由數(shù)字1,2,3,4(1)可組成多少個3位數(shù)；(2)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)；(3)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字 解析：(1)百位數(shù)共有4種選法；十位數(shù)共有4種選法；個位數(shù)共有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共可組成43

6、64個3位數(shù)(2)百位上共有4種選法；十位上共有3種選法；個位上共有2種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共可組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)43224(個)(3)組成的三位數(shù)分別是432,431,421,321共4個. 合作探究 課堂互動 組數(shù)問題有0,1,2，8這9個數(shù)字(1)用這9個數(shù)字組成四位數(shù)，共有多少個不同的四位數(shù)？(2)用這9個數(shù)字組成四位的密碼，共有多少個不同的密碼？思路點撥四位密碼的首位可為0，四位數(shù)的首位不能為0. (1)題中未強調(diào)四位數(shù)的各位數(shù)字不重復(fù)，故只需強調(diào)首位不為0，依次確定千、百、十、個位，各有8,9,9,9種方法所以共能組成8935 832個不同的四位數(shù)(2)與(1)的區(qū)別在

7、于首位可為0.所以共能組成946 561個不同的四位密碼 規(guī)律方法對于組數(shù)問題的計數(shù)：一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類，每類中再分步來計數(shù)；但當(dāng)分類較多時，可用間接法先求出總數(shù)，再減去不符合條件的數(shù)去計數(shù) 1(1)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位密碼？四位數(shù)？(2)從1到200的這200個自然數(shù)中，每個位數(shù)上都不含數(shù)字8的共有多少個？ 解析：(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四

8、步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N5432120個 完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N443296個 (2)本題應(yīng)分3類來解決：第1類，一位數(shù)中，除8以外符合要求

9、的數(shù)有8個；第2類，兩位數(shù)中，十位數(shù)除0,8以外有8種選法，而個位數(shù)除8以外有9種選法，故兩位數(shù)中符合要求的數(shù)有8972個；第3類，三位數(shù)中，百位數(shù)為1，十位數(shù)和個位數(shù)上的數(shù)字除8以外都有9種選法，故三位數(shù)中，百位數(shù)為1的符合要求的數(shù)有9981個； 百位數(shù)為2的數(shù)只有200這一個符合要求故三位數(shù)中符合要求的數(shù)有81182個由分類加法計數(shù)原理知，符合要求的數(shù)字共有87282162個 種植與涂色問題用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一顏色 (1)若n6，則為甲圖著色時共有多少種不同的方法；(2)若為乙圖著色時共有120種

10、不同方法，求n. 思路點撥 解析：(1)對區(qū)域A，B，C，D按順序著色，為A著色有6種方法，為B著色有5種方法，為C著色有4種方法，為D著色有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有著色方法6544480(種)(2)對區(qū)域A，B，C，D按順序著色，為A著色有n種方法，為B著色有n1種方法，為C著色有n2種方法，為D著色有n3種方法， 利用分步乘法計數(shù)原理，不同的著色方法數(shù)是：n(n1)(n2)(n3)120，解得(n23n)(n23n2)120.即(n23n)22(n23n)1200.(n23n10)(n23n12)0.n23n100或n23n120(舍去)，解得n5或n2(舍去)，故n5. 規(guī)律方

11、法本題是一個涂色問題，是計數(shù)問題中的一個難點求解時要注意以下兩點：一要考察全面；二要注意策略如上述解法把A，D作為討論區(qū)域，求解時優(yōu)先考察這兩個區(qū)域 2.如圖有4個編號為1、2、3、4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的一種，并且相鄰(有公共邊界)的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂色方法？ 解析：分為兩類：第一類：若1、3同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有1種涂法(與1相同)，4有4種涂法故N1541480種第二類：若1、3不同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有3種涂法，4有3種涂法故N25433180種綜上可知不同的涂法共有NN 1N2801802

12、60種 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用假設(shè)在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？ 思路點撥因有兩人既會下象棋又會下圍棋，在選兩人時要分類討論 規(guī)律方法應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是分清“分類”與“分步”使用分類加法計數(shù)原理時必須做到不重不漏，各類的每一種方法都能獨立完成；使用分步乘法計數(shù)原理時分步必須做到各步均是完成事件必須的、缺一不可的步驟 3(1)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a2且a3a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,27

13、5等)，那么所有凸數(shù)個數(shù)是多少？(2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a2且a3a2，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)(如102,323,756等)，那么所有凹數(shù)個數(shù)是多少？ 解析：(1)分8類：當(dāng)中間數(shù)為2時，百位只能選1，個位可選1、0，由分步乘法計數(shù)原理，有122個；當(dāng)中間數(shù)為3時，百位可選1、2，個位可選0、1、2，由分步乘法計數(shù)原理，有236個；同理可得：當(dāng)中間數(shù)為4時，有3412個；當(dāng)中間數(shù)為5時，有4520個；當(dāng)中間數(shù)為6時，有5630個；當(dāng)中間數(shù)為7時，有6742個；當(dāng)中間數(shù)為8時，有7856個；當(dāng)中間數(shù)為9時，有8972個；故共有26122030425672240個 (2)

14、分8類：當(dāng)中間數(shù)為0時，百位可選19，個位可選19，由分步乘法計數(shù)原理，有9981個；當(dāng)中間數(shù)為1時，百位可選29，個位可選29，由分步乘法計數(shù)原理，有8864個；同理可得：當(dāng)中間數(shù)為2時，有7749個；當(dāng)中間數(shù)為3時，有6636個；當(dāng)中間數(shù)為4時，有5525個； 當(dāng)中間數(shù)為5時，有4416個；當(dāng)中間數(shù)為6時，有339個；當(dāng)中間數(shù)為7時，有224個；當(dāng)中間數(shù)為8時，有111個；故共有816449362516941285個 有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？ A BC D 【錯解】第一步，

15、種植A試驗田有4種方法；第二步，種植B試驗田有3種方法；第三步，種植C試驗田有3種方法；第四步，種植D試驗田有2種方法；由分步乘法計數(shù)原理知，共有N433272種種植方法 提示若按A，B，C，D的順序依次種植作物，會導(dǎo)致D試驗田的種植數(shù)受C試驗田的影響，情況復(fù)雜實際上種植C，D兩塊試驗田再作為一步，用分類加法計數(shù)原理求解 【正解】方法一：第一步，第二步與錯解相同第三步，若C試驗田種植的作物與B試驗田相同，則D試驗田有3種方法，此時有133種種植方法若C試驗田種植的作物與B試驗田不同，則C試驗田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有224種種植方法由分類加法計數(shù)原理知，有347種方法第四步，由分步乘法計數(shù)原理有N43784種不同的種植方法 方法二：(1)若A，D種植同種作物，則A，D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有43336種種植方法(2)若A，D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有432248種種植方法綜上所述，由分類加法計數(shù)原理，共有N364884種種植方法.