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第八章 平面解析幾何,第3節(jié) 橢 圓,,1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)． 2．了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 3．理解數(shù)形結(jié)合的思想．,[要點(diǎn)梳理] 1．橢圓的概念 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做__________．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的_____，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的_____．,,,,,,橢圓,焦點(diǎn),焦距,質(zhì)疑探究1：橢圓的定義中，為何有常數(shù)2a大于|F1F2|的限制？ 提示：當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不存在的．只有2a＞|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓．,2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),質(zhì)疑探究2：方程Ax2＋By2＝1(AB≠0)表示橢圓的充要條件是什么？,質(zhì)疑探究3：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？,4．已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為________．,[答案] 8,[典例透析] 考向一 橢圓的定義及應(yīng)用 例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( ) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線,,[答案] 3,拓展提高 1.橢圓定義的應(yīng)用范圍 (1) 確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓． (2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題． 2.焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用 橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過(guò)整體代入可求其面積等．,思路點(diǎn)撥 (1)將重心G到B，C的距離之和轉(zhuǎn)化為AC，AB邊上的中線長(zhǎng)之和，與橢圓定義相聯(lián)系．(2)建立a、c的方程，再求b.(3)可確定焦點(diǎn)，利用定義或者利用其焦點(diǎn)的橢圓方程求解．,(2)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為________．,,(3)求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．,審題視角 橢圓的離心率利用方程思想，只需利用題目條件得到a，b，c的一個(gè)關(guān)系式即可．若得到的關(guān)系式含b，可利用a2＝b2＋c2轉(zhuǎn)化為只含a，c的關(guān)系式．,方法點(diǎn)睛 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．這類問(wèn)題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍．無(wú)論是哪類問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達(dá)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問(wèn)題難點(diǎn)的根本方法．,(2) 設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為F，如圖所示，,,[思維升華] 【方法與技巧】,1．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個(gè)方面去思考．“定形”就是指橢圓的對(duì)稱中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上．“定式”就是根據(jù)“形”設(shè)出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n. 2．討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，離心率問(wèn)題是重點(diǎn)，求離心率的常用方法有以下兩種：,,【失誤與防范】,,