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第八章 平面解析幾何,第5節(jié) 拋物線,,1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率)． 2．理解數(shù)形結(jié)合的思想． 3．了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用．,[要點梳理] 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離_______的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的______，直線l叫做拋物線的_____． 質(zhì)疑探究1：若拋物線定義中定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？,,,,,相等,焦點,準(zhǔn)線,提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線．,2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),質(zhì)疑探究2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義是什么？ 提示：p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離．,[解析] Q(－2,0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. [答案] C,4．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________ [解析] 由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y. [答案] x2＝12y,[典例透析] 考向一 拋物線的定義及應(yīng)用 例1 已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時P點的坐標(biāo)． 思路點撥 把|PF|轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線的距離，兩點之間線段最短．,,,活學(xué)活用1 (2015·遼寧省五校聯(lián)考)設(shè)拋物線x2＝12y的焦點為F，經(jīng)過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點，又知點P恰為AB的中點，則|AF|＋|BF|＝________. [解析] 分別過點A，B，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，Q，根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8. [答案] 8,考向二 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 例2 (1)如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米．,,[解析] (1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．,,拓展提高 (1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此．,活學(xué)活用2 (2015·鄭州一模)如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( ),,,[答案] C,,[答案] D,易錯分析 1.①處易與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px混淆，導(dǎo)致焦點坐標(biāo)求錯，造成失分． 2.②處直接求出a的值，則容易出現(xiàn)計算錯誤，注意到直線平行，可簡化計算． 防范措施 1.拋物線的坐標(biāo)方程一端是x2(或y2)，而另一端是2py(或2px)的形式． 2.在解析幾何中，要注意利用設(shè)而不求的方法，要充分利用題設(shè)條件，避免煩瑣運算，以提高運算速度及結(jié)果的準(zhǔn)確性．,[答案] C,[思維升華] 【方法與技巧】,1. 認真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px (p＞0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． 2．拋物線的焦點弦：設(shè)過拋物線y2＝2px (p＞0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：,,【失誤與防范】,1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時一般要用待定系數(shù)法求p值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．注意應(yīng)用拋物線的定義解決問題．,