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第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布,第2節(jié) 排列與組合,,1．理解排列、組合的概念． 2．理解排列數(shù)公式、組合數(shù)公式． 3．能利用公式解決一些簡單的實際問題．,[要點梳理] 排列與組合,,,,,,,質(zhì)疑探究：如何區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題？ 提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問題；若與順序無關(guān)，則是組合問題．,[基礎(chǔ)自測] 1．用數(shù)字1、2、3、4、5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為( ) A．8 B．24 C．48 D．120,2．已知5個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建一項，其中甲工程隊不能承建3號子項目，則不同的承建方案共有( ) A．4種 B．16種 C．64種 D．96種,[答案] D,3．某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( ) A．36種 B．42種 C．48種 D．54種,[答案] B,4．有5張卡片分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5. (1)從中任取4張，共有________種不同取法； (2)從中任取4張，排成一個四位數(shù)，共組成________個不同的四位數(shù).,5．某班3名同學去參加5項活動，每人只參加1項，同一項活動最多2人參加，則3人參加活動的方案共有________種(用數(shù)字作答).,[典例透析] 考向一 排列問題 例1 (2015·金華聯(lián)考)有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)． (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； (4)全體排成一排，女生必須站在一起； (5)全體排成一排，男生互不相鄰．,,思路點撥 本題是排隊問題，以人或以位置分析其特殊性、優(yōu)先考慮，選取合適的方法：捆綁法、插空法、間接法等．,拓展提高 求解排列應用問題的主要方法,活學活用1 六個人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間恰有兩人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人順序已定．,考向二 組合問題 例2 某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中 (1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？,思路點撥 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、“至多”．,拓展提高 組合問題常有以下兩類題型： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理． 提醒：區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵在于是否與順序有關(guān)．,活學活用2 從7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)． (1)A，B必須當選；(2)A，B不全當選．,考向三 分組分配問題 例3 按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；,(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 思路點撥 本題是分組分配問題，要注意區(qū)分平均、不平均分組或分配的區(qū)別與聯(lián)系．,拓展提高 均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型．解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮到是否與順序有關(guān)；有序分組要在有無序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù)． 活學活用3 4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)． (1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？ (2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？,思想方法19 特殊元素(位置)優(yōu)先安排法 典例 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為( ) A．360 B．288 C．216 D．96,,審題視角 分兩步計算．第一步：計算滿足3位女生中有且只有兩位相鄰的排法．將3位女生分成兩組，插空到排好的3位男生中． 第二步：在第一步的結(jié)果中排除甲站兩端的排法．,[答案] B,方法點睛 該題涉及兩個特殊條件：“甲不站兩端”與“3女生中有且只有兩位女生相鄰”，顯然對于“甲不站兩端”這類問題可利用間接法求解，將其轉(zhuǎn)化為“甲站兩端”的問題，要優(yōu)先安排甲，然后再安排其他元素；對于“三位女生中有且只有兩位女生相鄰”中的相鄰問題利用捆綁法，而不相鄰問題可以利用插空法求解． 跟蹤訓練 甲、乙、丙3個同學在課余時間負責一個計算機房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同學不值周一的班，則可以排出的不同值班表有( ) A．90種 B．89種 C．60種 D．59種,[答案] C,[思維升華] 【方法與技巧】,1．對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)．,2．排列、組合問題的求解方法與技巧： (1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價條件．,【失誤與防范】,1．解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏． 2．解組合應用題時，應注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義． 3．對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏．,