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2022-2023學(xué)年安徽省六安市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、單選題 1.已知,為虛數(shù)單位,則(????) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由可得,利用復(fù)數(shù)的乘法可化簡(jiǎn)得出復(fù)數(shù). 【詳解】因?yàn)?,則. 故選:C. 2.已知向量,若,則(???) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)的規(guī)則求出x,再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求解. 【詳解】 , ; 故選:A. 3.如圖,是的直觀圖,其中,,那么是一個(gè)(????) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無(wú)法確定 【答案】A 【分析】將直觀圖還原為投影圖,分析幾何圖形的形狀. 【詳解】 將直觀圖還原,則,,所以是正三角形.

2、故選:A. 4.在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊為,,,若,,,則角的大小為(????) A. B.或 C. D. 【答案】B 【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求角的大小. 【詳解】由,則,而,故或, 顯然,所得角均滿(mǎn)足. 故選:B 5.是體積為的棱柱,則三棱錐的體積是(????) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根據(jù)等體積法結(jié)合同底等高的棱錐和棱柱體積的關(guān)系進(jìn)行求解 【詳解】不妨設(shè)三棱柱的高為,則, 故. 故選:D 6.設(shè)m,n是不同的直線(xiàn),是不同的平面,則下列命題正確的是(????) A.,則 B.,則 C.,則 D.,則 【答案】D 【分析

3、】舉例說(shuō)明判斷ABC;利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)判斷D作答. 【詳解】對(duì)于A,在長(zhǎng)方體中,平面為平面,分別為直線(xiàn), 顯然滿(mǎn)足,而,此時(shí)不成立,A錯(cuò)誤; 對(duì)于B,在長(zhǎng)方體中,平面,平面分別為平面,為直線(xiàn), 顯然滿(mǎn)足,而,此時(shí)不成立,B錯(cuò)誤; 對(duì)于C,在長(zhǎng)方體中,平面,平面分別為平面,為直線(xiàn), 顯然滿(mǎn)足,而,此時(shí)不成立,C錯(cuò)誤; 對(duì)于D,因?yàn)?,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)知,,D正確. 故選:D 7.三棱錐A-BCD中,平面BCD,,,則該三棱錐的外接球表面積為(????) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由題可知,可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,求長(zhǎng)方體的外接球的表面積即可. 【詳解

4、】由平面BCD,,知三棱錐A-BCD可補(bǔ)形為以AD,DC,BD為三條棱的長(zhǎng)方體,如圖所示, 三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)是外接球的直徑,設(shè)外接球的半徑為R, 則,所以該三棱錐的外接球表面積為. 故選:C. 8.如圖,在直三棱柱中,是等邊三角形,,,,分別是棱,,的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是(????) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】在棱上取一點(diǎn),使得,取的中點(diǎn),連接 ,,,即可得到,則或其補(bǔ)角是異面直線(xiàn)與所成的角,求出,,,再利用余弦定理計(jì)算可得. 【詳解】解:如圖,在棱上取一點(diǎn),使得,取的中點(diǎn),連接 ,,, 由于分別是棱的中點(diǎn)

5、,所以,故四邊形為平行四邊形,進(jìn)而, 又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,所以,則或其補(bǔ)角是異面直線(xiàn)與所成的角. 設(shè),則, 從而, , 故, 故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是. 故選:C 二、多選題 9.對(duì)一個(gè)容量為的總體抽取容量為的樣本,當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí),總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為,三者關(guān)系不可能是(????) A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】根據(jù)抽樣的概念,每個(gè)個(gè)體被抽中的概率是均等的,即可求解. 【詳解】在抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為, 所以. 故選:ABC.

6、 10.設(shè)平面向量,則(????) A. B.可以成為一組基底 C.與的夾角為銳角 D.在上的投影向量為 【答案】BD 【分析】求出,即可判斷A;由共線(xiàn)向量的條件判斷是否共線(xiàn),即可判斷B;求得,則,即可判斷C;由投影向量的概念求解即可判斷D. 【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),,,,故A錯(cuò)誤; 對(duì)于B選項(xiàng),由于,所以不共線(xiàn),可以成為一組基底,故B正確; 對(duì)于C選項(xiàng),,所以,則,所以與的夾角為直角,故C錯(cuò)誤; 對(duì)于D選項(xiàng),向量在方向上的投影向量為,故D正確. 故選:BD. 11.如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器以BC為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn),則(?

7、???) A.有水的部分始終是棱柱 B.水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變 C.棱始終與水面平行 D.當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱上(均不含端點(diǎn))時(shí),不是定值 【答案】AC 【分析】利用棱柱的幾何特征判斷A;根據(jù)水面矩形變化情況判斷B;利用線(xiàn)面平行的判定判斷C;利用盛水的體積判斷D作答. 【詳解】對(duì)于A,有水部分的幾何體,有兩個(gè)面都垂直于BC,這兩個(gè)面始終平行,而, 并且BC始終與水面平行,即有,若點(diǎn)H在棱上,由面面平行的性質(zhì)知, ,若點(diǎn)H在棱CD上,,因此該幾何體有兩個(gè)面互相平行,其余各 面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行,即該幾何體是棱柱,A正確;

8、 對(duì)于B,因?yàn)樗鏋榫匦?,邊的長(zhǎng)不變,隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化,矩形的面積不是定值,B錯(cuò)誤; 對(duì)于C,因?yàn)槭冀K與平行,而始終與水面平行,并且不在水面所在平面內(nèi),即棱始終與水面平行,C正確; 對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上(均不含端點(diǎn))時(shí),有水部分的棱柱的底面為三角形, 而水的體積不變,高不變,則底面面積不變,即為定值,D錯(cuò)誤. 故選:AC 12.在長(zhǎng)方體中,若直線(xiàn)與平面所成角為45°,與平面所成角為30°,則(????). A. B.直線(xiàn)與所成角的余弦值為 C.直線(xiàn)與平面所成角為30° D.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為 【答案】BC 【分析】由題意,,設(shè),則,,即可判斷A;由可

9、知 或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成角,利用余弦定理求解可判斷B;由題可知直線(xiàn)與平面所成角為,又,,求出可判斷C;設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h,由利用等體積法求出,再利用線(xiàn)面角的定義求解可判斷D. 【詳解】對(duì)于A:如圖,設(shè),連接,∵平面,∴直線(xiàn)與平面所成角為,則, 連接,∵平面,∴直線(xiàn)與平面所成角為,則, 在中,,∴,故A錯(cuò)誤; 對(duì)于B:易知,∴或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成角, 易知,,,∴,故B正確; 對(duì)于C:連接,由平面,可知直線(xiàn)與平面所成角為, 又,,∴,故C正確; 對(duì)于D:易知,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h, 則,取的中點(diǎn)E,連接BE, 由勾股定理可得,∴,∴, 設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為,則,故D錯(cuò)

10、誤. 故選:BC. 三、填空題 13.化簡(jiǎn):______. 【答案】 【分析】由向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可. 【詳解】. 故答案為:. 14.目前,全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開(kāi)始了新高考改革.改革后,考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門(mén)選擇性科目成績(jī)組成.某校高一年級(jí)選擇“物理、化學(xué)、生物”,“物理、化學(xué)、地理”和“歷史、政治、地理”組合的學(xué)生人數(shù)分別是900,540,360.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從上述學(xué)生中選出100位學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則從選擇“物理、化學(xué)、生物”組合的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是______. 【答案】50 【分析】先求出抽取比例,再根據(jù)分層抽樣計(jì)

11、算選擇“物理、化學(xué)、生物”組合的學(xué)生人數(shù)即可. 【詳解】因?yàn)椋? 所以選擇“物理、化學(xué)、生物”組合的學(xué)生人數(shù)為. 故答案為:50 15.在中,,則___________. 【答案】 【分析】先利用正弦定理化角為邊求出邊,再利用余弦定理即可得解. 【詳解】因?yàn)?,所以? 所以, 由余弦定理. 故答案為:. 16.正方體的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn),若,則線(xiàn)段AP長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__________. 【答案】/ 【分析】根據(jù)平面確定平面,進(jìn)而在上,故當(dāng)時(shí),最小,計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度利用等面積法計(jì)算得到答案. 【詳解】與相交于,連接,,, ,,,故平面,, 故平面,

12、P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn),故在上, 當(dāng)時(shí),最小 中,,, 根據(jù)等面積法:. 故答案為: 四、解答題 17.正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,高為1,求: (1)求棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高; (2)求棱錐的表面積. 【答案】(1)側(cè)棱長(zhǎng)為3,斜高為 (2) 【分析】(1)設(shè)SO為正四棱錐S﹣ABCD的高,則SO=1,作OM⊥BC,則M為BC 中點(diǎn),連接OM,OB,則SO⊥OB,SO⊥OM,由此能求出棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高. (2)棱錐的表面積,由此能求出結(jié)果. 【詳解】(1)設(shè)SO為正四棱錐S﹣ABCD的高,則SO=1, 作OM⊥BC于M,則M為BC 中點(diǎn),

13、連接OM,OB,則SO⊥OB,SO⊥OM, BC=4,BM=2,則OM=2,OB=, 在Rt△SOB中,, 在Rt△SOM中,, ∴棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3,斜高為. (2)棱錐的表面積: . 18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,求: (1)的值; (2)和的面積. 【答案】(1) (2),三角形面積為 【分析】(1)應(yīng)用余弦定理列方程求值即可; (2)由同角三角函數(shù)平方關(guān)系求,應(yīng)用正弦定理求,三角形面積公式求的面積. 【詳解】(1)由余弦定理得:,解得. (2)由,則, 由正弦定理得,又,則, . 19.如圖,在三棱柱中,,平面平面. ?? (1)求

14、證:; (2)點(diǎn)E是線(xiàn)段BC中點(diǎn),在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)F,使得平面,并說(shuō)明理由. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)存在,理由見(jiàn)解析 【分析】(1)利用線(xiàn)面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理即可求解; (2)利用三角形的中位線(xiàn)定理及平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理,結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可求解. 【詳解】(1)因?yàn)?,平面平面,平面平面,平面? 所以平面. 又因?yàn)槠矫妫? 所以. (2)存在,且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),理由如下: 取的中點(diǎn)G,連接FG,GC.如圖所示 ?? 在中,因?yàn)镕,G分別是,的中點(diǎn), 所以,且. 在平行四邊形中,因?yàn)镋是BC的中點(diǎn), 所以,且, 所以,且 所

15、以平行四邊形FECG是平行四邊形, 所以. 又因?yàn)槠矫?,平面? 所以平面. 故存在,且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),使得平面. 20.在斜三棱柱中,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱,頂點(diǎn)在平面的射影為邊的中點(diǎn). ?? (1)求證:平面平面; (2)求點(diǎn)到平面的距離. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】(1)先證明線(xiàn)面垂直,再根據(jù)面面垂直判定定理證明面面垂直即可; (2)應(yīng)用等體積方法求解點(diǎn)到平面距離. 【詳解】(1)且為的中點(diǎn),, 又平面平面, 平面.故平面,又平面, 平面平面. (2)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是邊長(zhǎng)為2的正三角形,, 根據(jù)等體積公式可

16、得,解得- 21.已知分別為的內(nèi)角的對(duì)邊,且. (1)求角; (2)若的面積為,求的周長(zhǎng). 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)根據(jù),利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦函數(shù)得到,再利用輔助角公式求解. (2)由的面積為,結(jié)合,得到,再利用余弦定理求解. 【詳解】(1)解:因?yàn)椋? 所以由正弦定理得. 因?yàn)椋? 所以, 所以. 因?yàn)椋? 所以, 所以,即. 所以, 即 又, 所以. (2)因?yàn)榈拿娣e為,所以. 由,所以. 由余弦定理得, 又,所以. 解得. 故的周長(zhǎng)為. 22.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,P、Q分別為棱和中點(diǎn). (1)請(qǐng)?jiān)?/p>

17、圖中作出過(guò)A、P、Q三點(diǎn)的正方體的截面(保留作圖痕跡,畫(huà)出交線(xiàn),無(wú)需說(shuō)明理由),并求交線(xiàn)所圍成的多邊形周長(zhǎng); (2)求(1)中的截面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值. 【答案】(1)作圖見(jiàn)解析, (2) 【分析】(1)作出截面求周長(zhǎng)即可. (2)用幾何法找到二面角的平面角,在三角形中求解即可. 【詳解】(1)如圖,多邊形AMPQN即為所作截面. 因?yàn)镻、Q分別為棱和中點(diǎn),, 所以,即, 又,,所以,則, 在中,, 所以, 同理:,, 又在中,, 所以截面周長(zhǎng)為. (2)由正方體的性質(zhì)可知只需求截面與平面所成的銳二面角. 連接交PQ于E,連接AE, 因?yàn)樵谡襟w中,面,面, 所以, 又易知,,所以, 又面,所以平面, 因?yàn)槠矫妫裕? 又截面與平面的交線(xiàn)為,所以即為所求二面角的平面角, 易得,, 所以在中,, 所以, 即所求二面角的余弦值為.

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