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1、 1)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。2)學習有限單元法的原理，主要結合彈性力學問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理、等參單元等概念。3)初步學會使用商用有限元軟件分析簡單工程問題。4)了解有限元軟件的基本結構和有限單元法當前的進展情況。 l課程評估作業(yè)25%隨堂測驗25%專題分析與報告50%l課程進度安排第16周，課堂教學第710周，學習ANSYS與上機練習第1215周，課堂教學第16周，課程總結/交流 1.王勖成,邵敏編著. 有限單元法基本原理和數值方法 . 北京 : 清華大學出版社, 19972.朱伯芳著. 有限單元法原理與應用（第2版）.

2、北京: 中國水利水電出版社, 19983. Saeed Moaveni. Finite Element Method Theory and Application with ANSYS. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1999 4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 20005.郭和德編. 有限單元法概論，清華大學，1998 1 有限單元法簡介1.1有限單元法的形成1.2有限單元

3、法的基本思路1.3有限單元法的計算步驟1.4有限單元法的進展與應用 1.1有限單元法的形成l兩類典型的工程問題第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續(xù)梁、建筑結構框架和桁架結構。 平面桁架結構，由6個承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel塔，由18036個部件組成 大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優(yōu)化設計，由曾攀教授完成。 第二類問題，通常可以建立它們應遵循的基本方程，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。熱傳導問題的控制方程與換熱邊界條件如下：tTcQzTzyTyxTx TThnT f 300MW汽輪機低壓轉子淬

4、火 兩類問題的對比l第一類問題的研究對象稱為離散系統。離散系統是可解的，但是求解復雜的離散系統，要依靠計算機技術。l第二類問題的研究對象稱為連續(xù)系統。可以建立描述連續(xù)系統的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數問題的解析解。對于許多實際的工程問題，需要用近似算法求解。 有限單元法形成的背景在尋找近似解法的過程中，工程師和數學家從兩個不同的路線得到了相同的結果，即有限單元法（Finite Element Method)。有限單元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，它的形成直接得益于土木結構分析中的矩陣位移法和在飛機結構分析中所獲得的成果。 l 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程

5、雜志上發(fā)表了一組能量原理和結構分析論文。l 1956年，M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。l 1960年， R.W. Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（Finite Element）這一術語 從固體力學的角度來看，桁架結構與分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)體在結構上存在相似性。 有限單元法的數學基礎（1）l數學家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變

6、分原理和加權余量法。l在1963年前后，經過J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限單元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。 有限單元法的數學基礎（2）l 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限單元法的相同步驟求解。l 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權余量法特別是Galerkin法，導出標準的有限

7、元過程來求解非結構問題。 我國學者的貢獻陳伯屏（結構矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長（廣義變分原理）胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限單元法理論）20世紀60年代初期，馮康等人在大型水壩應力計算的基礎上，獨立于西方創(chuàng)造了有限元方法并最早奠定其理論基礎。-數學辭海第四卷 1.2 有限單元法的基本思路l將連續(xù)系統分割成有限個分區(qū)或單元l用標準方法對每個單元提出一個近似解l將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統近似的系統。 自重作用下等截面直桿的解受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，單位長度的重量為q，桿的內力為N。試求：桿的位移分布，桿的應變和應力。 )()(

8、 xLqxN EA dxxLqEAdxxNxdL )()()( x xLxEAqEAdxxNxu 0 2 )2()()( )( xLEAqdxdux )( xLAqE xx 自重作用下等截面直桿的材料力學解答 自重作用下等截面直桿的有限單元法解答1）離散化如圖所示，將直桿劃分成n個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。稱兩段之間的連接點為結點，稱每個有限段為單元。第i個單元的長度為L i，包含第i，i+1個結點。 2）用單元節(jié)點位移表示單元內部位移第i個單元中的位移用所包含的結點位移來表示。)()( 1 ii iii xxL uuuxu 第i結點的位移 iuix第i結點的坐標 i iii L

9、uudxdu 1第i個單元的應變i iiii L uuEE )( 1 i iiii L uuEAAN )( 1 應力內力 3）把外載荷集中到節(jié)點上把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結點上 4）建立結點的力平衡方程2 )( 11 iiii LLqNN對于第i+1結點，由力的平衡方程可得： 1 i ii LL令221 )11(2)1( iiiiiii LEAquuu )(2)()( 11 121 iii iii ii LLqL uuEAL uuEA 根據約束條件，01 u對于第n+1個結點，第n個單元的內力與第n+1個結點上的外載荷平衡，2nn qLN EAqLuu nnn 2 2

10、1 建立所有結點的力平衡方程，再加上約束條件可以得到由n+1個方程構成的方程組，可解出n+1個結點的位移。 1.3 有限單元法的計算步驟有限單元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：l網格劃分（離散化）l單元分析l整體分析 1.3.1網格劃分對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節(jié)點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。 1.3.1網格劃分通常把三維實體劃分成四面體（Tetrahedron）或六面體（Hexahedron）單元的網格四面體4結點單元六面體8結點單元 1.3.1網格劃分三維實體的四面體單元劃分三維實體的六面體單元劃分 1.3.1

11、網格劃分通常把平面問題劃分成三角形（triangular)或四邊形(quadrilateral)單元的網格三角形3節(jié)點單元 四邊形4節(jié)點單元 1.3.1網格劃分平面問題的三角形單元劃分平面問題的四邊形單元劃分 1.3.2單元分析彈性力學問題的單元分析，就是建立各個單元的節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關系式。由于將單元的節(jié)點位移作為基本變量，單元分析首先要為單元內部的位移確定一個近似表達式，然后計算單元的應變、應力，再建立單元中節(jié)點力與節(jié)點位移的關系式。 1.3.2單元分析單元有三個結點I、J、M，每個結點有兩個位移u、v和兩個結點力U、V。 1.3.2單元分析單元的所有結點位移、結點力，可以表示為結點

12、位移、結點力向量（vector） mmjjiie vuvuvu mmjjiie VUVUVUF單元的結點位移和結點力之間的關系用張量（tensor）來表示 eee KF 1.3.3整體分析對由各個單元組成的整體進行分析，建立節(jié)點外載荷與結點位移的關系，以解出結點位移，這個過程為整體分析。在邊界結點i上受到集中力作用。結點i是三個單元的結合點，因此要把這三個單元在同一結點上的結點力匯集在一起建立平衡方程。 1.3.3整體分析i結點的結點力： e eiiii UUUU )()3()2()1( e eiiii VVVV )()3()2()1(i結點的平衡方程： iye eie ixei PV PU

13、)( )( 1.4有限單元法的進展與應用1.4.1 主要研究領域與有限元軟件從二十世紀60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限單元法的應用領域，還開發(fā)了許多通用或專用的有限元分析軟件。 主要的研究領域有：計算方法：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動力問題計算方法。高精度單元多物理場耦合與復雜材料模型 目前使用較多的通用有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結構分析程序，最初由NASA研制，由MSC維護開發(fā)MSC/Dytran動力學分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結構分析軟件ADINA非線性分析軟件 ABAQUS非線性分析軟件 一些專

14、用的有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介Deform金屬體積成形分析Autoform金屬板料成形分析DYNAFORM金屬板料成形分析SysWeld焊接與熱處理分析 MSC中國http:/ ANSYS中國http：/ ADINAhttp:/ DEFORMhttp:/ AUTOFORMhttp:/ 1.4.2應用實例有限單元法已經成功地應用在以下一些領域：l固體力學包括強度、穩(wěn)定性、震動和瞬態(tài)問題的分析；l傳熱學l電磁場l流體力學 轉向機構支架的強度分析（劉道勇，東風汽車工程研究院動，用MSC/Nastran完成） 金屬體積成形過程的分析（用Deform軟件完成）型材擠壓成形模擬 T形鍛件的成形模擬 焊接殘余應力分析（用Sysweld完成）焊接過程的溫度分布與軸向殘余應力 結構與焊縫布置 復雜形狀工件的組織轉變預測（用NSHT3D完成）淬火3.06 min 時的溫度、組織分布