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1、 4.模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計 歸一化頻響函數(shù)低通歸一化拉式復(fù)變量低通歸一化頻率低通拉式復(fù)變量低通傳輸函數(shù)；低通AFjG AFjp AF AFjs AFsG )( )( 的歸一化頻響函數(shù)實際的歸一化拉式復(fù)變量實際 的歸一化頻率實際拉式復(fù)變量”頻響函數(shù)需要設(shè)計的“實際AFjH AFjq AFjs AFsH )( )( 如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉(zhuǎn)換：1( ) ( )H j G j 1 1) 低通到高通的頻率變換 和之間的關(guān)系為 4.模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計 模擬高通filter的設(shè)計方法高通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)H(q)Ha(s)

2、低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G(p)模擬高通濾波器指標(biāo)ALF的指標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系1 轉(zhuǎn)換關(guān)系( ) ( ) cp sH s G p qp 1 Csq (2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)：將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率 (1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率 ，阻帶上限頻率 ，通帶最大衰減 ，阻帶最小衰減 。 模擬高通濾波器的設(shè)計步驟：pss p 低通濾波器通帶截止頻率 ； 低通濾波器阻帶截止頻率 ；通帶最大衰減仍為 ，阻帶最小衰減仍為 。ss /1 pp /1 p s (5)求模擬高通的H(s)。 去歸一化，將 代入G(q)中qp 1( ) ( ) cp sH s G p (3)設(shè)計

3、歸一化低通濾波器G(p)。(4)設(shè)計歸一化高通濾波器G(q)。 Csq 高通技術(shù)要求： fp=200Hz, p=3dB; fs=100Hz, s=15dB低通技術(shù)要求：11, 23 , 15 p s sp sdB dB ,5.0,1 cfsfscfpfp 例6.2.3 設(shè)計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。 歸一化頻率 設(shè)計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，0.10.1 3 2 10 1 0.1810 12lg 2.47, 3lg 1( ) 2 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p

4、 p 求模擬高通H(s)： 33 2 2 3( ) ( ) 2 22 cp c c csc p sH s G p s s sf 1 1 2 220 / , / , /s s s sl l u ul u B BB B 模擬帶通filter的設(shè)計方法帶通濾波器的指標(biāo)要求luB 202 帶通濾波器頻率特性是正負(fù)對稱的，故這個變換必須是一對二的映射，它應(yīng)該是的二次函數(shù) p對應(yīng)us對應(yīng)s2 1202 luuup 2 2022 sss 指標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。 202 模擬帶通filter的設(shè)計方法模擬帶通濾波器指標(biāo)ALF的指標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系 202 低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G（p）高通歸一化的

5、系統(tǒng)函數(shù)H(q)qqp 202 Ha(s)q=s/B22 ( )( )( ) ( ) l uu ll uu l sp ssp sH s G p (1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率 ，帶通下限頻率下阻帶上限頻率 ,上阻帶下限頻率 1 21 220, ,s s ls s luu l uB B BB 通帶中心頻率 ，通帶寬度通帶最大衰減為 ，阻帶最小衰減為 ：與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下： 總結(jié)模擬帶通的設(shè)計步驟：u l sp 1s 2sul 20 luB (2) 確定歸一化低通技術(shù)要求： 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。2 2 2 22 0 1 02 11, ,

6、s sp s ss s (3) 設(shè)計歸一化低通G(p)。 (4) 直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。 3) 低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的頻率變換模擬帶通filter的設(shè)計方法 2 20 為低通到帶阻的頻率變換公式：通帶中心頻率 ，通帶寬度ul 20 luB p=j，并去歸一化 s/B，可得 上式是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。 2 2 20 ( )u lu lsB sp s s 2 20( ) ( ) sBp sH s G p 下面總結(jié)設(shè)計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率 ,上通帶截止頻率阻帶下限頻率 ，阻帶上限頻率 阻帶中心頻率

7、，阻帶寬度它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為以及通帶最大衰減 和阻帶最小衰減 。 ul sp 1s 2sul 20 luB 1 21 22 0, ,s s ls s luu l uB B BB (2) 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為 ，阻帶最小衰減為 。 (3) 設(shè)計歸一化模擬低通G(p)。 (4) 直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。1 22 2 2 21 0 2 01, ,s sp s ss s 2 20( ) ( ) sBp sH s G p sp 例6.2.5 設(shè)計模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s

8、, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB,s=25dB。試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2905, u=21105; s1=2980, s2=21020; 20=lu=421000025, B=u l=2200; l=l/B=4.525, u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9, s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低通的技術(shù)要求：22 2 1 01, 4.95, 4.953 , 25sp s ssp sdB dB (3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p): 0.10.1 2 10 1 0.056210

9、14.95lg 1.8, 2lg 1( ) 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p (4) 帶阻濾波器的H(s)為 2 20 4 2 2 40 04 2 2 2 2 2 40 0 02( ) ( ) 2 ( 2 ) 2sBp ss s sH s G p s B B s B s Ha(s)H(Z)ALF的指標(biāo)低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G(p)轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換關(guān)系6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計模擬濾波器指標(biāo)數(shù)字濾波器的指標(biāo)2 1tan2T 雙線性變換法 例6.5.1 設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44ra

10、d, 阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 (1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.8rad, p=3dB; s=0.44rad, s=15dB (2) 模擬高通的技術(shù)指標(biāo) 令T=1，則有12tan 6.155 / , 3 212tan 1.655 / , 32p p ps s srad s dBrad s dB (3)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：1 0.163 / , 36.1551 0.604 / , 151.655p ps srad s dBrad s dB 1, 3.71 sp s p 將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p (4)設(shè)計歸一化模擬低通濾波器G(p)。

11、模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：0.1 0.1lglg10 1 0.180310 13.711.31, 2psspspsp ssp p kNkN N 查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為2 22 21( ) 2 1( ) 2 cc cG p p pG s s s 去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5) 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： 2 22 21( ) ( ) 2 1ca c csH s G s s s (6)用雙線性變換法將模擬高通H (s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：1 1121( ) ( )a zs zH z H s 實

12、際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即111121 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0.106(1 ) 0.0653(1 )( ) 1.624 1.947 0.566 1 1.199 0.349zs zH z G s z zH z z z z z 例6.5.2設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為 通帶上截止頻率u=0.4rad 通帶下截止頻率l=0.3rad 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶

13、下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。 (2) 模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下： 設(shè)T=1，則有 2 21 10 12tan 1.453 /212tan 1.019 /212tan 2 /212tan 0.650 /2 1.217 /0.434 /u ul ls ss su lu l rad srad srad srad srad sB rad s (通帶中心頻率) (帶寬) 將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到 u=3.348, l=2.348; s2=4.608, s1=1.498; 0=2.804 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)： 歸一化阻

14、帶截止頻率 2 22 02 2.902ss s 歸一化通帶截止頻率p=1p=3dB,s=18dB (4) 設(shè)計模擬低通濾波器：0.10.110 1 0.12710 12.902lg0.127 1.940, 2lg2.902pssp ssp pkN N 查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p), 2 1( ) 2 1G p p p (5) 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：2 20( )( ) ( ) u la sp sH s G p 11121 zs z 將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得

15、112 2 1 2 2 1 20 021211 2 1 22 24(1 ) (1 )( ) 2(1 )( )5.48 4.5 7.481 6.313 5.18 806190.868(1 ) 1zsu l u lzs z zp s zz z z zz z 將上面的p等式代入G(p)中，得 2 41 2 3 40.021(1 2 )( ) 1 1.491 2.848 1.68 1.273z zH z z z z z MATLAB提供了四個函數(shù)lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs來完成這些頻帶變換。以lp2bs（低通到帶阻）為例，調(diào)用格式為：numT,denT = lp2bs(num

16、,den,O megaZ,B) 其中：num,den為低通原型的分子分母系數(shù)O megaZ,B 為帶阻的中心頻率z和阻帶寬度BnumT,denT為帶阻濾波器的分子分母系數(shù) 低通Ha(s)數(shù)字低通H(Z)ALF的指標(biāo)低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G(p)轉(zhuǎn)換關(guān)系數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的另一種設(shè)計模擬濾波器指標(biāo)數(shù)字濾波器的指標(biāo)2 1tan2T 雙線性變換法轉(zhuǎn)換關(guān)系 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為 )( 112 h hc sss根據(jù)雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為 11112 zzTs )(112 112 111 1211 h hc zz

17、T zzTs 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器由模擬低通原型到模擬帶阻的變換關(guān)系為 hhc sss 12 1)(根據(jù)雙線性變換，模擬帶阻與數(shù)字帶阻之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為 11112 zzTs hhc zzT zzTs 1211 111112 )(112 設(shè)已根據(jù)指標(biāo)要求，設(shè)計好了歸一化低通濾波器為三階巴特沃斯型，其傳遞函數(shù)為試設(shè)計下列模擬濾波器：(1）通帶為10Hz的低通濾波器；（2）通帶下邊頻為10Hz的高通濾波器；（3）中心頻率為10Hz，帶寬為2Hz的帶通濾波器；（4）中心頻率為10Hz，帶寬為2Hz的帶阻濾波器；又設(shè)采樣周期為0.01秒，求相應(yīng)的數(shù)字濾波器。直接調(diào)用函數(shù)，hc841