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2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高一自主招生考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、 2022年高一自主招生考試 數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(本大題共7小題,每小題6分,共42分,每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確,把正確的選項(xiàng)填在答題卡答題欄中) 1. 方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用絕對(duì)值的意義,分為或兩種情況,結(jié)合一元二次方程的解法求解即可. 【詳解】當(dāng)時(shí),方程可化為,解得:; 當(dāng)時(shí),方程可化為,解得:(不合題意舍去),, 方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根. 故選:C. 2. 依次將正整數(shù)1,2,3,…的平方數(shù)排成一串:149162536496481100121144…,排在第1個(gè)位置的數(shù)字是1,排在第5

2、個(gè)位置的數(shù)字是6,排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4,排在第898個(gè)位置的數(shù)字是( ) A. 1 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先分別找到占1個(gè),2個(gè),3個(gè),4個(gè),5個(gè)數(shù)位的平方數(shù)的個(gè)數(shù),從而得出第898個(gè)位置的數(shù)字是的個(gè)位數(shù)字,求解即可. 【詳解】到,結(jié)果都各占1個(gè)數(shù)位,共占1×3=3個(gè)數(shù)位; 到,結(jié)果都各占2個(gè)數(shù)位,共占2×6=12個(gè)數(shù)位; 到,結(jié)果都各占3個(gè)數(shù)位,共占3×22=66個(gè)數(shù)位; 到,結(jié)果都各占4個(gè)數(shù)位,共占4×68=272個(gè)數(shù)位; 到,結(jié)果都各占5個(gè)數(shù)位,共占5×109=545個(gè)數(shù)位; 此時(shí)3+12+66+272+545=898

3、,而, 所以,排在第898個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個(gè)位數(shù)字,即為4. 故選:B. 3. 設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為和,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依題意、為方程的兩根,即可得到,,,再代入計(jì)算可得. 【詳解】依題意、為方程的兩根, 所以,,, 所以,, 所以 . 故選:A 4. 若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M、N滿足條件①M(fèi)、N都在函數(shù)y的圖象上②M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)y的一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)與看作同一個(gè)”共生點(diǎn)對(duì)”),已知函數(shù),則函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”有( )個(gè) A. 0 B. 1 C. 2 D.

4、 3 【答案】C 【解析】 【分析】根據(jù)“共生點(diǎn)對(duì)”的概念知,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”個(gè)數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象分析即可. 【詳解】根據(jù)“共生點(diǎn)對(duì)”的概念知,作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示: 由圖可知它們的交點(diǎn)有兩個(gè),所以函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”有2對(duì). 故選:C. 5. 如圖,E,F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足,連接CF交BD于點(diǎn)G.連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是( ) A. B. C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】

5、根據(jù)條件可證明△ABE和△DCF全等,△ADG和△CDG全等,從而得到∠1=∠3,然后求出AHB=90°,取AB的中點(diǎn)O,可得OH=AB=2,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH的長(zhǎng)度最小. 【詳解】 在正方形ABCD中,,, 在和中,, ≌,, 在和中,, ≌,,, ,, , 取AB的中點(diǎn),連接OH,OD,則, 在Rt中,, 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,, 當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH的長(zhǎng)度最小,最小值為. 故選:A. 6. 如圖,一個(gè)邊長(zhǎng)分別是6,8,10的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的點(diǎn)A重合,另兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形的兩

6、邊BC,CD上,則正方形的面積是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可以證明△AEF是直角三角形,利用正方形的性質(zhì)可以證明△FEC∽△EAB,然后利用相似三角形的性質(zhì)可以得到CE∶BA=3∶4,設(shè)CE=3x,則EB=x,在△EAB中,根據(jù)勾股定理可求出,即可求出正方形的面積. 【詳解】∵△AEF的三邊為6,8,10,而, ∴△AEF為直角三角形,∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°, 而四邊形ABCD為正方形,∠B=90°,∴∠EAB+∠AEB=90°, ∴∠FEC=∠EAB,又∠B=∠C=90°,∴△

7、FEC∽△EAB, ∴CE∶BA=EF∶AE=3∶4. 設(shè)CE=3x,則BA=4x,∴EB=x, ∵三角形EBA為直角三角形, ∴,∴,∴, ∴正方形的面積. 故選:D. 7. 如圖,O是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn),OE⊥OD,∠OED=45°,E在AB上,結(jié)論:①∠;②;③;④若,則,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由題意△DOE是等腰直角三角形,根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,可判斷①;根據(jù)∠AOD=∠AEF,∠EAF=∠OAD=45°,證明△AOD∽△AEF,可判斷②;根據(jù)∠AE

8、O=∠EFO,∠AOE=∠EOF,證明△AEO∽△EFO,可判斷③;利用勾股定理得出DE的長(zhǎng),再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可判斷④. 【詳解】∵OE⊥OD,∴∠DOE=90°,∵∠OED=45°, ∴△DOE是等腰直角三角形,OD=OE,∠ODE=45°. ∵∠EAD=90°,∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED=90°-∠ADE, ∵∠AOD+∠DAO+∠ADO=180°,∴∠AOD+45°+45°+∠ADE=180°, ∴∠AOD=90°-∠ADE, 所以∠AOD=∠AED,故①正確; ∵∠AOD=∠AEF,∠EAF=∠OAD=45°, ∴△AOD∽△AEF,∴AD∶OD

9、=AF∶EF,故②正確; ∵∠AEO=∠AED+∠DEO=∠AED+45°,∠EFO=∠AOD+∠EDO=∠AOD+45°, 又∠AOD=∠AED,∴∠AEO=∠EFO, 又∠AOE=∠EOF,∴△AEO∽△EFO, ∴,即,故③正確; ∵AB=AD=6,BE=4,∴AE=2,∴, ∵△DOE是等腰直角三角形,∴OE=OD=,故④正確. 故正確結(jié)論個(gè)數(shù)為4. 故選:D. 二、填空題(本大題共7小題,每小題7分,共49分) 8. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)立方差公式與根式的性質(zhì)可求出結(jié)果. 【詳解】 . 故答案為:

10、 9. 若有四個(gè)不同的正整數(shù)a,b,c,d,滿足,則___________. 【答案】8087或8089 【解析】 【分析】根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù),可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是:1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,據(jù)此可得出結(jié)論. 【詳解】∵a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù), ∴四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是:1,-1,-2,3或1,-1,2,-3. 四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是:1,-1,-2,3時(shí), 不妨令 ∴, ∴; 四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是:1,-1,2,-3時(shí), 不妨令, ∴, ∴. 故答案為:8087或8089. 10 已知實(shí)數(shù)且滿足,則______. 【答

11、案】 【解析】 【分析】由題意可得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由利用韋達(dá)定理可得答案. 【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)且滿足, 所以是方程即的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 可得,,所以, , 所以, 故答案為:. 11. 如圖,,,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在BA上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),其速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為___________秒時(shí),△MNA為等腰三角形. 【答案】或或. 【解析】 【分析】根據(jù)題意,分、和,三種情況分類討論,結(jié)合三角形全等和相似,列出關(guān)系式,即可求解. 【詳解】解:由題可知, 如圖(1)所示,當(dāng)時(shí),,

12、解得; 如圖(2)所示,當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作于點(diǎn), 則, 因?yàn)?,所以,所以? 所以,即,解得; 如圖(3)所示,當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作于點(diǎn), 則, 因?yàn)椋?,所以? 即,解得. 綜上可得,當(dāng)?shù)闹禐榛蛎朊牖蛎霑r(shí),能成為等腰三角形. 故答案為:或或. 12. 如圖,點(diǎn)P為函數(shù)的圖象上一點(diǎn),且到兩坐標(biāo)軸距離相等,半徑為,,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),則的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】設(shè),求得,連接交于點(diǎn),連接,取的中點(diǎn), 連接,此時(shí)最小,結(jié)合,即可求解. 【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為函數(shù)的圖象上一點(diǎn),且到兩坐標(biāo)軸距離相等, 所以可設(shè)

13、,則,解得或(舍去),即點(diǎn), 即圓的方程為, 如圖所示,連接交于點(diǎn),連接,取的中點(diǎn), 連接,此時(shí)最小, 因?yàn)?,點(diǎn)是的中點(diǎn), 所以,所以, 當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí),最小, 又因?yàn)榈陌霃綖椋缘淖钚≈禐? 故答案為:. 13. 如圖,在△ABC中,,以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)D,連接AD,點(diǎn)P是AD上一點(diǎn),過點(diǎn)C作,延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F,若則___________. 【答案】6 【解析】 【分析】作出輔助線,利用全等和相似關(guān)系得到方程,求出答案. 【詳解】因AB為直徑,所以, 因?yàn)椋裕? 延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn), 則, 因?yàn)?,所以? 故≌

14、,所以, 因?yàn)?,設(shè), 則由∽可得,, 由∽可得,, 又,故,解得,故. 故答案為:6 14. 設(shè)自然數(shù),且,則________. 【答案】16 【解析】 【分析】依題意可得,即可得到,從而得解. 【詳解】因?yàn)椋矗? 即,所以, 即,所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解, 所以, 其中,解得, 所以, 又,因?yàn)?、為自然?shù)且, 所以,解得,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意, 所以. 故答案為: 三、解答題(本大題共4小題,共59分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明,演算或推演步驟) 15. (1)解方程; (2)對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù)x0,使成立,則稱x0為的固定點(diǎn). ①當(dāng)時(shí),求的固定點(diǎn);

15、 ②若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)恒有兩個(gè)不相同的固定點(diǎn),求a的取值范圍. 【答案】(1);(2)①-1和3;②. 【解析】 【分析】(1)設(shè),則原方程變?yōu)?,化?jiǎn)整理得,求得的值,進(jìn)而得原方程的解; (2)①把的值代入方程,解方程即可得的不動(dòng)點(diǎn); ②根據(jù)方程有兩解可得對(duì)b為任意實(shí)數(shù)恒成立,將其看成關(guān)于的二次函數(shù),根據(jù)即可得結(jié)果. 【詳解】(1)設(shè),則原方程變?yōu)椋? ∴,得, 化簡(jiǎn)整理得,即, ∵ ∴ ∴, 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),, ∴原方程的解是. (2)①當(dāng)時(shí),, 由,得,即,解得:或3, 故-1和3是的固定點(diǎn); ②由題意,對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,方程即總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解

16、, ∴, ∴對(duì)b為任意實(shí)數(shù)恒成立. 則, ∴,∴. 16. 某校開展研學(xué)旅行活動(dòng),決定租幾輛客車,要求每輛車乘坐相同的人數(shù),每輛車至多乘坐32人.如果租22座的客車,就有一人沒座位,如果租截客量大于22的客車可以比原來(lái)少租一輛,而且所有師生剛好平均分乘這些客車上,問原來(lái)租幾輛客車,師生共有多少人? 【答案】原來(lái)租24輛客車,師生共有529人. 【解析】 【分析】設(shè)原來(lái)租輛客車,實(shí)際租用的客車每輛車坐人,由題意得,且,從而得到,即可得到或,求出的值,即可得解. 【詳解】設(shè)原來(lái)租輛客車,實(shí)際租用的客車每輛車坐人, 由題意得:,且, 所以, 因?yàn)槭钦麛?shù),所以必須是正整數(shù),于

17、是或, 當(dāng),即時(shí),32,不合題意,舍去. 當(dāng),即時(shí),,符合題意,此時(shí), 所以原來(lái)租輛客車,師生共有人. 17. 如圖,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC時(shí),將△ABE沿AE折疊至△AFE,點(diǎn)F恰好落在DE上. (1)求證: (2)如圖,延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H. ①求證:; ②求的值. 【答案】(1)證明見解析 (2)①證明見解析;②. 【解析】 【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得AF=DC,從而可證△AFD≌△DCE,得出結(jié)論; (2)①利用等腰三角形兩個(gè)底角相等,通過計(jì)算角度,可證明△AHG∽△CFE,由相似三角形的性質(zhì)得,從而

18、解決問題; ②利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出EM,可得BM,CM的長(zhǎng),再利用△AHG∽△CFE,由相似三角形的性質(zhì)得,求出GH即可得解. 【小問1詳解】 ∵四邊形ABCD矩形, ∴, ∵ED平分∠ADC,∴,∴. ∵將△ABE沿AE折疊至△AFE,∴△ABE≌△AFE, ∴,∴, 在△AFD與△DCE中,,∴△AFD≌△DCE, ∴. 【小問2詳解】 ①∵△AFD≌△DCE,∴, ∴,∴∠. ∵,∴,, ∴, ∵, ∴, ∴△AHG∽△CFE,∴, ∵, ∴. ②過點(diǎn)F作于M,如圖, 設(shè),∴, ∴, ∵,∴, ∴, ∴, ∴, ∵,

19、∴,∴, ∴a,∴, 在Rt△BCH中,, ∴, ∵△AHG∽△CFE,∴, ∴, ∵,∴. 18. 已知如圖在Rt△OAB中,.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處. (1)求點(diǎn)C的坐標(biāo); (2)若拋物線經(jīng)過C、A兩點(diǎn),求此拋物線的解析式; (3)若拋物線對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn),過P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M.問:是否存在點(diǎn)P,使得?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案】(1) (2) (3)

20、存在,P點(diǎn)的坐為 【解析】 【分析】(1)先求出OA的長(zhǎng)度,根據(jù)折疊的性質(zhì)求出OC,直接求解坐標(biāo)即可; (2)將點(diǎn)A和C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,聯(lián)立方程組求解即可; (3)先表示點(diǎn)P的坐標(biāo),從而表示點(diǎn)M坐標(biāo),利用建立方程求解,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo). 【小問1詳解】 如圖: 過點(diǎn)C作軸,垂足為H,因?yàn)樵赗t△OAB中,,, 所以,由折疊知,,所以, 則,,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為; 【小問2詳解】 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過、兩點(diǎn), 所以,解得, 所以此拋物線的解析式為; 【小問3詳解】 存在.因?yàn)閤頂點(diǎn)坐標(biāo)為,即為點(diǎn)C, 由題意軸,設(shè)垂足為N,,因?yàn)?,所以? 所以,如圖: 作,垂足為Q,,垂足為E, 把代入得:, 所以, 同理:,要使,只需, 即,解得:(舍去), 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為, 所以存在滿足條件的點(diǎn)P,使,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

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