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1、第 二 章 質(zhì) 點 動 力 學 (2) 2.2 動 量 角 動 量一 、 動 量 定 理 (動 量 的 變 化 與 作 用 量 的 關(guān) 系 ）由 牛 頓 第 二 定 律 ： tpF dd =tFd 表 示 力 的 時 間 累 積 ， 叫 時 間 d t 內(nèi) 合 外 力 的 沖 量 。FtFI dd 1） 微 分 形 式 ：2） 積 分 形 式 ： 21 dtt tFI 若 為 恒 力 ： tFI ptF dd =1、 沖 量 (impulse)力 對 時 間 的 積 累 產(chǎn) 生 的 效 果 是 什 么 呢 ？沖 量 是 力 對 時 間 的 積 累 。 2、 動 量 定 理 PtF dd 動 量

2、 定 理 的 微 分 式1） 微 分 形 式 ： 由 得 ：tPF dd 在 一 個 過 程 中 ， 質(zhì) 點 所 受 合 外 力 的 沖 量 等 于 質(zhì) 點 動 量 的 增 量 。2） 積 分 形 式 ： 2121 dd pptt PtF 對 上 式 積 分 ， PtFtt 21 d 動 量 定 理 的 積 分 式即 ： 1、 反 映 了 過 程 量 與 狀 態(tài) 量 的 關(guān) 系 。同 向 。與、 pI 23、 只 適 用 于 慣 性 系 。 動 量 比 速 度 更 能 恰 當 地反 映 物 體 的 運 動 狀 態(tài)說 明 從 動 量 定 理 可 以 知 道 ， 在 相 等 的 沖 量 作 用 下

3、 ， 不 同 質(zhì)量 的 物 體 ， 其 速 度 變 化 是 不 相 同 的 ， 但 它 們 的 動 量 的 變 化卻 是 一 樣 的 ， 所 以 從 過 程 角 度 來 看 ， 動 量 比 速 度 能 更 恰 當?shù)?反 映 了 物 體 的 運 動 狀 態(tài) 。 因 此 ， 一 般 描 述 物 體 作 機 械 運動 時 的 狀 態(tài) 參 量 ， 用 動 量 比 用 速 度 更 確 切 些 。 動 量 和 位 矢是 描 述 物 體 機 械 狀 態(tài) 的 狀 態(tài) 參 量 。 3、 動 量 定 理 分 量 形 式 xxtt xx PPtFI 1221 d yytt yy PPtFI 122 1 d zztt

4、 zz PPtFI 1221 d 即 系 統(tǒng) 所 受 合 外 力 的 沖 量 在 某 一 方 向 上 的 分 量 等 于 系 統(tǒng)動 量 在 該 方 向 上 分 量 的 增 量 。在 直 角 坐 標 系 中 ， 動 量 定 理 的 分 量 式 為 在 低 速 運 動 情 況 下 ， 質(zhì) 點 的 質(zhì) 量 是 恒 量 ， 動 量 定 理 可 寫 為)d(dd)(d 12 vvmtFI t 1221 )d( vmvmttFI t t 1) 沖 力 : 碰 撞 過 程 中 物 體 間 相 互 作 用 時 間 極 短 ， 相 互 作 用 力 很 大 ， 而 且 往 往 隨 時 間 變 化 ， 這 種 力

5、通 常 稱 為 沖 力 。tPtPPtt tFF t t 121221 d若 沖 力 很 大 , 其 它 外 力 可 忽 略 時 , 則 ：若 其 它 外 力 不 可 忽 略 時 , 則 是 合 外 力 的 平 均 。F O FF 1t 2t2) 平 均 沖 力 : 沖 力 對 碰 撞 時 間 的 平 均 值 。即 ： tPF 4、 動 量 定 理 的 應 用 例 題 1 人 在 跳 躍 時 都 本 能 地 彎 曲 關(guān) 節(jié) ， 以 減 輕 與 地 面 的 撞擊 力 。 若 有 人 雙 腿 繃 直 地 從 高 處 跳 向 地 面 ， 將 會 發(fā) 生 什 么 情 況 ？ 解 設 人 的 質(zhì) 量 為

6、 M， 從 高 h 處 跳 向 地 面 ， 落 地 的 速 率 為 v0 ，與 地 面 碰 撞 的 時 間 為 t ， 重 心 下 移 了 s 。由 動 量 定 理 得 ： tMvtPPtt tFF tt 012122 1 d 設 人 落 地 后 作 勻 減 速 運 動 到 靜 止 ， 則 ： 02vst sMvF 2 20ghv 220 shMgF 設 人 從 2m 處 跳 下 ， 重 心 下 移 1cm， 則 ：MgshMgF 200 可 能 發(fā) 生 骨 折 。討 論 例 題 2 質(zhì) 量 為 m=0.2kg的 皮 球 ， 向 地 板 落 下 ， 以 8m/s的 速 率與 地 板 相 碰 ，

7、 并 以 近 似 相 同 的 速 率 彈 回 ， 接 觸 時 間 為 10-3s。求 1)地 板 對 球 的 平 均 沖 力 2)沖 力 的 沖 量 和 重 力 的 沖 量 。 解 1)取 地 板 為 參 考 系 ， 向 上 為 正 ， 由 得 ：12d21 PPtFtt kgm/s232)(d 112122 1 .mvmvmvPPtFtt N32001023d 321 .ttFF tt 21 dtt tF 中 的 F 實 為 合 外 力 ， 除 沖 力 外還 有 重 力 。即 mgFFFF 沖重沖 N320023200 mgFF 沖 kgm/s2321 3100 .tdFtdFtt 沖沖2)

8、沖 力 的 沖 量 ：重 力 的 沖 量 ： kgm/s1021020 43 .tmg 外 力 的 沖 量可 忽 略o mv 定 義 : r質(zhì) 量 為 m的 質(zhì) 點 以 速 度 在 空 間 運 動 ， 某 時 刻 對 O 點的 位 矢 為 ， 則 它 對 O 點 的 角 動 量 ( 動 量 矩 ) 為vvmrPrL SI 中 ： kgm 2 / s m sinp cosp PL sinr rOx yz大 小 sinrPL 1、 矢 量 性 sinmrv的 方 向 ： 用 右 手 螺 旋 法 則 確 定 。L2、 相 對 性(1)參 考 系 不 同 ， 矢 徑 不 同 ， 動 量 不 同 ， 角

9、 動 量 也 不 同 。(2)原 點 O選 取 的 不 同 ， 則 位 置 矢 量 不 同 ， 角 動 量 也 不 同 。 質(zhì) 點 對 參 考 點 的 角 動 量二 、 角 動 量 （ 動 量 矩 ） （ angular momentum） yzx zPyPL zxy xPzPL zyx PPP zyx kjiPrL xyz yPxPL 3、 的 直 角 坐 標 系 中 的 分 量 式L三 、 幾 個 特 例1、 做 圓 周 運 動 質(zhì) 點 m 對 圓 心 O 的 角 動 量vmrL 2rmmvrL 大 小 ： r vO mzL方 向 ： 與 同 向 ， 垂 直 于 轉(zhuǎn) 動 平 面 ， 與 質(zhì)

10、 點 轉(zhuǎn) 動 繞 向 成 右 手 螺 旋 關(guān) 系L L做 勻 速 圓 周 運 動 的 質(zhì) 點 對 圓 心 的 角 動 量 是 恒 量 。 質(zhì) 量 為 m 的 質(zhì) 點 作 直 線 運 動 。 vmrprL 大 小 ： sinmvrL 方 向 ： 由 右 手 螺 旋 定 則 確 定 。t時 刻 質(zhì) 點 對 O點 的 角 動 量 為 ： vmrprL 大 小 ： 2sinrvmL 方 向 ： 與 同 向 。L1） 若 物 體 作 勻 速 直 線 運 動 ， 對 同 一 參 考 點 O， 則 。CL 3） 若 O 取 在 直 線 上 ， 則 ： 。0L t 時 刻 質(zhì) 點 對 O點 的 角 動 量 為

11、 ： sinrvm 2） 對 不 同 的 參 考 點 ， 質(zhì) 點 有 不 同 的 恒 定 角 動 量 說 明2、 做 直 線 運 動 質(zhì) 點 的 角 動 量 sinr m pr 2omprrosinr 作 勻 速 圓 周 運 動 質(zhì) 點 的 角 動 量取 圓 心 為 參 考 點 vmrprL 大 小 ： sinmvrL 方 向 ： 圖 中 情 況 向 上 。如 果 選 中 心 軸 線 上 任 意 一 點 O為 參 考 點 rezmvkrmvvmRL 其 中 大 小 一 定 ， 方 向 不 變大 小 一 定 ， 方 向 變 化krmvLz rr ezmvL 可 以 作 為 狀 態(tài) 量krmvLz

12、 3、 參 考 點 的 選 取 和 狀 態(tài) 量 的 確 定 如 果 選 中 心 軸 線 外 任 意 一 點 o 為 參 考 點 vmRRvmRL )( vmRvmR 比 多 出 一 項vmR vmR ： 當 不 變 時 ， 由 于 之 間 的 夾 角 隨 時 間 變化 ， 所 以 的 大 小 也 隨 時 間 變 化 ， 在 質(zhì) 點 運 動 一 周 的 時間 內(nèi) 的 方 向 沿 轉(zhuǎn) 軸 方 向 的 指 向 ， 翻 轉(zhuǎn) 一 次 ， 方 向 也不 確 定 vmR vmR 和vmR vmR 所 以 不 能 作 為 狀 態(tài) 量vmRRvmRL )(但 是 它 的 一 個 分 量 可 以 作 為 狀 態(tài)

13、量krmvLz 選 取 參 考 點 的 原 則 是 ： 要 使 定 義 的 角 動 量 有 用 ， 參 考 點的 選 取 就 必 須 有 一 定 限 制 例 如 ， 質(zhì) 點 作 圓 周 運 動 時 ， 參 考點 不 能 選 在 中 心 軸 線 以 外 ， 只 能 選 軸 線 上 的 任 意 一 點 角 動量 可 以 ， 而 且 只 能 定 義 成 ： 質(zhì) 點 對 轉(zhuǎn) 軸 上 任 意 一 點 的 角 動 量沿 轉(zhuǎn) 軸 方 向 的 分 量 ， 稱 為 質(zhì) 點 的 角 動 量 這 樣 定 義 的 角 動 量與 參 考 點 在 轉(zhuǎn) 軸 上 的 位 置 無 關(guān) ， 常 選 擇 圓 心 處 。 對 于 作

14、 直 線運 動 的 質(zhì) 點 ， 參 考 點 不 能 選 在 軌 跡 上 狀 態(tài) 量 的 必 要 條 件 是 ： 當 質(zhì) 點 的 運 動 狀 態(tài) 確 定 時 ， 狀 態(tài) 量有 唯 一 確 定 的 值 ， 當 運 動 狀 態(tài) 不 變 時 ， 狀 態(tài) 量 有 唯 一 確 定 的 不變 值 ； 對 于 不 同 的 運 動 狀 態(tài) ， 狀 態(tài) 量 有 不 同 的 值 ， 并 且 ， 運 動狀 態(tài) 變 化 時 狀 態(tài) 量 的 變 化 遵 守 確 定 的 規(guī) 律 通 過 上 述 分 析 可 以 得 到 )Pr(ttL dddd rptr dd tPdd rpv FFrtL dd定 義 ： 作 用 于 質(zhì) 點

15、 上 的 合 外 力 對 參 考 點 的 力 矩FrM 四 、 角 動 量 變 化 遵 守 的 規(guī) 律prL 將 角 動 量 對 時 間 求 導 ， 可 得 ：對 動 量 ， 有 ： Ftp dd 對 角 動 量 ？ 定 義 了 角 動 量 ， 需 要 找 出 當 運 動 狀 態(tài) 變 化 時 ， 角 動 量 的變 化 遵 守 的 規(guī) 律 。 即 要 找 到 ?tL dd0 pv zyx FFF zyx kjiFr 2、 在 直 角 坐 標 系 中 yzx zFyFM zxy xFzFM xyz yFxFM 3、 相 對 性 ： 依 賴 于 參 考 點 O 的 選 擇 。 FrM 單 位 ： 牛

16、 米 （ Nm）FdFrM sin1、 大 小 ： d 為 力 臂 。方 向 ： 由 右 手 螺 旋 定 則 確 定 。 ni FrFrFrM 214、 作 用 于 質(zhì) 點 的 合 外 力 矩 等 于 合 外 力 的 力 矩 。五 、 質(zhì) 點 的 角 動 量 定 理 tLFrM dd MFrFFFr n 合)( 21 質(zhì) 點 的 角 動 量 定 理質(zhì) 點 所 受 的 合 外 力 矩 等 于 它 的 角 動 量 的 時 間 變 化 率 。 力 矩 滿 足 疊 加 原 理 ： 作 用 于 一 個 質(zhì) 點 上 的 各 個 力 的 力矩 的 矢 量 和 （ 合 力 矩 ） 等 于 各 個 力 的 合

17、力 的 力 矩 。 和 是 對 同 一 慣 性 系 中 同 一 參 考 點 而 言 的M L說 明 1、 微 分 形 式 LtM dd 2、 積 分 形 式 2 121 dd ttLL tML 21 dtt tML 角 動 量 定 理 質(zhì) 點 角 動 量 的 增 量 等 于 質(zhì) 點 受 到 的 角 沖 量 。或 沖 量 矩積 累 稱 為 力 矩 的 角 沖 量于 質(zhì) 點 上 的 力 矩 的 時 間 內(nèi) 作 用表 示 在的 增 量 ，內(nèi)表 示 在 211212 2 1 M ttdtL-ttL-L=L tt 力 矩 對 時 間 的 積 累 產(chǎn) 生 的 效 應 是 角 動 量 的 變 化 。 例 題

18、 1 質(zhì) 量 為 m、 線 長 為 l 的 單 擺 ， 可 繞 點 O 在 豎 直 平 面 內(nèi)擺 動 ， 初 始 時 刻 擺 線 被 拉 成 水 平 ， 然 后 自 由 放 下 。 求 : 擺 線 與水 平 線 成 角 時 ， 擺 球 所 受 到 的 力 矩 及 擺 球 對 點 O 的 角 動 量 ； 擺 球 到 達 點 B 時 ， 角 速 度 的 大 小 。解 任 意 位 置 時 受 力 為 ： 重 力 ； 張 力 。由 角 動 量 定 理 ： cosdd mglMtL tLtL dddddd 瞬 時 角 動 量 ：gm重 力 對 O 點 的 力 矩 為 ： cosmglM 方 向 ： 垂

19、直 于 紙 面 向 里 。張 力 對 O 點 的 力 矩 為 零 。 ddL 2mlLLdd 2lmmvlL o l mB AT r sin2 32glmL 。點 時 ， 當 小 球 到 達 2/B cosdddd 2 mglmlLLtL lgmlL 2 2 glmlglmL 2sin2 32 o lB Adcosd 32glmLL dcosd 3200 glmLLL 五 、 質(zhì) 點 的 角 動 量 守 恒 定 律若 質(zhì) 點 所 受 的 合 力 矩 。，則 CLtL,M 0dd0 若 對 某 一 參 考 點 ， 質(zhì) 點 所 受 外 力 矩 的 矢 量 和 恒 為 零 ， 則此 質(zhì) 點 對 該

20、參 考 點 的 角 動 量 保 持 不 變 。 質(zhì) 點 的 角 動 量 守 恒 定 律例 如 ， 地 球 衛(wèi) 星 繞 地 球 轉(zhuǎn) 動 時 ， 相 對 地 球 的 角 動 量 守 恒 。1、 孤 立 體 ， 。 外外 00 ii M,f2、 有 心 力 ， 與 位 矢 在 同 一 直 線 上 ， 從 而 。外f r 0 外fr3、 當 作 用 在 質(zhì) 點 上 的 合 外 力 矩 對 某 一 方 向 的 分 量 為 零 時 ，則 質(zhì) 點 的 角 動 量 沿 此 方 向 的 分 量 守 恒 。0 M 并 不 等 于 ： 0 F注 意 ： 00 MF/r 時 ， 亦 有或 r,討 論 rr |rr|S

21、 21|rr|S 21 解 如 圖 ， 行 星 在 太 陽 引 力 作用 下 沿 橢 圓 軌 道 運 動 ， t時 間 內(nèi) 行星 徑 矢 掃 過 的 面 積 常 量常 量 ， tSL dd由 于 行 星 只 受 有 心 力 作 用 ， 其 角 動 量 守 恒sinrrS 21 例 題 2 利 用 角 動 量 守 恒 定 律 證 明 開 普 勒 第 二 定 律 ： 行 星相 對 太 陽 的 徑 矢 在 單 位 時 間 內(nèi) 掃 過 的 面 積 (面 積 速 度 )是 常 量 。|trr|t |rr|tSt dd2121limlimddS 0t0t 面 積 速 度 : mL|vmr|m|vr| 22

22、121 例 題 3 用 繩 系 一 小 球 使 它 在 光 滑 的 水 平 面 上 做 勻 速 率 圓 周運 動 ， 其 半 徑 為 r0 ， 角 速 度 為 。 現(xiàn) 通 過 圓 心 處 的 小 孔 緩 慢 地往 下 拉 繩 使 半 徑 逐 漸 減 小 。 求 當 半 徑 縮 為 r 時 小 球 的 角 速 度 。0解 選 取 平 面 上 繩 穿 過 的 小 孔 O為 原 點 。 0 = FrM所 以 小 球 對 O 點 的 角 動 量 守 恒 。 00rmvmvr 000 rvrv 0202 mrmr 0220 rr因 為 繩 對 小 球 的 的 拉 力 沿 繩 指 向 小 孔 ，則 力 對

23、 O 點 的 力 矩 ： 例 題 4 我 國 在 1971年 發(fā) 射 的 科 學 實 驗 衛(wèi) 星 在 以 地 心 為 焦點 的 橢 圓 軌 道 上 運 行 已 知 衛(wèi) 星 近 地 點 的 高 度 h1=226km， 遠 地點 的 高 度 h2=1823km， 衛(wèi) 星 經(jīng) 過 近 地 點 時 的 速 率 v1=8.13km/s，試 求 衛(wèi) 星 通 過 遠 地 點 時 的 速 率 和 衛(wèi) 星 運 行 周 期（ 地 球 半 徑 R=6.37 103km） 解 衛(wèi) 星 軌 道 如 圖 所 示 由于 衛(wèi) 星 所 受 地 球 引 力 為 有 心 力 ， 所以 衛(wèi) 星 對 地 球 中 心 的 角 動 量 守

24、 恒 (km) 10646 311 .hRr在 遠 地 點 時 ， 位 矢 的 大 小 為 若 坐 標 原 點 取 在 地 心 ， 則 衛(wèi)星 在 軌 道 的 近 地 點 時 ， 位 矢 的 大小 為 (km) 10208 322 .hRr 設 衛(wèi) 星 在 遠 地 點 時 的 速 率 為 v1,且 近 地 點 和 遠 地 點 處 的速 度 與 該 處 的 徑 矢 垂 直 ， 故 由 角 動 量 守 恒 定 律 可 得2211 mvrmvr =故 有 (km/s) 58613810208 10646 331212 .vrrv 設 橢 圓 軌 道 的 面 積 為 S， 衛(wèi) 星 的 面 積 速 度 為 dS/dt， 則 衛(wèi)星 的 運 動 周 期 1111 22dd vr ab/vr abt/SST a、 b分 別 為 橢 圓 軌 道 的 長 半 軸 和 短 半 軸 ， 分 別 為2121221 )(2 rra-r-a; brra 可 得 (s) 10376 3121 21 .rrv )rr(T vmrprL vmP FrM F LtM dd PtF dd LtMt t 21 dPtFtt 21 d CLM 則,0CPF 則,0 動 量 角 動 量作 業(yè) ： 9、 10 、 20 、 21 、 25