《高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性課件 理.ppt（22頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性,1.函數的奇偶性,2.函數的周期性 (1)周期函數:若f(x)對于定義域中任意x均有 f(x+T)=f(x) (T為不等于0的常數),則f(x)為周期函數,T是這個函數的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中,存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期.,,,,3.函數的奇偶性與周期性的常用結論表,4.函數的對稱性與周期性的關系 (1)若函數f(x)關于直線x=a,x=b(ab)對稱,則函數f(x)為周期函數,且周期T=2(b-a). (2)若函數f(x)關于點(a,0),(b,0)(ab)對稱,則函數f(x)為周期函數,且周期T=2(b-a). (3)若函數f(x)關于點(a,0)與直線x=b(ab)對稱,則函數f(x)為周期函數,且周期T=4(b-a). 5.常用的數學方法與思想 函數奇偶性的判斷方法,數形結合思想、分類討論思想.,1.判斷下列說法是否正確(打“√”或“”). (1)函數f(x)是偶函數,若在(-∞,0)上單調遞增,則在(0,+∞)上必遞減.( ) (1)√ (2)若函數f(x)=0,則x∈(-1,1],函數f(x)既是奇函數又是偶函數.( ) (2) (3)若函數y=f(x-1)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.( ) (3) (4)若函數f(x)在定義域上滿足f(x+2)=-f(x),則f(x)是周期為4的周期函數.( ) (4)√,C.y=cos x D.y=ex-e-x 2.D 【解析】由函數的奇偶性知選項A中的函數是非奇非偶函數,選項B中的函數是偶函數,選項C中的函數是偶函數,選項D中的函數f(-x)=e-x-ex=-f(x),x∈R,故其是奇函數.,,,命題角度1:函數奇偶性的判斷 典例1 判斷下列函數的奇偶性,并證明. (1)f(x)=x4+x2+1; (2)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (3)f(x)=|x+1|-|x-1|. 【解題思路】(1)(2)(3)的突破口是函數定義域的對稱性,再找出f(x),f(-x)之間的關系. 【參考答案】(1)f(x)的定義域為R,且f(x)=f(-x), 則f(x)為偶函數. (2)由于f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間,因此f(x)是非奇非偶函數. (3)函數的定義域x∈(-∞,+∞),關于原點對稱. 因為f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函數.,命題角度2:函數奇偶性的應用 典例2 (2015天一大聯考)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,且f(x)-g(x)=x3+2-x,則f(2)+g(2)=( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解題思路】在f(x)-g(x)=x3+2-x中用-x代替x,并利用奇、偶函數的定義求解.f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,故有f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),由f(x)-g(x)=x3+2-x得f(-x)-g(-x)=-x3+2x,即f(x)+g(x)=-x3+2x,因此f(2)+g(2)=-23+22=-4. 【參考答案】 B,已知函數f(x)為奇函數且定義域為R,x0時,f(x)=x+1,則f(x)的解析式為 . 【解題思路】設x0,從而f(-x)=(-x)+1.∵f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.當x=0,,,【變式訓練】,1.【解析】解法1:f(x)的定義域為R,當x0時,-x0, f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x). ∴對于x∈R總有f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數. 解法2:當x≥0時,f(x)=x2-2x=x2-2|x|. 當x0時,f(x)=x2+2x=x2-2|x|,∴f(x)=x2-2|x|, ∴f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),∴f(x)為偶函數.,(2015北京豐臺區(qū)測試)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=x2-2x,如果函數g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4個零點,則m的取值范圍是 . (-1,0) 【解析】函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=x2-2x,可知x0,f(x)=x2+2x,所以,,,典例3 (2015蚌埠質檢)函數y=f(x)是R上的奇函數,滿足f(3+x)=f(3-x),當x∈(0,3)時,f(x)=2x,則當x∈(-6,-3)時,f(x)等于 ( ) A.2x+6 B.-2x-6 C.2x-6 D.-2x+6 【解題思路】由f(3+x)=f(3-x)可知f(x)=f(6-x),又y=f(x)是R上的奇函數,所以f(x)=-f(-x),故-f(-x)=f(6-x),即f(x)=-f(x+6),從而f(6-x)= -f(x-6)=-f(x+6),則f(x)=f(x+12),即f(x)是周期為12的周期函數,當x∈(-3,0)時,-x∈(0,3),f(-x)=2-x,即f(x)=-2-x,當x∈(-6,-3)時,x+6∈(0,3),f(x+6)=2x+6=f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x+6. 【參考答案】 D,,函數的奇偶性、周期性與對稱性的應用,命題角度1:奇偶性與對稱性相互轉化應用于求值 典例1 已知函數f(x)是R上的奇函數,且f(x)的圖象關于直線x=1對稱,當x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,則f(2017)+f(2018)=( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解題思路】利用奇函數得到f(-x)=-f(x)及f(0)=0,利用f(x)的圖象關于直線x=1對稱,得到f(x+2)=f(-x),然后將二者結合求解.因為函數f(x)是R上的奇函數,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以有f(x+2)=f(-x)=-f(x),因此f(x+4)=f(x),故函數的周期為4,又函數f(x)是R上的奇函數,所以f(0)=0,由圖象關于直線x=1對稱得f(2)=f(0)=0,而f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0),所以f(2017)+f(2018)=(21-1)+(20-1)=1. 【參考答案】 C,若函數f(x+1)為偶函數,則f(x)的圖象的對稱軸方程為 . 【解題思路】解法一:因為函數f(x+1)為偶函數,所以函數f(x+1)的圖象的對稱軸方程為x=0,而f(x)的圖象可由函數f(x+1)的圖象向右平移一個單位得到,故f(x)的圖象的對稱軸方程為x=1. 解法二(構造函數法):由題可設f(x+1)=x2,則令x+1=t,得x=t-1,所以f(t)=(t-1)2,因此f(x)=(x-1)2,其圖象的對稱軸方程為x=1. 【參考答案】 x=1,命題角度2:周期性與對稱性互化應用于求值 典例2 設函數f(x)的定義域為R,其圖象既關于直線x=2對稱,又關于直線x=7對稱,且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.則方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2016,2016]上的根的個數為( ) A.806 B.804 C.802 D.800 【解題思路】函數f(x)的圖象關于直線x=2和直線x=7對稱等價于關系式f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x).因為函數f(x)的圖象既關于直線x=2對稱,又關于直線x=7對稱,所以有f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),即有f(x)=f(4-x)且f(x)=f(14-x),從而得到f(4-x)=f(14-x),則f(x+10)=f(x),故函數的周期為T=10.因為f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有兩個解,從而可知函數y=f(x)在[0,2016]上有404個解,在[-2016,0)上有402個解,所以函數y=f(x)在[-2016,2016]上有806個解. 【參考答案】 A,【針對訓練】,,2.若函數f(x-2)為奇函數,則f(x)的圖象的對稱中心為 . 【答案】(-2,0) 【解析】解法一:因為函數f(x-2)為奇函數,所以函數f(x-2)的圖象的對稱中心為(0,0),而f(x)的圖象可由函數f(x-2)的圖象向左平移2個單位得到,故f(x)的圖象的對稱中心為(-2,0). 解法二:構造函數法,由題可設f(x-2)=x,則令x-2=t?x=t+2,所以f(t)=t+2,因此f(x)=x+2,其圖象的對稱中心為(-2,0).,