《八年級數(shù)學上冊勾股定理的證明教案蘇科版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《八年級數(shù)學上冊勾股定理的證明教案蘇科版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 勾股定理的證明 【證法 1】（課本的證明） 做 8 個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b，斜邊長為 c，再做三個邊長分別為 a、 b、 c 的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形 . 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是 a + b ，所以面積相等 . 即 ， 整理得 . 【證法 2】（鄒元治證明） 以 a、 b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼

2、成如圖所示形狀，使 A、 E、B 三點在一條 直線上， B、 F、 C三點在一條直線上， C、 G、D 三點在一條直線上 . ∵ Rt HAE ≌ Rt EBF, ∴ ∠ AHE = ∠ BEF. ∵ ∠ AEH + ∠AHE = 90 o, ∴ ∠ AEH + ∠BEF = 90 o. ∴ ∠ HEF = 180 o― 90o= 90 o. ∴ 四邊形 EFGH是一個邊長為 c 的 正方形 . 它的面積等于 c2. ∵ Rt

3、 GDH ≌ Rt HAE, ∴ ∠ HGD = ∠EHA. ∵ ∠ HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠ EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠ GHE = 90o, ∴ ∠ DHA = 90 o+ 90 o= 180 o. ∴ ABCD是一個邊長為 a + b 的正方形，它的面積等于 . ∴ . ∴ . 【證法 3】（趙爽證明） 以 a、 b 為直角邊（ b>a）， 以 c 為斜邊作四個全等的直

4、角三角形，則每個直角 三角形的面積等于 . 把這四個直角三 角形拼成如圖所示形狀 . ∵ Rt DAH ≌ Rt ABE, ∴ ∠ HDA = ∠EAB. ∵ ∠ HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠ EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一個邊長為 c 的正方形，它的面積等于 c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ∠HEF = 90 o. ∴ EFGH是一個邊長為 b― a 的正方形，它的面積等于 . ∴ . ∴ . 【證法 4】（ 1876 年

5、美國總統(tǒng) Garfield 證明） 以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、 E、B 三點在一條 直線上 . ∵ Rt EAD ≌ Rt CBE, ∴ ∠ ADE = ∠BEC. ∵ ∠ AED + ∠ADE = 90 o, ∴ ∠ AED + ∠BEC = 90 o. ∴ ∠ DEC = 180 o― 90o= 90 o. ∴ DEC是一個等腰直角三角形， 它的面積等于 . 又∵ ∠ DAE = 90 o, ∠ E

6、BC = 90 o, ∴ AD∥ BC. ∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于 . ∴ . ∴ . 【證法 5】（梅文鼎證明） 做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、 b ，斜邊長為 c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D、E、 F 在一條直線上 . 過 C作 AC的延長線交 DF于點 P. ∵ D、 E、 F 在一條直線上 , 且 Rt GEF ≌ Rt EBD, ∴ ∠ EGF = ∠BED， ∵ ∠ EGF + ∠ GEF = 90 ， ∴ ∠ BED + ∠

7、GEF = 90 ， ∴ ∠ BEG =180o― 90o= 90 o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG是一個邊長為 c 的正方形 . ∴ ∠ ABC + ∠CBE = 90 o. ∵ Rt ABC ≌ Rt EBD, ∴ ∠ ABC = ∠EBD. ∴ ∠ EBD + ∠CBE = 90 o. 即 ∠ CBD= 90o. 又∵ ∠ BDE = 90 o，∠ BCP = 90 o， BC = BD = a . ∴ BDPC是一個邊長為 a 的正方形 . 同理， HPFG是一個邊

8、長為 b 的正方形 . 設(shè)多邊形 GHCBE的面積為 S，則 , ∴  . 【證法 6】（項明達證明） 做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 三點在一條直線上 . 過點 Q作 QP∥ BC，交 AC于點 P. 過點 B 作 BM⊥ PQ，垂足為 M；再過點 F 作 FN⊥PQ，垂足為 N. ∵ ∠ BCA = 90 o， QP∥ BC， ∴ ∠ MPC = 90o， ∵ BM⊥ PQ， ∴ ∠ BMP = 90o， ∴ BCPM是一個矩形，即∠ MBC =

9、 90o. ∵ ∠ QBM + ∠ MBA = ∠ QBA = 90o， ∠ ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠ QBM = ∠ABC， 又∵ ∠ BMP = 90o，∠ BCA = 90 o， BQ = BA = c ， ∴ Rt BMQ ≌ Rt BCA. 同理可證 Rt QNF ≌ Rt AEF. 從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法 5】（梅文鼎證明） .  a、 b（ b>a） ，斜邊長為  c. 再做一個邊長為  c 的正方形  .  把

10、它們拼成如圖所示的多邊形，使  E、 A、C 【證法 7】（歐幾里得證明） 做三個邊長分別為 a、 b、 c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 H、 C、B 三點在一條直線上，連結(jié)BF、 CD. 過 C 作 CL⊥ DE， 交 AB于點 M，交 DE于點 L. ∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠ FAB = ∠GAD， ∴ FAB ≌ GAD， ∵ FAB的面積等于 ， GAD的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形 ADLM的面積 = . 同理可證，矩形 M

11、LEB的面積 = . ∵ 正方形 ADEB的面積 = 矩形 ADLM的面積 + 矩形 MLEB的面積 ∴ ，即 . 【證法 8】（利用相似三角形性質(zhì)證明） 如圖，在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 AC、 BC的長度分別為 a、 b，斜邊 AB的長為 c，過點 C作 CD⊥ AB，垂足是 D. 在 ADC和 ACB中， ∵ ∠ ADC = ∠ ACB = 90 o， ∠ CAD = ∠BAC， ∴ ADC ∽ ACB. AD∶ AC = AC ∶ AB， 即  . 同理可證， 

12、 CDB ∽  ACB，從而有  . ∴  ，即  . 【證法 9】（楊作玫證明） 做兩個全等的直角三角形， 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 AF 交 GT于 F， AF交 DT 于 R. 過 B 作 BP⊥ AF，垂足為 P. 過  a、b（ b>a），斜邊長為 c. 再做一個邊長為 c D 作 DE與 CB的延長線垂直，垂足為 E， DE交  的正方形 AF 于 H.  .  把它們拼成如圖所示的多邊形  .  過 A 作 

13、 AF⊥AC， ∵ ∠ BAD = 90 o，∠ PAC = 90 o， ∴ ∠ DAH = ∠BAC. 又∵ ∠ DHA = 90 o，∠ BCA = 90 o， AD = AB = c ， ∴ DH = BC = a ， AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一個矩形， 所以 Rt APB ≌ Rt BCA. 即 PB = CA = b ，AP= a ，從而 PH = b ― a. ∵ Rt DGT ≌ Rt BCA , Rt DHA ≌ Rt BCA. ∴ Rt DGT ≌ Rt

14、 DHA . ∴ DH = DG = a ，∠ GDT = ∠ HDA . 又∵ ∠ DGT = 90 o，∠ DHF = 90 o， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠ TDH = 90 o， ∴ DGFH是一個邊長為 a 的正方形 . ∴ GF = FH = a . TF⊥AF， TF = GT ― GF = b ― a . ∴ TFPB 是一個直角梯形，上底 TF=b― a，下底 BP= b，高 FP=a +（ b― a） . 用數(shù)字表示面積的編號（如圖） ，則以 c 為邊長的正方形的面積為 ①

15、 ∵ = ， ， ∴  =  .  ② 把②代入①，得 =  =  . ∴  . 【證法 10】（李銳證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 用數(shù)字表示面積的編號（如圖） . ∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90 o， ∴ ∠ TBH = ∠ABE. 又∵ ∠ BTH = ∠BEA = 90 o， BT = BE = b ， ∴ Rt HBT ≌

16、 Rt ABE.  a、 b（ b>a），斜邊的長為  c. 做三個邊長分別為  a、 b、c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使  A、 E、G三點在一條直線上  . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠ GHF + ∠BHT = 90 o， ∠ DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠ BHT = 90 o， ∴ ∠ GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB ―ED = b ―a， ∠ HGF = ∠BDC

17、 = 90o， ∴ Rt HGF ≌ Rt BDC. 即 . 過 Q作 QM⊥ AG，垂足是 M. 由∠ BAQ = ∠ BEA = 90 o，可知 ∠ABE = ∠ QAM，而  AB = AQ = c ，所以  Rt  ABE ≌ Rt QAM. 又 Rt HBT ≌ Rt  ABE. 所以 Rt HBT ≌ Rt QAM. 即 . 由 Rt ABE ≌ Rt QAM，又得 QM = AE = a ，∠ AQM = ∠ BAE. ∵ ∠ AQM + ∠FQM = 90o，∠ BAE + ∠

18、CAR = 90 o，∠ AQM = ∠ BAE， ∴ ∠ FQM = ∠CAR. 又∵ ∠ QMF = ∠ ARC = 90 o， QM = AR = a ， ∴  Rt  QMF ≌  Rt  ARC.  即  . ∵  ，  ，  ， 又∵  ，  ，  ， ∴ = = ， 即 . 【證法 在 Rt = 90 o，點  11

19、】（利用切割線定理證明） ABC中，設(shè)直角邊 BC = a ， AC = b ，斜邊 AB = c . 如圖，以 C在⊙ B 上，所以 AC是⊙ B 的切線 . 由切割線定理，得  B 為圓心  a 為半徑作圓，交  AB及  AB的延長線分別于  D、E，則 BD = BE = BC = a .  因為∠ BCA = = =  ，

20、即  ， ∴  . 【證法 12】（利用多列米定理證明） 在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a ，AC = b ，斜邊 定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有  AB = c （如圖）  .  過點  A 作  AD∥ CB，過點  B 作  BD∥ CA，則  ACBD為矩形，矩形  ACBD內(nèi)接于一個圓  .  根據(jù)多

21、列米 ， ∵  AB = DC = c AC = BD = b  ， AD = BC = a ，  ， ∴  ，即  ， ∴  . 【證法 13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明） 在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a ， AC = b ，斜邊  AB = c .  作  Rt  ABC的內(nèi)切圓⊙  O，切點分別為  D、 E、 F（如圖），設(shè)⊙ O的半徑為 

22、 r . ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r, 即 ， ∴ . ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ = = =  =  ， ∴  ， ∴  ， ∴ ，  ∴ . 【證法 14】（利用反證法證明） 如圖，在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 假設(shè) ，即假設(shè)  AC、 BC的長度分別為 a、 b，斜邊

23、 ，則由  AB的長為  c，過點  C作  CD⊥ AB，垂足是  D. =  = 可知  ，或者  .  即 AD： AC≠ AC：AB，或者  BD： BC≠ BC： AB. 在 ADC和 ACB中， ∵ ∠ A = ∠ A， ∴ 若 AD： AC≠ AC： AB，則 ∠ADC≠∠ ACB. 在 CDB和 ACB中， ∵ ∠ B = ∠ B， ∴ 若 BD： BC≠ BC： AB

24、，則 ∠CDB≠∠ ACB. 又∵ ∠ ACB = 90 o， ∴ ∠ ADC≠ 90o，∠ CDB≠ 90o. 這與作法 CD⊥ AB矛盾 . 所以，  的假設(shè)不能成立 . ∴  . 【證法  15】（辛卜松證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 為 ；把正方形  a、b，斜邊的長為 c. 作邊長是 a+b 的正方形

25、 ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形  ABCD. 把正方形 ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形 ABCD的面積為 = .  ABCD的面積 ∴  , ∴  . 【證法 16】（陳杰證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為  a、 b（ b>a），斜邊的長為  c. 做兩個邊長分別為 

26、a、 b 的正方形（  b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使  E、H、M三點在一條直線 上 . 用數(shù)字表示面積的編號（如圖） . 在 EH = b 上截取 ED = a ，連結(jié) DA、 DC， 則 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM―ED = ― a = b . 又∵ ∠ CMD = 90o， CM = a， ∠ AED = 90 o， AE = b ， ∴ Rt AED ≌ Rt DMC. ∴ ∠ EAD = ∠MDC

27、， DC = AD = c . ∵ ∠ ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o， ∠ ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠ EAD = 90 o， ∴ ∠ ADC = 90 o. ∴ 作 AB∥ DC， CB∥ DA，則 ABCD是一個邊長為 c 的正方形 . ∵ ∠ BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠ FAD = 90 o， ∴ ∠ BAF=∠ DAE. 連結(jié) FB，在 ABF和 ADE中， ∵ AB =AD = c ， AE = AF = b ，∠ BAF=∠DAE， ∴ ABF ≌ ADE. ∴ ∠ AFB = ∠AED = 90 o， BF = DE = a . ∴ 點 B、 F、G、 H 在一條直線上 . 在 Rt ABF和 Rt BCG中， ∵ AB = BC = c ， BF = CG = a ， ∴ Rt ABF ≌ Rt BCG. ∵  ，  ，  ， ， ∴ = = = ∴ .