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9.5 橢圓,考綱要求:1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程和簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率). 2.理解數形結合的思想. 3.了解橢圓的簡單應用.,1.橢圓的概念 (1) 橢圓的定義:我們把平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓.這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點F1,F2間的距離叫作橢圓的焦距. (2)對橢圓定義的拓展:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c為常數: ①若ac,則M點為橢圓上的點; ②若a=c,則M點為線段F1F2上的點; ③若ac,則集合P為空集.,,,,,,,2.橢圓的標準方程和幾何性質,,,,,,,1,2,3,4,5,1.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“”. (1)平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓. ( ) (2)橢圓是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形. ( ) (3)橢圓上一點P與兩焦點F1,F2構成△PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距). ( ) (4)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓. ( ) (5)關于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)表示的曲線是橢圓. ( ),,√,√,,√,1,2,3,4,5,2.若直線x-2y+2=0經過橢圓的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的標準方程為( ),答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,4.若方程 表示橢圓,則k的取值范圍是 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知點P是橢圓 上y軸右側的一點,且以點P及焦點F1,F2為頂點的三角形的面積等于1,則點P的坐標為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點評 1.要熟練掌握橢圓中參數a,b,c的內在關系及橢圓的基本性質. 2.理解離心率的大小范圍,并能根據離心率的變化來判斷橢圓的扁圓程度. 3.橢圓中的焦點三角形是常研究對象,解決此類問題要充分運用橢圓的定義、三角形的有關知識,對于其面積公式要熟記,以避免計算量太大而出錯.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1橢圓的定義及其標準方程 例1(1)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F( ,0),直線y=x與橢圓的一個交點的橫坐標為2,則橢圓方程為( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)已知F1,F2是橢圓C: (ab0)的兩個焦點,P為橢圓C上 的一點,且 .若△PF1F2的面積為9,則b= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何靈活運用橢圓的定義解決有關問題? 解題心得:1.在利用橢圓定義解題的時候,一方面要注意到常數2a|F1F2|這個條件;另一方面要熟練掌握由橢圓上任一點與兩個焦點所組成的“焦點三角形”中的數量關系. 2.對于橢圓標準方程的求解,首先要明確參數a,b,c,其次要熟練掌握其內在關系,最后對于橢圓上的已知點要有代入的意識.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (1)已知F1,F2是橢圓 的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點,在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓C2:(x-3)2+y2=81內切的動圓圓心P的軌跡方程為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2橢圓的幾何性質 例2設橢圓C: (ab0)的左、右焦點為F1,F2,過F2作x軸的垂線與C相交于A,B兩點,F1B與y軸相交于點D,若AD⊥F1B,則橢圓C的離心率等于 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何理清橢圓的幾何性質之間的內在聯系? 解題心得:1.求解與橢圓幾何性質有關的問題時,要結合圖形進行分析,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的內在聯系. 2.橢圓中的最值往往與橢圓的范圍有關聯,如-a≤x≤a,-b≤y≤b 就是橢圓中的隱含條件,要注意靈活 應用.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)設F1,F2是橢圓E: (ab0)的左、右焦 點,P為直線 上一點,△F2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率為( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3直線與橢圓的位置關系 例3已知橢圓C: (ab0)的左焦點為F(-2,0),離心率為 (1)求橢圓C的標準方程; (2)設O為坐標原點,T為直線x=-3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:解決直線與橢圓的位置關系的相關問題,其常規(guī)思路是什么? 解題心得:1.解決直線與橢圓的位置關系的相關問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯立,消元、化簡,然后應用根與系數的關系建立方程,解決相關問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單. 2.設直線與橢圓的交點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 定義:若兩個橢圓的離心率相等,則稱兩個橢圓是“相似”的.如圖,橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個橢圓,并且相交于上下兩個頂點.橢圓C1: (ab0)的長軸長是4,橢圓C2: (mn0)短軸長是1,點F1,F2分別是橢圓C1的左焦點與右焦點, (1)求橢圓C1,C2的方程; (2)過F1的直線交橢圓C2于點M,N,求△F2MN面積的最大值.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.橢圓中的參數a,b,c三者的關系為a2-b2=c2,這是橢圓中參數關系的核心. 2.求離心率常用兩種方法: (1)求得a,c的值,代入公式 即可; (2)列出a,b,c的方程或不等式,根據b2=a2-c2將b消掉,轉化為含有a和c的關系,最后轉化為關于e的方程或不等式. 3.橢圓中焦點三角形的面積公式為 (其中P為橢圓上任意一點,但不能與F1,F2三點共線,F1,F2是橢圓的左、右焦點,θ為∠F1PF2的大小).,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.判斷橢圓的兩種標準方程的方法為比較標準方程形式中x2和y2的分母大小. 2.關于離心率的范圍問題,一定不要忘記橢圓離心率的固有范圍0b0)上點的坐標為P(x,y)時,則|x|≤a,這往往在求與點P有關的最值問題中特別有用,也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因.,高頻小考點——高考中橢圓的離心率問題 離心率是橢圓的重要幾何性質之一,是高考中?？嫉膯栴}.此類問題要么直接求出參數a和c,進而通過公式 求離心率;要么先列出參數a,b,c的關系式,再轉化為只含有a和c的關系,進而推導出離心率.求解離心率的范圍除了借助橢圓本身的屬性,有時還要借助不等式知識及橢圓的范圍等幾何特點. 典例1已知橢圓C1: (ab0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點P,使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( ),答案:C,解析:從橢圓上長軸端點P向圓引兩條切線PA,PB,則兩切線形成的角∠APB最小. 若橢圓C1上存在點P, 所作圓C2的兩條切線互相垂直,則只需∠APB≤90,,