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第4章 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理,在生產(chǎn)實(shí)踐中，試制新產(chǎn)品、改革工藝、尋求好的生產(chǎn)條件等，這些都需要做試驗(yàn)，而試驗(yàn)總是要花費(fèi)時(shí)間，消耗人力、物力。因此，試驗(yàn)的次數(shù)應(yīng)盡可能少。,全面試驗(yàn)： 如 4 個(gè) 3 水平的因素，要做 34＝81 次試驗(yàn)； 6 個(gè) 5 水平的因素，要做 56＝15625次試驗(yàn)。非常困難。,能否減少試驗(yàn)次數(shù)，而又不影響試驗(yàn)效果呢？,有,,正交試驗(yàn),4.1 正交表及其用法,正交表的記號(hào)：L9（34）——表示 4 個(gè)因素，每個(gè)因素取 3 個(gè)水平的正交表。格式如表4-1所示。,,4.1 正交表及其用法,正交表記為 Ln（mk），m 是各因素的水平，k （列數(shù)）是因素的個(gè)數(shù)，n 是安排試驗(yàn)的次數(shù)（行數(shù)）。,L9（34）4因素3水平正交試驗(yàn)，共做9次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要做 34=81 次，減少了72次。 L25（56） 6因素5水平正交試驗(yàn)，共做25次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要做 56=15625 次，減少了15600次。,正交表的兩條重要性質(zhì)： （1）每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如 L9（34），每列中不同的數(shù)字是1，2，3。它們各出現(xiàn)三次。 （2）在任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如如 L9（34），有序數(shù)對(duì)共有9個(gè)：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它們各出現(xiàn)一次。,4.1 正交表及其用法,由于正交表的性質(zhì)，用它來安排試驗(yàn)時(shí)，各因素的各種水平是搭配均衡的。,下面通過具體例子來說明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。,例4.1 某水泥廠為了提高水泥的強(qiáng)度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案，經(jīng)研究，有3個(gè)因素影響水泥的強(qiáng)度，這3個(gè)因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時(shí)間，每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體情況如表4-2，試驗(yàn)的考察指標(biāo)為28天的抗壓強(qiáng)度（MPa），分別為44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。問：對(duì)這3個(gè)因素的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的水泥的抗壓強(qiáng)度?,解：在這個(gè)問題中，人們關(guān)心的是水泥的抗壓強(qiáng)度，我們稱它為試驗(yàn)指標(biāo)，如何安排試驗(yàn)才能獲得最高的水泥抗壓強(qiáng)度，這只有通過試驗(yàn)才能解決，這里有3個(gè)因素，每個(gè)因素有3個(gè)水平，是一個(gè)3因素，3水平的問題，如果每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做試驗(yàn)33=27次，我們把所有可能的搭配試驗(yàn)編號(hào)寫出，列在表4-3中。,例4.1,進(jìn)行27次試驗(yàn)要花很多時(shí)間，耗費(fèi)不少人力、物力，為了減少試驗(yàn)次數(shù)，但又不能影響試驗(yàn)的效果，因此，不能隨便地減少試驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)把有代表性的搭配保留下來，為此，按 L9（34）表中前3列的情況從27個(gè)試驗(yàn)中選取9個(gè)，它們的序號(hào)分別為1，5，9，11，15，16，21，22，26，將這9個(gè)試驗(yàn)按新的編號(hào)1—9寫出來，正好是正交表 L9（34）的前3列，如表4-1所示。,為了便于分析計(jì)算，把考查指標(biāo)（鐵水溫度）列于表4-4的右邊，做成一個(gè)新的表4-5，利用張表進(jìn)行分析計(jì)算。,從表4-5中的數(shù)據(jù)處理與分析，可以得出結(jié)論：各因素對(duì)考查指標(biāo)（抗壓強(qiáng)度）的影響按大小次序來說應(yīng)當(dāng)是A(礦化劑用量)、 B(保溫時(shí)間)、 C(燒成溫度)，最好的方案應(yīng)當(dāng)是A2C2B3，即：,例4.1,A2：礦化劑用量， 第2水平，4%； C2：保溫時(shí)間， 第2水平，30min； B3：燒成溫度， 第3水平，1450℃。,得出的最好方案在已經(jīng)做過的9次試驗(yàn)中沒有出現(xiàn)，與它比較接近的是第4號(hào)試驗(yàn)，在第4號(hào)試驗(yàn)中只有燒成溫度B不是處于最好水平，而且燒成溫度對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響是3個(gè)因素中最小的。從實(shí)際做出的結(jié)果看出第4號(hào)試驗(yàn)中的抗壓強(qiáng)度是48.2MPa，是9次試驗(yàn)中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。,為了最終確定試驗(yàn)方案A2C2B3是不是最好方案，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，若比4號(hào)好，作為最好結(jié)果，若比4號(hào)差，則以4號(hào)為最佳條件。如出現(xiàn)后一結(jié)果，說明我們的理論分析與實(shí)踐有一定的差距，最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。,正交試驗(yàn)步驟歸納如下：,1、確定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)；,2、確定要考察的因素和各因素的水平；,以上兩條要實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來決定。,3、選用合適的正交表，一般只要正交表中的因素個(gè)數(shù)比試驗(yàn)要考察的因素的個(gè)數(shù)稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗(yàn)?zāi)康模囼?yàn)次數(shù)又不致太多，省工省時(shí)；,4、試驗(yàn)，測(cè)定試驗(yàn)指標(biāo)；,5、試驗(yàn)結(jié)果分析計(jì)算，得出合理的結(jié)論。,以上的方法——直觀分析法。簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、很實(shí)用。 正交試驗(yàn)的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是唯一的，常見的正交表見本書末附表4。,4.2 多指標(biāo)的分析方法,在例4.1中，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，考察起來比較方便，但實(shí)際問題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè)，有時(shí)有兩個(gè)、三個(gè)或更多。如何評(píng)價(jià)考察指標(biāo)呢？?jī)煞N方法。,4.2.1 綜合平衡法,通過具體的例子來加以說明。,例4.2 某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方有3個(gè)重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如表4-6所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。,4.2.1 綜合平衡法（例4.2的解）,解 3因素3水平，應(yīng)選L9（34）正交表來安排試驗(yàn)，將3個(gè)因素依次放在前3列（第4列不要），得出一張具體的試驗(yàn)方案表，測(cè)出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果，列于表4-7(a)、(b)、(c)中，然后用直觀分析法對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析。,將3 個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析后，得出3個(gè)好的方案：對(duì)抗壓強(qiáng)度是A2B3C1；對(duì)落下強(qiáng)度是A3B3C2；對(duì)裂紋度是A2B3C1，這3個(gè)方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一個(gè)指標(biāo)卻不一定是好方案，如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢？,綜合分析，將指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來，如圖4.0所示（為了看得清楚，將各點(diǎn)用直線連接起來，實(shí)際上并不一定是直線。,把圖4-1和表4-7結(jié)合起來分析，看每一個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響。,,圖4.0,,4.2.1 綜合平衡法（例4.2的解的綜合分析）,（1）粒度B對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，極差最大，是最大的影響因素。從圖4.0中看出三個(gè)指標(biāo)B均取8為最好——即取B3。,（2）堿度C，極差不大，次要因素。由圖4.0分析，取1.1時(shí)兩個(gè)指標(biāo)好，1個(gè)指標(biāo)稍差，對(duì)三個(gè)指標(biāo)綜合考慮，C取1.1——即取C1。,（3）水分A，對(duì)裂紋度影響極差最大，A取9最好，由圖4.0綜合考慮A取9——即取A2。,通過各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是：,B3：粒度取第3水平，8； C1：堿度取第1水平，1.1； A2：水分取第2水平，9。,4.2.2 綜合評(píng)分法,對(duì)多指標(biāo)的問題，真正做到好的綜合平衡，有時(shí)很困難，這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。綜合評(píng)分法可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。,例4.3 某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平，具體情況如表4-8所示。試通過試驗(yàn)分析出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。,解 這是4因素3水平的試驗(yàn)，可以選用正交表L9（34）安排出試驗(yàn)方案（這里有4個(gè)因素，正好將表排滿），進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的結(jié)果列入表4-9中。,綜合評(píng)分法是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的重要性的不同，按照得出的試驗(yàn)結(jié)果綜合分析，給每一個(gè)試驗(yàn)評(píng)出一個(gè)分?jǐn)?shù)，作為這個(gè)試驗(yàn)的總指標(biāo)。根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析。,4.2.2 綜合評(píng)分法（例4.3的解）,這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評(píng)分。,在這個(gè)試驗(yàn)中，兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知道，純度的重要性大于回收率，從實(shí)際分析，可以認(rèn)為純度是回收率的4倍。也就是純度占權(quán)數(shù)為4，回收率占權(quán)數(shù)為1，按這個(gè)權(quán)數(shù)給出這個(gè)試驗(yàn)的總分為：,總分＝4純度＋1回收率,由上式計(jì)算出這個(gè)試驗(yàn)的總分?jǐn)?shù)，列于表4-9的最右邊，再根據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù)，用直觀分析法進(jìn)行分析。,從表4-9看出，A、D兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響很大的兩個(gè)因素，A1、D1為好；B因素的極差比A、D的極差小，對(duì)試驗(yàn)的影響比A、D都小；B因素取B3為好；C因素的極差最小，影響最小，C取C2為好。綜合考慮，最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1，按影響大小次序排列為：,4.2.2 綜合評(píng)分法（例4.3的解）,A1：時(shí)間， 25小時(shí)； D1：加水量， 1：6； B3：料中核酸含量，6.0； C2：pH值， 6.0。,可以看出，這里分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個(gè)試驗(yàn)中是沒有的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看能不能得出比第1號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。,,綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計(jì)算總分的方法化成一個(gè)指標(biāo)的問題，這樣對(duì)結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡(jiǎn)單。但如何合理地評(píng)分，是最關(guān)鍵的問題。這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來解決，單純從數(shù)學(xué)上是無法解決的。,4.3 混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),在實(shí)際情況中，有時(shí)做試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)因素的水平數(shù)是不同的 ——混合水平。兩種解決方案。,4.3.1 混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種。比如 L8（4124）就是一個(gè)混合水平的正交表，如表4-10所示。,其它混合水平的正交表還有很多，見附表所示，它們都有上面所說的兩點(diǎn)。,例4.4 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)，具體試驗(yàn)因素及水平如 表4-11所示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表 安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。,例 4.4 的 解,解 這個(gè)問題中有4個(gè)因素，1個(gè)是4水平的，3個(gè)是2水平的，正好可以選用混合正交表 L8（4123），因素A為4水平，放在第1列，其余3個(gè)2水平的因素B、C、D順序放在2、3、4列上，第5列不用。按這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊，然后進(jìn)行分析，見表4-12。,經(jīng)分析得最佳方案為： A2B2C2D2。因?yàn)椋瑥臉O差分析可知，因素D影響很小，這個(gè)方案與第4號(hào)試驗(yàn)結(jié)果A2B2C2D1很接近，從試驗(yàn) 結(jié)果看出，第4號(hào)試驗(yàn)是8個(gè)試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的，因此完全有理由取第4號(hào)試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣。,4.3.2 擬水平法,例4.5 今有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素A、B、C、D，其中因素C是2水平的，其余3個(gè)因素都是3水平的，具體數(shù)值如表4-13所示。試安排試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案。,解 ： 4因素試驗(yàn)，C為2個(gè)水平，A、B、D為3個(gè)水平。沒有合適的正交表。設(shè)想：假若C有3個(gè)水平，就變成4因素3水平的問題了。如何將C變成3水平的因素呢？從C中的1和2水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。取哪一個(gè)水平作為第3水平呢？一般說，都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平。比如，如果認(rèn)為第2水平比第1水平好，就選第2水平作為第3水平。這樣因素水平表4-13就變?yōu)楸?-14的樣子，它比 表4-13多了一個(gè)虛擬的第3水平。,例4. 5 的 解,這樣就變成了一個(gè)4因素3水平的試驗(yàn)，可以按 L9（34）表安排試驗(yàn)，并對(duì)正交表進(jìn)行重構(gòu)，測(cè)出結(jié)果，并進(jìn)行分析，見 表4-15所示。,從表4-15的極差可以看出，因素D對(duì)試驗(yàn)的影響最大，取第3水平最好；其次是因素A，取第3水平為好；再者是因素B，取第1水平為好；因素C影響最小，取第1水平為好。最優(yōu)方案為： A3B1D3C1。這個(gè)方案在9個(gè)試驗(yàn)中沒有。從試驗(yàn)結(jié)果看8號(hào)試驗(yàn)為最好。這個(gè)試驗(yàn)只有B不是處在最好情況，而因素B的影響是最小的?？梢园催@個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得出比第8號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正的最優(yōu)方案。,4.4 有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),例4.6 有4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物?，F(xiàn)將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)，記在表4-16中。,氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的總效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）,在多因素的試驗(yàn)中，交互作用影響的大小參照實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。如果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小，就可以忽略不計(jì)；如果不能確認(rèn)交互作用的影響很小，就應(yīng)該通過試驗(yàn)分析交互作用的大小。,4.4.1 交互作用表,下面介紹交互作用表和它的用法，表4-17就是正交表 L8（27）所對(duì)應(yīng)的交互作用表。,P183附表4中，列出了幾個(gè)交互作用的正交表。,正交表自由度的確定：,（1）每列的自由度 f列＝水平數(shù)－1,（2）兩因素交互作用的自由度 fAB＝fAfB （兩因素自由度的乘積）,對(duì)2因素2水平的正交表，因?yàn)椋篺A＝fB＝ 2－1＝１，每列只有一個(gè)自由度；而 fAB＝fAfB ＝11＝1，所以也占一列。,4.4.1 交互作用表,對(duì)于2 因素3水平， fA＝fB＝ 3－1＝2，每列有2個(gè)自由度；而 fAB＝fAfB ＝22＝4，由于交互作用列有4個(gè)自由度，而每列是2個(gè)自由度，因此2個(gè)3水平因素的交互作用列占2列。,對(duì)于2因素n水平， fA＝fB＝ n－1，每列有n個(gè)自由度； 而兩因素交互作用的自由度為：fAB＝fAfB ＝（n－1）（n－1），所以交互作用列要占（n－1）列。,4.4.2 水平數(shù)相同的有交互作用的正交設(shè)計(jì),例4.7 某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個(gè)因素A、B、C，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如表4-18所示。每?jī)蓚€(gè)因素都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。試安排試驗(yàn)，并分析試驗(yàn)結(jié)果，找出最好的方案。,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,(1),3,2,5,4,7,6,(2),1,6,7,4,5,(3),7,6,5,4,(4),1,2,3,(5),3,2,(6),1,(7),表,4—17,,,,,,,,,,,,,,列號(hào)（,,）,,,列號(hào),,例4.7的解,解 這是3因素2水平的試驗(yàn)。3個(gè)因素A、B、C要占3列，它們之間的交互作用AB、B C、A C又各占3列，共占6列，可以用正交表 L8（27）來安排試驗(yàn)。若將A、B放在第1、2列，從表4-17查出AB應(yīng)在第3列，因此C就不能放在第3列，否則就要和AB混雜?，F(xiàn)將C放在第4列，由表4-17查出A C應(yīng)在第5列， B C應(yīng)在第6列。按這種安排進(jìn)行試驗(yàn)。測(cè)出結(jié)果，用直觀分析法進(jìn)行分析，把交互作用當(dāng)成新的因素看待。整個(gè)分析過程記錄在表4-19中。,最后要說明一點(diǎn)，在這里只考慮兩列間的交互作用AB、B C、A C，3個(gè)因素的交互作用ABC，一般影響很小，這里不去考慮它。,4.5 正交表的構(gòu)造法,從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。那么正交表是如何得來的呢？下面就介紹兩種正交表的構(gòu)造方法。,4.5.1 阿達(dá)瑪矩陣法,4.5.1.1 阿達(dá)瑪矩陣,阿陣 定義：以＋1，－1為元素，并且任意兩列都是正交的矩陣。,性質(zhì)：,（1）每列元素個(gè)數(shù)都 是偶數(shù)；,（2）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣；,（3）任意一列（或行）乘－1以后，仍為阿陣。,標(biāo)準(zhǔn)阿陣：第一列全為1列（用對(duì)行乘－1可得）。,阿方陣：行、列相等——阿陣，偶階方陣。,4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣,n 階阿陣記為Hn。,感興趣：第一列，第一行全為 1 的阿陣。例如：,直積構(gòu)造高階阿陣的方法：,定義：設(shè)兩個(gè)2階方陣A、B,它們直積記為A?B，定義如下：,4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣,這是一個(gè)4階方陣。,有下面兩個(gè)定理：,定理1 設(shè)2階方陣A、B如果它們中的兩列是正交的，則它們的直積A?B的任意兩列也是正交的。,定理2 兩個(gè)阿陣的直積是一個(gè)高階阿陣。,據(jù)此，可以用簡(jiǎn)單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿陣，例如有：,4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣,依此類推有：,一個(gè)固定階的阿陣并不是唯一的。比如：,都是2 階阿陣H2，但我們最感興趣的是第一個(gè)——標(biāo)準(zhǔn)阿陣。,4.5.2 2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法,有了第1列第1行全為1的標(biāo)準(zhǔn)阿陣，構(gòu)造2水平的正交表就非常方便了。,（1）L4（23）正交表的構(gòu)造,① 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣H4 如下：,② 將全1列去掉，得出：,4.5.1.2、2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法,③ 將－1 改寫為2，按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到2水平正交表 L4（23），見表4-20所示。,（2） L8（27）正交表的構(gòu)造法,① 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣 H8 如下：,4.5.1.2、2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法,② 去掉全 1 列；,將 －1 改寫為2，并按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到正交表 L8（27），見表4-21。,總結(jié)：先取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)阿陣 Hn ，去掉全1列，將－1 列改寫為2， 配上列號(hào)、行號(hào)，就得正交表 Ln（2n－1）。 上法只能構(gòu)造 2 水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法來解決。,4.5.2正交拉丁方的方法,4.5.2.1 拉丁方,定義：用 n 個(gè)不同的拉丁字母排成一個(gè) n 階方陣（n≤26），如 果每個(gè)字母在任一行、任一列中只出現(xiàn)一次，則稱這種方 陣為 nn 拉丁方，簡(jiǎn)稱為 n 階拉丁方。,例如，用3個(gè)字母 A、B、C 可排成：,33 拉丁方,用4個(gè)字母 A、B、C、D 可排成：,44 拉丁方,,這兩個(gè)拉丁方不是唯一的。,4.5.2.1、拉丁方,感性趣,,正交拉丁方。,定義：設(shè)有兩個(gè)同階的拉丁方，如果對(duì)第一個(gè)拉丁方排列著相同字母的各個(gè)位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，則稱這兩個(gè)拉丁方為互相正交的拉丁方。,3階拉丁方,與,,,,,,,,,,,,,是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個(gè)。,四階正交拉丁方,與,,,4階拉丁方中，正交拉丁方只有3個(gè)； 5階拉丁方中，正交拉丁方只有4個(gè)； 6階拉丁方中，正交拉丁方只有5個(gè)；,,數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明：n 階拉丁方的正交拉丁方個(gè)數(shù)為：（n－1）個(gè)。,4.5.2.1、拉丁方,4.5.2.1、拉丁方,將字母拉丁方改寫為數(shù)字拉丁方性質(zhì)沒有影響。比如 3 階拉丁方可寫為：,與,為正交拉丁方。,4.5.2.2 3水平正交表的構(gòu)造,首先考慮兩個(gè) 3 水平因素A、B，把它們所有水平搭配都寫出來 32 ＝9個(gè)，按下面的方式排成兩列：,4列,3列,4.5.2.3 4水平正交表,因素A、B兩個(gè)4水平的全排列 42＝16個(gè)，構(gòu)成基本列； 三個(gè)正交拉丁方，按1，2，3，4列分別按順序排成1列，共3列，放在基本列右則，得5列16行矩陣。,得表4-23，為L(zhǎng)16（45）正交表。,,3,4,5,配 上 三 個(gè) 正 交 拉 丁 方,,4.5.2.4 混合型正交表的構(gòu)造法,混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過“并列法”改造而成。舉典型的例子加以說明。,例4.8 混合型正交表 L8（424）的構(gòu)造法。,解：,（1）先列出正交表 L8（27），見表4-24。,（2）取出表4-24中的1，2列，將數(shù)對(duì)（1，1）、 （1，2）、 （2，1）、（2，2）與單數(shù)字1，2，3，4依次對(duì)應(yīng)，作為 新表第1列。,（3）去掉12的第3列。交互作用。,（4）4，5，6，7列左移，依次變?yōu)樾卤淼?，3，4，5列。,表4-24 L8（27）正交表,,,其它正交表的構(gòu)造法，與此法相同，不再贅述。 請(qǐng)自學(xué)例4.9、例4.10,4.6 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析,本節(jié)用方差分析法對(duì)正交試驗(yàn)的結(jié)果作進(jìn)一步的分析。,4.6.1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析的步驟與格式,設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n，試驗(yàn)結(jié)果分別為x1，x2，…，xn。假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)。則n = a na，現(xiàn)分析下面幾個(gè)問題。,(1) 計(jì)算離差的平方和,a 總離差的平方和ST,b 各因素離差的平方和S因,c 試驗(yàn)誤差的離差平方和SE,(2)計(jì)算自由度,(3)計(jì)算平均離差平方和(均方),(4) 求F比,(5)對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),4.6.2 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,例4.11 為了提高產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度，每個(gè)因素都取3個(gè)水平，具體數(shù)值如表4-31所示?？紤]因素之間的所有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。,解：,所有一級(jí)交互作用：AB、AC、BC； 自由度：fA ＝（水平數(shù)－1）＝3－1＝2＝ fB ＝ fC ；,fAB＝ fA fB＝22＝4＝ fBC ＝ fAC 各占兩列。,共有9列，選用正交表L27（313），見表4-32所示。,m 個(gè)因素的試驗(yàn)（m＝9）；試驗(yàn)次數(shù)（n＝27）；試驗(yàn)結(jié)果分別為：x1， x2， …，xk，… ，xn；每個(gè)因素有na 個(gè)水平（na＝3）；每個(gè)水平做a次試驗(yàn)（a＝9），則n＝ana＝3 9 ＝27。,1、計(jì)算離差平方和,（1）總離差平方和ST,記,（相當(dāng)于例4.11產(chǎn)量的平均值）,記為：,ST反應(yīng)了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，結(jié)果之間差異越大。 兩方面的原因：① 因素水平變化；② 試驗(yàn)誤差。,（2）各因素離差的平方和,以因素A為例——SA，用xij 表示A的系 i 水平第 j 個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（i＝1，2，3，…na），（j＝1…a）。,記為：,Ki ——第 i 個(gè)水平 a 次試驗(yàn)結(jié)果的和。,用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對(duì)兩因素的交互作用，把它當(dāng)成一個(gè)新的因素看待。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如：,（3）試驗(yàn)誤差的離差平方和 SE,設(shè) S因+交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和，,因?yàn)椋?所以：,2、自由度計(jì)算,各因素自由度：,兩因素交互作用的自由度：,試驗(yàn)誤差自由度：,,見表 4-33 所示,3、計(jì)算平均離差平方和（均方）MS,在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們是若干項(xiàng)平方的和，它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此，不能確切地反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)的影響，引入平均離差平方和：,4、求F 比,5、對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),給出檢驗(yàn)水平a，以Fa（f因，fE）查（附表3）F分布表； 比較若F ＞ Fa（f因，fE），說明該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著。 F ＞ F0.01（f因，fE）影響高度顯著，“﹡﹡”； F0.01（f因，fE） ＞F ＞ F0.05（f因，fE）影響顯著，“﹡”； F ＜ F0.05（f因，fE）影響不顯著。 計(jì)算結(jié)果見表4-33、表4-34所示。,4.6.3 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,由于2水平正交設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。,2水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為：,上式同樣適用于交互作用項(xiàng)。,例4.12 某廠生產(chǎn)水泥花磚,其抗壓強(qiáng)度取決于3個(gè)因素：A水泥的含量，B水分，C添加劑，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如表4-35a所示。每?jī)蓚€(gè)因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為抗壓強(qiáng)度(kg/cm2),分別為66.2，74.3，73.0，76.4，70.2，75.0，62.3，71.2越高越好。試安排試驗(yàn)，并用方差分析對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的方案。,解 列出正交表L8（27）和試驗(yàn)結(jié)果見表4-35。 說明：誤差平方和SE,SE＝ST－(S因＋S交),還可以用另一種算法計(jì)算SE,SE＝S空列＝S7列＝9.68,方差分析見表4-36。,4.6.4 混合型正交一表的方差分析,與一般水平相同，注意各列水平數(shù)的差別?。?說明：,試驗(yàn)結(jié)果,試驗(yàn)次數(shù),例4.13 為提高某礦物的燒結(jié)質(zhì)量,做下面配料試驗(yàn),各因素及其水平如表4-38所示，(單位：t),反映質(zhì)量好壞的試驗(yàn)指標(biāo)為含鐵量,分別為50.9，47.1，51.4，51.8，54.3，49.8，51.5，51.3越高越好。試安排試驗(yàn)，并進(jìn)行方差分析，找出最好的方案。 試驗(yàn)結(jié)果及計(jì)算列于表4-39。 方差計(jì)算與分析列于表4-40。,4.6.5 擬水平法的方差分析,與一般方法無本質(zhì)性的區(qū)別，在計(jì)算擬水平列時(shí)要注意各水平的重復(fù)次數(shù)不同。,例4.14 鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時(shí)間，先安排酸洗試驗(yàn)。考察指標(biāo)是酸洗時(shí)間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時(shí)間越短越好。要考慮的因素及其水平如表4-41所示。 解： 選取正交表L9（34），將因素C虛擬1個(gè)水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平（海鷗牌）安排在第1列，因素B、A、D依次安排在第2，3，4列，表已排滿，進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果列于表4-42右邊。 方差計(jì)算與分析列于表4-43、表4-44。,4.6.6 重復(fù)試驗(yàn)的方差分析,重復(fù)試驗(yàn)就是對(duì)每個(gè)試驗(yàn)號(hào)重復(fù)多次，這樣能很好地估計(jì)試驗(yàn)誤差，它的方差分析與無重復(fù)試驗(yàn)基本相同。但要注意幾點(diǎn)：,（1）計(jì)算K1，K2，…時(shí)，要用各號(hào)試驗(yàn)重復(fù) r 次的數(shù)據(jù)之和；,（2）計(jì)算因素離差平方和時(shí)，公式中的“水平重復(fù)數(shù) a 要改寫為 “ar”。,每個(gè)水平試驗(yàn)次數(shù),第 i 個(gè)水平試驗(yàn)結(jié)果的和,水平數(shù),試驗(yàn)次數(shù),重復(fù)試驗(yàn)次數(shù),（3）總體試驗(yàn)誤差平方和 SE 由兩部分構(gòu)成：第一類誤差，即空列誤差 SE1 ；第二類誤差即重復(fù)試驗(yàn)誤差 SE2。,SE＝SE1＋SE2，,自由度 fE＝fE1＋fE2，,SE2 的計(jì)算公式為：,fE2＝n（r －１）,例4.15 硅鋼帶取消空氣退火工藝試驗(yàn)?？諝馔嘶鹉苊摮徊糠痔?，但鋼帶表面會(huì)生成一層很厚的氧化皮，增加酸洗的困難欲取消這道工序，為此要做試驗(yàn)。試驗(yàn)指標(biāo)是鋼帶的磁性，看一看取消空氣退火工藝后鋼帶磁性有沒有大的變化。本試驗(yàn)考慮2個(gè)因素每個(gè)因素2個(gè)水平，退火工藝A，A1為進(jìn)行空氣退火，A2為取消空氣退火；成品厚度B，B1：0.2mm，B2：0.35mm。,解： 選用L4（23）正交表安排試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)號(hào)重復(fù)5次， 試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算列于表4-45。 方差分析與計(jì)算結(jié)果列于表4-46。,4.6.7 重復(fù)取樣的方差分析,重復(fù)試驗(yàn)增加了試驗(yàn)次數(shù)，這樣會(huì)使試驗(yàn)費(fèi)用增加，時(shí)間延長(zhǎng)。如果試驗(yàn)得出的產(chǎn)品是多個(gè)，可以采用重復(fù)取樣的方法來考察因素的影響。重復(fù)取樣和重復(fù)試驗(yàn)在計(jì)算 ST、S因、SE 時(shí)，方法是一樣的。但要注意的是：重復(fù)取樣誤差反映的是產(chǎn)品的不均勻性與試樣測(cè)量誤差（稱為局部試驗(yàn)誤差）。一般說這種誤差較小，應(yīng)該說不能用它來檢驗(yàn)各因素水平之間是否存在差異，但是如果符合下面兩種情況，可以把重復(fù)取樣得出的誤差平方和 SE2 作為試驗(yàn)誤差。,（1）正交表的各列全部排滿，無 SE1 （S空列）。用 SE2 作為試驗(yàn)誤差來檢驗(yàn)各因素及交互作用。檢驗(yàn)結(jié)果有一半左右的因素及交互作用的影響不顯著，就可以認(rèn)為這種檢驗(yàn)是合理的。,（2）SE2 與 SE1 相差不大，可以合并 SE = SE1 + SE2。,何為“相差不大”呢？用 F 值檢驗(yàn)：,由檢驗(yàn)水平a，查 分布。,若F Fa ，則 SE1 與 SE2 差別不顯著（相差不大）； SE＝SE1＋SE2 fE＝fE1＋fE2；,若F Fa ，則 SE1 與 SE2 有顯著差異，不能合并使用。,例4.16,用粉煤灰和煤矸石作原料制造粉煤灰磚的試驗(yàn)研究。試驗(yàn)指標(biāo)是干坯的扯斷力（105Pa）?？紤]3個(gè)因素，每個(gè)因素3個(gè)水平，具體參數(shù)水平如表4-47所示。,解： 選用 L8（34）正交表做試驗(yàn)。每號(hào)試驗(yàn)生產(chǎn)出若干塊干坯，采用重復(fù)取樣的方法，每號(hào)試驗(yàn)取5塊，測(cè)出結(jié)果列于 表4-48右邊，進(jìn)行計(jì)算分析，找出最優(yōu)方案。方差分析與計(jì)算見表4-49。,4.7 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的效應(yīng)計(jì)算與指標(biāo)的預(yù)估計(jì),4.7.1 正交設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),在正交設(shè)計(jì)中，若以 mt 表示第 t 號(hào)試驗(yàn)各因素水平搭配所對(duì)應(yīng)指標(biāo)值 xt 的總體真值，以 et 表示第 t 號(hào)試驗(yàn)的隨機(jī)誤差，則有：,這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為 Ln(mk) 型正交表上安排試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，由于各正交表的具體情況不同，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的具體形式不同。下面對(duì)幾個(gè)常用正交表，分別寫出它們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。 4.7.1.1 L4（23）表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 為了方便，在表4-50中列出正交表 L4（23）。,假設(shè)安排兩個(gè)因素A、B。A安排在第 1 列，B安排在第 2 列，根據(jù)各試驗(yàn)號(hào)因素水平的不同，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形式為： x1=…… （1）不考慮交互作用,其中：,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-50所示。 （2）考慮交互作用AB,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-50所示。,,表4-50 L4（23）正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,mij 表示在 Ai 、Bj 組合下指標(biāo)值 xt 的真值（理論值）。,,ai 為因素A在第i 水平時(shí)的效應(yīng)，a1+a2=0; bi 為因素B在第i 水平時(shí)的效應(yīng)，b1+b2=0。,其中：(ab)ij 為Ai 、Bj 組合下交互作用的效應(yīng)。 (ab)11 + (ab)12=0， (ab)21 + (ab)22=0。,4.7.1.2 L8（27）表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),安排4個(gè)2水平因素A、B、C、D。 （1）不考慮交互作用 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-51所示。 （2）考慮交互作用 A、B、C、D分別在1、2、3、7列，兩交互作用列應(yīng)在3、5、6列，以AB為例，其余情況類似。見表4-51所示。 4.7.1.3 L9（34）表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 先列出正交表L9（34），如表4-52所示。 (1)不考慮交互作用 假設(shè)安排3個(gè)因素A、B、C，分別安排在第1、2、3列，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-52所示。,,表4-51 L8(27)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,,a1+a2=0， b1+b2=0， c1+c2=0， d1+d2=0。,表4-52 L9(34)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,,(2) 考慮交互作用,因素A、B，L9（34）正交表的任意兩列間的交互作用為另外兩列，將A、B安排在1、2列，則AB占3、4兩列。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-52。,4.7.2 正交設(shè)計(jì)中的效應(yīng)計(jì)算,由下式： xt= mt+ et ，t = 1，2，3，….，n. et 是隨機(jī)誤差，我們要對(duì) mt 作出估計(jì)，即求出 mt 的估計(jì)值 ，使得滿足：,由L4（23）正交表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式，得殘差平方和為：,得出,記為：,由于a1+ a2 = 0， b1+ b2 = 0， (ab)11+ (ab)21 = 0， (ab)12+ (ab)22 = 0,所以：,記為：,由于 b1+ b2 = 0， (ab)11+ (ab)12 = 0,A因素第一水平指標(biāo)平均值。,同 理,對(duì)應(yīng)水平的指標(biāo)平均值。,所以：,記為：,同 理,對(duì)應(yīng)因素水平搭配的指標(biāo)平均值。,A1B1水平搭配的指標(biāo)平均值。,對(duì)應(yīng)因素水平搭配的指標(biāo)平均值。,采用相同的方法，其它的正交表有一般的效應(yīng)計(jì)算公式：,各因素水平的指標(biāo)平均值。,4.7.3 最優(yōu)方案下指標(biāo)值（理論值）的預(yù)估計(jì) 在正交設(shè)計(jì)中，無論是用一般計(jì)算還是用效應(yīng)計(jì)算分析法，都能確定最優(yōu)方案。如果正交表中正好有這個(gè)最優(yōu)方案，則在這個(gè)方案下的指標(biāo)值已通過試驗(yàn)得出。如果正交表中沒有這個(gè)最優(yōu)方案，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次得出最優(yōu)指標(biāo)值。若不通過試驗(yàn)，由理論分析能否對(duì)最優(yōu)方案的指標(biāo)值作出合理的估計(jì)呢？,例4.17 求例4.12中各因素及交互作用效應(yīng)的估計(jì)值.,解: 參看表4-53。 各效應(yīng)值的計(jì)算與分析見表4-53所示。,回答是肯定的： 對(duì)指標(biāo)值既能作出點(diǎn)估計(jì)又能作出區(qū)間估計(jì)。,下面以一個(gè)實(shí)例，并且利用微軟公司的Excel電子表格軟件，對(duì)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的直觀分析法（包括直觀分析圖）、方差分析法、效應(yīng)分析法三種方法，進(jìn)行一個(gè)綜合性的計(jì)算分析說明，學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析。,例4.18 某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥，指標(biāo)是農(nóng)藥的收率，顯然是越大越好。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，影響農(nóng)藥收率的因素有4個(gè)，每個(gè)因素都是兩水平的，具體參數(shù)見表4-54a所示。考慮A、B的交互作用。選用正交表L8（27）安排試驗(yàn)，按試驗(yàn)號(hào)依次進(jìn)行試驗(yàn)。得出試驗(yàn)結(jié)果分別為（%）：86、95、91、94、91、96、83、88。試進(jìn)行直觀、方差及效應(yīng)分析。,解:,1) 打開電子表格,2）選用L8（27）正交表，從第A列第2行的單元格A2開始輸入L8（27）正交表，將sheet1重命名為L(zhǎng)8（27）正交表。,3）直觀分析（包括直觀分析圖的制作過程）的計(jì)算過程,4）方差分析的計(jì)算過程,5）效應(yīng)分析的計(jì)算過程,此時(shí)效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為：,最優(yōu)方案下指標(biāo)值的點(diǎn)估計(jì)計(jì)算如下：,在進(jìn)行最優(yōu)方案下指標(biāo)值的點(diǎn)估計(jì)時(shí)，應(yīng)只考慮顯著性因素的效應(yīng)，不顯著因素的效應(yīng)值應(yīng)忽略不計(jì)并入誤差項(xiàng)。,最優(yōu)方案下的指標(biāo)值的點(diǎn)估計(jì)式為：,忽略不顯著因素A、B、D的效應(yīng)值,下面對(duì)工程平均值 進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。,對(duì)于正交設(shè)計(jì)：,將因素A、B、D的離差平方和并入誤差項(xiàng)得：,合并后的誤差自由度為：,合并后的誤差均方為：,顯著因素為C和AB，自由度之和為1+1 = 2，總試驗(yàn)次數(shù)為8，所以：,由,所以,因?yàn)橹笜?biāo)值是百分?jǐn)?shù)，所以上限值不會(huì)超過100。,正交試驗(yàn)總結(jié),1、解決多因素、多水平試驗(yàn)是確有成效的。 2、用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，各因素各水平搭配是均衡的，試驗(yàn)次數(shù)不多，但有較強(qiáng)的代表性。用直觀分析法、方差分析法和效應(yīng)分析法都能分析出各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的大小，從而確定出最好的試驗(yàn)方案。用效應(yīng)分析還可以對(duì)指標(biāo)值進(jìn)行趨勢(shì)估計(jì)，反過來可以指導(dǎo)我們的試驗(yàn)過程。,到第五章,