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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 16.5《二項(xiàng)式定理》教案（滬教版） 一、教學(xué)目標(biāo)： 使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理及其證明(數(shù)學(xué)歸納法)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和揭示事物內(nèi)在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力。通過(guò)介紹“楊輝三角”，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育。 二、教學(xué)重、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)及證明 難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的證明 三、教學(xué)過(guò)程： (一)新課引入： 810＝(7+1)10＝710+79+…+7+ ＝2(733＋c133732+…+c32337+2 (提問(wèn))：若今天是星期一，再過(guò)810天后的那一天是星期幾？ 在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3 (提問(wèn))：對(duì)于(a+b)4，(a+b)5 如何展開(kāi)?(利用多項(xiàng)式乘法) (再提問(wèn))：(a+b)100又怎么辦？ (a+b)n(n∈N+)呢？ 我們知道，事物之間或多或少存在著規(guī)律。這節(jié)課，我們就來(lái)研究(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的規(guī)律性 (二)新課： (如何著手研究它的規(guī)律呢)？采用從特殊到一般（不完全歸納）的方法。 規(guī)律：(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根據(jù)以上的歸納，可以想到(a+b)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)是齊次的，它們分別為an, an-1b, an-2b2,…，bn,展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，可以列表： (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 （這表是我國(guó)宋代楊輝于1261年首次發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角，比歐洲至少早了三百年。） 如何從組合知識(shí)得到(a+b)4展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù) (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每個(gè)括號(hào)都不取b，只有一種取法得到a4即種 (2)若只有一個(gè)括號(hào)取b，共有種取法得到a3b (3)若只有兩個(gè)括號(hào)取b，共有種取法得到a2b2 (4)若只有三個(gè)括號(hào)取b，共有種取法得到ab3 (5)若每個(gè)括號(hào)都取b，共有種取法得b4 ………… ∴ (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+) 以上我們采用不完全歸納法得到，不一定可靠，若要說(shuō)明正確，須加以證明(數(shù)學(xué)歸納法)。 證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝(a+b)1=a+b 右邊＝a1+b1=a+b ∴ 等式成立 (2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即(a+b)k=ak+ak-1b+…+ak-rbr+…bk 那么當(dāng)n=k+1時(shí) (分散難點(diǎn)作法) 以 (a+b)4(a+b)與(a+b)k(a+b)進(jìn)行類(lèi)比 (a+b)4(a+b)＝(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b) =（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4）+（a4b+a3b2+ a2b3+ab4+b5） 由組合數(shù)性質(zhì)知 ＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ＝ 則(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5 (a+b)k+1=(a+b)k(a+b)=(ak+ak-1b+…+ak-rbr+…+bk)(a+b)＝(ak+1+akb+…+ak-r+1br+…+abk)+(akb+ak-1b2+…+ak-rbr+1＋…＋bk+1) ＝ak+1+(+)akb+…+(+)ak-rbr+1+…+(+)abk+bk+1 由組合數(shù)性質(zhì)得，= +=，…+=，+=，= ∴(a+b)k+1=ak+1+akb1+…+ak-rbr+1+…+abk+bk+1，即等式成立。 根據(jù)（1）（2）可知，等式對(duì)于任意n∈N+都成立。 一、指出：這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理（板書(shū)），它的特點(diǎn)： 1．項(xiàng)數(shù)：共有(n+1)項(xiàng) 2．系數(shù)：依次為，，，…，…，其中(r＝0，1，2，…n)稱為二項(xiàng)式系數(shù) 說(shuō)明：二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)中某一項(xiàng)系數(shù)是有區(qū)別的。例如：(1＋2x)6展開(kāi)式中第3項(xiàng)中系數(shù)為22＝60而第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是＝15。 3．指數(shù)：an-rbr指數(shù)和為n，a的指數(shù)依次從n遞減到0，b的指數(shù)依次從0遞增到n。 三、小結(jié)： （1）二項(xiàng)式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn是通過(guò)不完全歸納法，并結(jié)合組合的概念得到展開(kāi)式的規(guī)律性，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。 （2）二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)：1．項(xiàng)數(shù) 2．系數(shù) 3．指數(shù) 四、作業(yè)