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1、總結(jié)高等代數(shù)高等代數(shù)多項(xiàng)式線性代數(shù)矩陣向量方程組計(jì)算多項(xiàng)式多項(xiàng)式一元多項(xiàng)式一元多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式2 基本概念基本概念：次數(shù)：最基本的概念和工具整除：多項(xiàng)式之間最基本的關(guān)系帶余除法：最基本的算法，判斷整除.最大公因式：描述多項(xiàng)式之間關(guān)系的復(fù)雜程度互素：多項(xiàng)式之間關(guān)系最簡單的情形既約多項(xiàng)式：最基本的多項(xiàng)式根：最重要的概念和工具一元多項(xiàng)式一元多項(xiàng)式3 重要結(jié)論重要結(jié)論：帶余除法定理對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)和非零多項(xiàng)式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x).最大公因式的存在和表示定理 任意兩個(gè)不全為0的多項(xiàng)式都有最

2、大公因式，且對(duì)于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4 因式分解唯一定理 次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都可分解成有限個(gè)既約多項(xiàng)式之積，且不計(jì)因子次序和常數(shù)因子倍時(shí)，分解唯一.標(biāo)準(zhǔn)分解定理 每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是非零常數(shù),p1,pt,是互不相同的首一既約多項(xiàng)式,n1,nt是正整數(shù).進(jìn)一步,a,p1,pt,n1,nt由f唯一確定.重因式 f無重因式當(dāng)且僅當(dāng)f與其導(dǎo)式互素.5代數(shù)學(xué)基本定理：下列陳述等價(jià)，1.復(fù)數(shù)域上次數(shù)1的多項(xiàng)式總有根

3、2.復(fù)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根3.復(fù)數(shù)域上的既約多項(xiàng)式恰為一次式4.復(fù)數(shù)域上次數(shù)1的多項(xiàng)式可分解成一次式之積.5.實(shí)數(shù)域上的次數(shù)1的既約多項(xiàng)式只有無實(shí)根的二次式6.實(shí)數(shù)域上次數(shù)1的多項(xiàng)式可分解成一次式和二次式之積6 實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理 在實(shí)數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項(xiàng),x1,xt 是f全不互不相同的根,p1,pt是互異、首一、無實(shí)根的二次式.復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理 在復(fù)數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項(xiàng),x1,xt 是f全部互不相同的根,n1,nt分別是這些根的重?cái)?shù).7 多項(xiàng)式作為函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式相等(即對(duì)應(yīng)系數(shù)

4、相同)它們作為函數(shù)相等(即在每點(diǎn)的函數(shù)值相等)它們?cè)趉+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等，這里k是它們次數(shù)的最大者.設(shè)f(x)anxn+.+a1x+a0，若f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值為0，則f(x)恒等于0.8 Eisenstein判別法：設(shè) 是整系數(shù)多項(xiàng)式，若有素?cái)?shù)p使得 則f(x)是有理數(shù)域上的既約多項(xiàng)式.有理根：有理根的分母整除首項(xiàng)系數(shù)，分子整除常有理根的分母整除首項(xiàng)系數(shù)，分子整除常數(shù)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)9l 重要結(jié)論重要結(jié)論 命題1.8.1 若多項(xiàng)式的值全為0，則該多項(xiàng)式必為0.命題1.8.2 每個(gè)n次多項(xiàng)式f均可唯一地表示成齊次多項(xiàng)式之和 ，fn0，且其中fi是0或i次齊次多項(xiàng)式，0in，fi稱為f的i次齊次

5、分量.l 基本概念基本概念：次數(shù)、齊次分量、字典序、首項(xiàng)、對(duì)稱多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理 每個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式，都可唯一地表示成初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式.10矩陣矩陣運(yùn)算運(yùn)算行列式行列式初等變換初等變換和標(biāo)準(zhǔn)形和標(biāo)準(zhǔn)形特殊矩陣特殊矩陣11運(yùn)算及其關(guān)系運(yùn)算及其關(guān)系轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置取逆取逆伴隨伴隨行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加加法法(A+B)T=AT+BTr(A+B)r(A)+r(B)數(shù)數(shù)乘乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘乘 法法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*|AB|=|A|B|

6、r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取取逆逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1|A 1|=|A|1伴伴隨隨(A*)*=|A|n 2A*|A*|=|A|n 1 n,若r(A)=n r(A*)=1,若r(A)=n-1 0,若r(A)n-1其其它它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E當(dāng)當(dāng)A可逆可逆時(shí)時(shí)，A*|A|A 1定義定義性質(zhì)性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置取逆取逆伴隨伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T=k

7、AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*乘法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1伴隨(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當(dāng)當(dāng)A可逆可逆時(shí)時(shí)，A*|A|A 113行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加法r(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A|1伴隨

8、|A*|=|A|n 1 n,若若r(A)=n r(A*)=1,若若r(A)=n 1 0,若若r(A)n 1 其它定義定義性質(zhì)性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14性質(zhì)公式備注轉(zhuǎn)置不變性|AT|=|A|行列地位平等反交換性|.|=|.|換法變換交錯(cuò)性|.|=0齊性|.k.|=k|.|倍法變換統(tǒng)稱線性加性|.+.|=|.|+|.|倍加不變性|.+k.|=|.|消法變換按第k行第k列展開|aij|=ak1Ak1+aknAkn =a1kA1k+ankAnkaj1Ak1+ajnAkn=a1jA1k+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分塊三角矩陣的行列式Cauc

9、hy-Binet 公式Vandermonde行列式定義 性質(zhì)；15Laplace定理(按第i1,.,ik行展開)；分塊三角形行列式16Cauchy-Binet公式公式 設(shè)U是mn矩陣,V是nm矩陣,mn,則1718初等變換初等變換行變換行變換列變換列變換換法變換換法變換倍法變換倍法變換消法變換消法變換對(duì)單位矩陣做一次初等變換對(duì)單位矩陣做一次初等變換對(duì)對(duì)A A做一次做一次行行變換變換 =用相應(yīng)的初等矩陣用相應(yīng)的初等矩陣左左乘以乘以A A對(duì)對(duì)A A做一次做一次列列變換變換 =用相應(yīng)的初等矩陣用相應(yīng)的初等矩陣右右乘以乘以A A19 對(duì)于對(duì)于mn矩陣矩陣A，B下列條件等價(jià)下列條件等價(jià)1.A B，即，即

10、A可由初等變換化成可由初等變換化成B2.有可逆矩陣有可逆矩陣P,Q使得使得PAQ=B3.秩秩A=秩秩B4.A，B的標(biāo)準(zhǔn)型相同的標(biāo)準(zhǔn)型相同 A,B行等價(jià)行等價(jià)有可逆矩陣有可逆矩陣P使得使得A=PB 每個(gè)矩陣都行等價(jià)于唯一一個(gè)每個(gè)矩陣都行等價(jià)于唯一一個(gè)RREF矩陣矩陣 A,B等價(jià)等價(jià)有可逆矩陣有可逆矩陣P,Q使得使得A=PBQ 每個(gè)每個(gè)秩數(shù)為秩數(shù)為r的矩陣都等價(jià)于的矩陣都等價(jià)于矩陣等價(jià)矩陣等價(jià)20可逆矩陣vs列滿秩矩陣對(duì)于對(duì)于n n階矩陣階矩陣A,A,下列條件等價(jià)下列條件等價(jià)1.1.A A是可逆矩陣是可逆矩陣2.2.|A|A|0 03.3.秩秩A=nA=n4.4.有有B B使得使得AB=IAB=I

11、或或BA=IBA=I5.5.A A是有限個(gè)初等矩陣之積是有限個(gè)初等矩陣之積6.6.A(A(行或列行或列)等價(jià)于等價(jià)于I I7.7.A A的列的列(行行)向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)8.8.方程組方程組Ax=0Ax=0沒有非零解沒有非零解9.9.對(duì)任意對(duì)任意b,Ax=bb,Ax=b總有解總有解10.10.對(duì)某個(gè)對(duì)某個(gè)b,Ax=bb,Ax=b有唯一解有唯一解11.11.A A是可消去的是可消去的(即由即由AB=ACAB=AC或或BA=CABA=CA恒可得恒可得B=C)B=C)對(duì)于對(duì)于mrmr矩陣矩陣G,G,下列條件等價(jià)下列條件等價(jià)1.1.G G是列滿秩矩陣是列滿秩矩陣,2.2.G G有一個(gè)有一個(gè)r

12、 r階的非零子式階的非零子式3.3.秩秩G=G=列數(shù)列數(shù)4.4.G G有左逆有左逆,即有即有K K使得使得KG=IKG=I5.5.有矩陣有矩陣H H使得使得(G,H)(G,H)可逆可逆6.6.G G行等價(jià)于行等價(jià)于7.7.G G的列向量組線性無關(guān)的列向量組線性無關(guān)8.8.方程組方程組Gx=0Gx=0沒有非零解沒有非零解9.9.對(duì)任意對(duì)任意b,b,若若Gx=bGx=b有解有解則唯一則唯一10.10.對(duì)某個(gè)對(duì)某個(gè)b,Gx=bb,Gx=b有唯一解有唯一解11.11.G G是左可消去的是左可消去的(即由即由GB=GCGB=GC恒可得恒可得B=C)B=C)21設(shè)A的秩數(shù)為r,則A有如下分解1.,其中P,

13、Q為可逆矩陣 2.A=PE,其中P可逆,E是秩數(shù)為r的RREF3.A=GH,其中G列滿秩,H行滿秩,且秩數(shù)都是r (滿秩分解)矩陣分解矩陣分解221.分塊矩陣的初等變換和Schur公式把初等變換和初等矩陣的思想用到分塊矩陣Schur公式 設(shè)A可逆 兩種常用方法兩種常用方法適用例子:習(xí)題3.7.5;3.7.911:232.正則化方法證明當(dāng)A可逆時(shí)結(jié)論成立 考慮xI+A,有無窮多個(gè)x使得該矩陣可逆 將要證明的結(jié)論歸結(jié)為多項(xiàng)式的相等 若兩個(gè)多項(xiàng)式在無窮多個(gè)點(diǎn)處的值相同,則這兩個(gè)多項(xiàng)式在任意點(diǎn)的值相等,特別地,取x=0.適用例子:習(xí)題3.6.4;3.7.7;3.7.11:24特殊矩陣三角 正規(guī) 可逆對(duì)

14、合 Hermite 反Hermite 酉矩陣 冪等 冪零 對(duì)稱 反對(duì)稱 正交 對(duì)角 純量 25向量線性關(guān)系線性相關(guān)線性無關(guān)線性表示等價(jià)極大無關(guān)組秩數(shù)26線性表示：列向量組1,.,r可由1,.,s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有矩陣C使得(1,.,r)=(1,.,s)C.進(jìn)一步，C的第k列恰為k的表示系數(shù) 線性表示有傳遞性 被表示者的秩數(shù)表示者的秩數(shù)向量組等價(jià)：對(duì)于向量組S，T，下列條件等價(jià)1.S和T等價(jià)，即S,T可以互相表示2.S,T的極大無關(guān)組等價(jià)3.S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示27線性相關(guān)與線性表示：1,.,r線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可由其余的線性表示若,1,.,r線性相關(guān),而1,.,r線性

15、無關(guān),則可由1,.,r線性表示,且表法唯一線性無關(guān)：對(duì)于向量組1,.,r下列條件等價(jià) 1,.,r線性無關(guān) 當(dāng)c1,.,cr不全為0時(shí)，必有c11+.+crr0 當(dāng)c11+.+crr0時(shí)，必有c1.cr0 1,.,r的秩數(shù)等于r(1,.,r)是列滿秩矩陣28極大無關(guān)組與秩數(shù)：1.1,.,rS是S的一個(gè)極大無關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng)1,.,r線性無關(guān)S的每個(gè)向量都可由1,.,r線性表示2.秩S極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)3.若秩Sr,則任何r個(gè)無關(guān)的向量都是極大無關(guān)組4.矩陣的秩數(shù)行向量組的秩數(shù)列向量組的秩數(shù)5.向量組向量組向量空間向量空間解空間解空間極大無關(guān)組極大無關(guān)組基底基底基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系秩數(shù)秩數(shù)維數(shù)維數(shù)n

16、r29向量空間向量空間：加法和數(shù)乘封閉的向量集合基底：向量空間的極大無關(guān)組維數(shù)：向量空間的秩數(shù)行空間：矩陣的行向量組張成的向量空間列空間：矩陣的列向量組張成的向量空間行空間與列向量的維數(shù)都等于矩陣的秩數(shù)對(duì)于矩陣mn矩陣A，B，下列條件等價(jià)A,B行等價(jià)A,B的行空間相同A,B的行向量組等價(jià)A,B的列向量組線性關(guān)系一致Ax=0和Bx=0同解30線性方程組線性方程組的表示方程式：矩陣式：Ax=b,其中A=(aij)mn,x=(xi)n1,b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b,其中i是xi的系數(shù)列31解的判定:1.n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等.具體地，當(dāng)秩A秩(A

17、b)時(shí)，方程組無解當(dāng)秩A秩(A b)n時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)秩A秩(A b)n時(shí)，方程組有無窮解2.線性方程組有解常數(shù)列可由系數(shù)列線性表示.此時(shí),解恰為表示的系數(shù)32解法Cramer法則Gauss-Jordan消元法：用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成RREF寫出RREF方程組取每個(gè)方程的第一個(gè)變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量寫出參數(shù)解或通解33解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0：解空間：解的集合基礎(chǔ)解系：解空間的基底通解：設(shè)1,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,則通解為=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常數(shù)解空間的維數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)系數(shù)矩陣的秩數(shù)設(shè)秩A=r,則Ax=0的任何n-r個(gè)無關(guān)的解都是

18、基礎(chǔ)解系34一般線性方程組Ax=b：Axb和Ax=0的解的關(guān)系：Axb的兩個(gè)解之差是Ax=0的解Axb的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的線性組合是設(shè)Sb和S0分別表示Axb和Ax=0的解集合，則SbS0+，Sb通解：設(shè)1,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,是Ax=b的一個(gè)解,則通解為=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常數(shù)Ax=0的解，當(dāng)系數(shù)和0時(shí)；Ax=b的解，當(dāng)系數(shù)和1時(shí).35多項(xiàng)式的計(jì)算帶余除法求最大公因式(輾轉(zhuǎn)相除法)求有理根：有理根的分母整除首項(xiàng)系數(shù)，分子整除常數(shù)項(xiàng)既約性判別：Eisenstein判別法重因式判別特殊多項(xiàng)式的因式分解用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示對(duì)稱多項(xiàng)式計(jì)算36矩

19、陣計(jì)算行列式：化三角形；展開+遞推求逆矩陣：行變換；伴隨求秩數(shù)：初等變換；定義37方程組的計(jì)算1.求基礎(chǔ)解系：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)已知秩Ar，則任何r個(gè)無關(guān)解都是基礎(chǔ)解系2.求通解：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)3.帶參數(shù)的方程組：先化簡，再判定.可先考慮唯一解的情形.特別是有系數(shù)行列式時(shí).38向量的計(jì)算設(shè)S：1,.,s是n元向量組(無論行或列)求S的秩數(shù)：S的秩數(shù)=它組成的矩陣的秩數(shù) 判斷S的相關(guān)性：設(shè)x11+.+xss=0,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有非零解，則S相關(guān)；否則，無關(guān).求S的秩數(shù).若秩Ss,則相關(guān)；若秩Ss,則無關(guān) 線性表示：令=x11+.+xss,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有(唯一)解，則可由S(唯一)表示，且方程組的解就是表示的系數(shù)；否則，不可由S表示.39 求極大無關(guān)組：若已知秩Sr，則在S中找出r的無關(guān)的向量即可 將S中的向量寫成列的形式組成矩陣，對(duì)矩陣作行變換，化成階梯形或RREF，則S與階梯矩陣的列向量組線性關(guān)系一致.4041