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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1《參數(shù)方程的概念》教案 新人教版選修4-4 目標(biāo)點(diǎn)擊： 1． 理解參數(shù)方程的概念，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義； 2． 熟悉參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握他們的互化法則； 3． 會(huì)選擇最常見(jiàn)的參數(shù)，建立最簡(jiǎn)單的參數(shù)方程，能夠根據(jù)條件求出直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)等常用曲線(xiàn)的一些參數(shù)方程并了解其參數(shù)的幾何意義； 4． 靈活運(yùn)用常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程解決有關(guān)的問(wèn)題. 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)擊： 1、 曲線(xiàn)的參數(shù)方程 在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)， (1) 并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組(1)所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線(xiàn)上，那么方程組(1)叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程. 聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù). 2、 求曲線(xiàn)的參數(shù)方程 求曲線(xiàn)參數(shù)方程一般程序： (1) 設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2) 選參：選擇合適的參數(shù)； (3) 表示：依據(jù)題設(shè)、參數(shù)的幾何或物理意義，建立參數(shù)與x，y的關(guān)系 式，并由此分別解出用參數(shù)表示的x、y的表達(dá)式. (4) 結(jié)論：用參數(shù)方程的形式表示曲線(xiàn)的方程 3、 曲線(xiàn)的普通方程 相對(duì)與參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，把直接確定曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲線(xiàn)C的普通方程. 4、 參數(shù)方程的幾個(gè)基本問(wèn)題 (1) 消去參數(shù)，把參數(shù)方程化為普通方程. (2) 由普通方程化為參數(shù)方程. (3) 利用參數(shù)求點(diǎn)的軌跡方程. (4) 常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程. 5、 幾種常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程 (1) 直線(xiàn)的參數(shù)方程 (ⅰ)過(guò)點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線(xiàn)段的數(shù)量，P() 為直線(xiàn)上任意一點(diǎn). (ⅱ)過(guò)點(diǎn)P0()，斜率為的直線(xiàn)的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)） （2）圓的參數(shù)方程 (ⅰ)圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))的幾何意義為“圓心角” (ⅱ)圓的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）的幾何意義為“圓心角” （3）橢圓的參數(shù)方程 (ⅰ)橢圓 () 的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） (ⅱ)橢圓 ()的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）的幾何意義為“離心角” (4)雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程 (ⅰ)雙曲線(xiàn) 的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） (ⅱ)雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）的幾何意義為“離心角” （5） 拋物線(xiàn)的參數(shù)方程 (p>0) 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)） 其中t的幾何意義是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜 率的倒數(shù)（頂點(diǎn)除外）. 考點(diǎn)簡(jiǎn)析：參數(shù)方程屬每年高考的必考內(nèi)容，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，從兩個(gè)方面考查（1）參數(shù)方程與普通方程的互化與等價(jià)性判定；（2）參數(shù)方程所表示的曲線(xiàn)的性質(zhì). 題型一般為選擇題、填空題. 一、 參數(shù)方程的概念 一）目標(biāo)點(diǎn)擊： 1、 理解參數(shù)方程的概念，能識(shí)別參數(shù)方程給出的曲線(xiàn)或曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)； 2、 熟悉參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握他們的互化法則； 3、 能掌握消去參數(shù)的一些常用技巧：代人消參法、三角消參等； 4、 能了解參數(shù)方程中參數(shù)的意義，運(yùn)用參數(shù)思想解決有關(guān)問(wèn)題； 二）概念理解： 1、例題回放： 問(wèn)題1：（請(qǐng)你翻開(kāi)黃崗習(xí)題冊(cè)P122,閱讀例題） 已知圓C的方程為，過(guò)點(diǎn)P1(1,0) 作圓C的任意弦， 交圓C于另一點(diǎn)P2,求P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程. 書(shū)中列舉了六種解法，其中解法六運(yùn)用了什么方法求得M點(diǎn)的軌跡方程？此種方法是如何設(shè)置參數(shù)的，其幾何意義是什么？ 設(shè)M() ，由 ，消去k,得，因M與 P1不重合，所以M點(diǎn)的軌跡方程為（） 解法六的關(guān)鍵是沒(méi)有直接尋求中點(diǎn)M的軌跡方程,而是通過(guò)引入第三個(gè)變量k（直線(xiàn)的斜率），間接地求出了x與y的關(guān)系式，從而求得M點(diǎn)的軌跡方程.實(shí)際上方程（1）和（）（2）都表示同一個(gè)曲線(xiàn)，都是M點(diǎn)的軌跡方程.這兩個(gè)方程是曲線(xiàn)方程的兩種形式. 方程組（1）是曲線(xiàn)的參數(shù)方程，變數(shù)k是參數(shù)，方程（2）是曲線(xiàn)的普通方程. 由此可以看出參數(shù)方程和普通方程是同一曲線(xiàn)的兩種不同的表達(dá)形式.我們對(duì)參數(shù)方程并不陌生，在求軌跡方程的過(guò)程中，我們通過(guò)設(shè)參變量k,先求得曲線(xiàn)的參數(shù)方程再化為普通方程，進(jìn)而求得軌跡方程.參數(shù)法是求軌跡方程的一種比較簡(jiǎn)捷、有效的方法. 問(wèn)題2：幾何課本3.1曲線(xiàn)的參數(shù)方程一節(jié)中，從研究炮彈發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律， 得出彈道曲線(xiàn)的方程.在這個(gè)過(guò)程中，選擇什么量為參數(shù)，其物理意 義是什么？參數(shù)的取值范圍？ 通過(guò)研究炮彈發(fā)射后彈道曲線(xiàn)的方程說(shuō)明： 1） 形如的方程組，描述了運(yùn)動(dòng)軌道上的每一個(gè)位置() 和時(shí)間t的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 2） 我們利用“分解與合成”的方法研究和認(rèn)識(shí)了形如的方程組表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 3)參數(shù)t的取值范圍是由t的物理意義限制的. 2、曲線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)C的關(guān)系 在選定的直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程 t （*）與曲線(xiàn)C滿(mǎn)足以下條件： （1） 對(duì)于集合D中的每個(gè)t0，通過(guò)方程組（*）所確定的點(diǎn)（） 都在曲線(xiàn)C上； （2） 對(duì)于曲線(xiàn)C上任意點(diǎn)（），都至少存在一個(gè)t0，滿(mǎn)足 則 曲線(xiàn)C 參數(shù)方程 t 3、曲線(xiàn)的普通方程與曲線(xiàn)的參數(shù)方程的區(qū)別與聯(lián)系 曲線(xiàn)的普通方程＝0是相對(duì)參數(shù)方程而言，它反映了坐標(biāo)變量與y之間的直接聯(lián)系；而參數(shù)方程 t是通過(guò)參數(shù)t反映坐標(biāo)變量與y之間的間接聯(lián)系.曲線(xiàn)的普通方程中有兩個(gè)變數(shù)，變數(shù)的個(gè)數(shù)比方程的個(gè)數(shù)多1；曲線(xiàn)的參數(shù)方程中，有三個(gè)變數(shù)兩個(gè)方程，變數(shù)的個(gè)數(shù)比方程的個(gè)數(shù)多1個(gè).從這個(gè)意義上講，曲線(xiàn)的普通方程和參數(shù)方程是“一致”的. 消去參數(shù) 恰當(dāng)選擇參數(shù) 參數(shù)方程 普通方程 ； 普通方程 參數(shù)方程 這時(shí)普通方程和參數(shù)方程是同一曲線(xiàn)的兩種不同表達(dá)形式. 問(wèn)題3：方程（）；方程（）是參數(shù)方程嗎？ 參數(shù)方程與含參數(shù)的方程一樣嗎？ 方程（）表示圓心在原點(diǎn)的圓系，方程（）表示共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系。 曲線(xiàn)的參數(shù)方程 （t為參數(shù)，t）是表示一條確定的曲線(xiàn)； 含參數(shù)的方程＝0卻表示具有某一共同屬性的曲線(xiàn)系，兩者是有原則區(qū)別的. 三）基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)撥： 例1：已知參數(shù)方程 [0,2)判斷點(diǎn)A(1,)和B(2,1)是否在方 程的曲線(xiàn)上. 解：把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入方程得 (1)，(2)，在[0,2)內(nèi)，方程組(1)的解是，而方程組(2)無(wú)解，故A點(diǎn)在方程的曲線(xiàn)上，而B(niǎo)點(diǎn)不在方程的曲線(xiàn)上. 1、參數(shù)方程化普通方程 例2：化參數(shù)方程（t≥0,t為參數(shù)）為普通方程，說(shuō)明方程的曲線(xiàn)是什么圖形. 解: 由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得 (y≥1)即 (y≥1)方程的曲線(xiàn)是頂點(diǎn)為(0,1),對(duì)稱(chēng)軸平行于x軸，開(kāi)口向左的拋物線(xiàn)的一部分. 點(diǎn)撥：先由一個(gè)方程解出t，再代入另一個(gè)方程消去參數(shù)t,得到普通方程，這種方法是代入消參法. 例3：當(dāng)tR時(shí)，參數(shù)方程（t為參數(shù)），表示的圖形是（ ） A 雙曲線(xiàn) B 橢圓 C 拋物線(xiàn) D 圓 解法1：原方程可化為(1)(2)得：代入(2) 得(y≠-1) 答案選B 解法2：令tg= Z) 則 消去，得(y≠-1) 點(diǎn)撥：解法1使用了代數(shù)消元法，解法2觀察方程（1）、（2）的“外形”很像 三角函數(shù)中的萬(wàn)能公式，使用了三角消參法. 當(dāng)x和y是t的有理整函數(shù)時(shí)，多用代入或加減消元法消去參數(shù)； 當(dāng)x和y是t的有理分式函數(shù)時(shí)，也可以用代入消參法，但往往需要做 些技巧性的處理.至于三角消參法，只在比較巧合的情況下使用. 例4：將下列方程化為普通方程： (1) （為參數(shù)） (2) （t為參數(shù)） 解:(1)做＝(cos2+sin2+sin)－(1+sin)＝0 ＝0，但由于，即0≤≤. ∴參數(shù)方程只表示拋物線(xiàn)的一部分，即（0≤≤） (2)解方程組得(1) (2) (1)(2)得＝1 從知≥1（提示應(yīng)用均值定理） 所求的普通方程為＝1 (≥1) 點(diǎn)撥：(1)從方程組的結(jié)構(gòu)看含絕對(duì)值，三角函數(shù)，通過(guò)平方去絕對(duì)值，利用三 角消參法化為普通方程； (2)觀察方程組的結(jié)構(gòu)，先利用消元法，求出，,再消t. 方法總結(jié)：將參數(shù)方程化普通方程方法：（基本思想是消參） (1)代入消參法； (2)代數(shù)變換法（＋，－，，，乘方） (3)三角消參法 注意：參數(shù)取值范圍對(duì)取值范圍的限制.(參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性） 2、普通方程化參數(shù)方程 例5：設(shè)，為參數(shù)，化方程為參數(shù)方程。 解：消y得 ∴ 由于R，所以和所確定的取值范圍是一致的，故主要任選其一構(gòu)成參數(shù)方程即可. 所求的參數(shù)方程為R 例6：以過(guò)點(diǎn)A(0,4)的直線(xiàn)的斜率k為參數(shù)，將方程4＝16化成參數(shù)的 方程是 . 解：設(shè)M()是橢圓4＝16上異于A的任意一點(diǎn)，則， (≠0）以代入橢圓方程，得=0, ∴ 另有點(diǎn) ∴所求橢圓的參數(shù)方程為 或 方法總結(jié)：將普通方程化參數(shù)方程方法： 消去x 已知 四）基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試： 1、曲線(xiàn)（t為參數(shù)）與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A （1，4） B （，0） C （1，－3） D （，0） 2、在曲線(xiàn)（t為參數(shù)）上的點(diǎn)是（ ） A （0，2） B （－1，6） C （1，3） D （3，4） 3、參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線(xiàn)是（ ） A 直線(xiàn) B 拋物線(xiàn) C 橢圓 D 雙曲線(xiàn) 4、與參數(shù)方程（t為參數(shù), tR）表示同一曲線(xiàn)的方程是（ ） A （t為參數(shù), tR） B （t為參數(shù), tR） C （為參數(shù), R） D （t為參數(shù), tR） 5、曲線(xiàn) （0<<1）的參數(shù)方程是（ ） A （為參數(shù), ,kZ） B （t為參數(shù), t≠0） C （為參數(shù), 為銳角） D （為參數(shù), , kZ） 6、 根據(jù)所給條件，把下列方程化為參數(shù)方程： (1) ,設(shè)，是參數(shù)，為正常數(shù)； (2) , , t為參數(shù)； (3) ，是參數(shù). 7、已知?jiǎng)訄A方程（為參數(shù)） 那么圓心軌跡是（ ） A 橢圓 B 橢圓的一部分 C 拋物線(xiàn) D 拋物線(xiàn)的一部分 8、（提高）已知曲線(xiàn)系C的方程16x2+4y2-32xcos-16ysin2-4sin22=0（ 為任意值）求曲線(xiàn)系中各條曲線(xiàn)中心的軌跡. 五）同步練習(xí)： 1、解析幾何習(xí)題冊(cè)：P46,一 參數(shù)方程 2、黃岡習(xí)題冊(cè)：P156、演練平臺(tái)；P157演練平臺(tái). 來(lái)源：