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第2課時 雙曲線方程及性質的應用,類型 一 直線與雙曲線的位置關系的判定 【典型例題】 1.(2013汝陽高二檢測)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的 右支交于不同的兩點,那么k的取值范圍是( ) A.(- , ) B.(0, ) C.(- ,0) D.(- ,-1),2.(2013大理高二檢測)已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2).求過點P(1,2)的直線l的斜率的取值范圍,使l與C只有一個交點. 【解題探究】1.題1中直線y=kx+2過定點嗎? 2.“當直線l與雙曲線有且只有一個交點時,則Δ=0”,這句話對嗎?,探究提示: 1.直線y=kx+2恒過定點(0,2). 2.這句話不正確.當直線與雙曲線只有一個公共點時,除了Δ=0的情況,還有直線與漸近線平行的情況.,【解析】1.選D.方法一:直線y=kx+2過定點(0,2)(如圖), 由圖可知,l2∥漸近線,且 =-1,l1與雙曲線相切,若l1的斜率為 ,那么顯然當 k-1時,直線與雙曲線的右支有兩個 不同的公共點. 由 得(1-k2)x2-4kx-10=0, 令Δ=0可解得 (舍). 故由圖可知k的取值范圍是(- ,-1).,方法二:由 得(k2-1)x2+4kx+10=0. 設直線與雙曲線的兩交點為(x1,y1),(x2,y2), ∵兩交點都在雙曲線的右支上, ∴,∴ ∴- k-1.,2.先設直線l的方程為y-2=k(x-1), 代入雙曲線C的方程,整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) ①當2-k2=0,即k= 時,直線與雙曲線的漸近線平行, 此時只有一個交點;,②當2-k2≠0時,令Δ=0,得k= ,此時只有一個公共點. 又點(1,2)與雙曲線的右頂點(1,0)在直線x=1上,而x=1為雙曲 線的一條切線, ∴當斜率不存在時,直線與雙曲線只有一個公共點. 綜上所述,當k= 或k= 或斜率不存在時,l與C只有一個交 點.,【互動探究】題1中,若直線與雙曲線有兩個不同的公共點,k的取值范圍如何? 【解析】由 得(k2-1)x2+4kx+10=0. 當k2-1≠0即k≠1時,由Δ=(4k)2-410(k2-1)0, 得 故k的取值范圍為(- ,-1)∪(-1,1)∪(1, ).,【拓展提升】直線與雙曲線交點個數問題的處理方法 把直線與雙曲線的方程聯立成方程組,通過消元后化為一元二次方程,在二次項系數不為零的情況下考察方程的判別式. (1)Δ0時,直線與雙曲線有兩個不同的交點. (2)Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點. (3)Δ0時,直線與雙曲線沒有公共點. 另外,當直線平行于雙曲線的漸近線時,直線與雙曲線只有一個公共點,故直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要而不充分條件.,【變式訓練】已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試討論實數k的取值范圍,使: (1)直線l與雙曲線有一個公共點. (2)直線l與雙曲線有兩個公共點. (3)直線l與雙曲線沒有公共點.,【解析】由 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 當1-k2=0,即k=1時,直線l與雙曲線的漸近線平行,方程化為2x=5,故此時方程(*)只有一個實數解; 當1-k2≠0,即k≠1時,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).,當 即 且k≠1時,方程(*)有 兩個不同的實數解; 當 即k= 時,方程(*)有兩個相同的實數解; 當 即k 時,方程(*)無實數解.,綜上所述: (1)當k=1或k= 時,直線與雙曲線有一個公共點. (2)當- 時,直線與雙曲線沒有公共點.,類型 二 直線與雙曲線的相交弦問題 【典型例題】 1.過點(0,1)且斜率為1的直線交雙曲線 于A,B兩點, 則|AB|= . 2.經過點M(2,2)作直線l交雙曲線 于A,B兩點,且M為 AB中點. (1)求直線l的方程. (2)求線段AB的長.,【解題探究】1.弦長公式的內容是什么? 2.解決中點弦問題的常用方法是什么? 探究提示: 1.|AB|= |x1-x2|或|AB|= |y1-y2| (其中k是直線的斜率,當k=0時用前者). 2.解決中點弦問題的常用方法是點差法,即把兩端點代入曲線方程作差,利用平方差公式得直線斜率再求解.,【解析】1.可知直線的方程為y=x+1. 與雙曲線方程x2- =1聯立消去y得, 3x2-2x-5=0. 設方程3x2-2x-5=0的解為x1,x2,則有 x1+x2= ,x1x2=- , ∴|AB|= |x1-x2|= = 答案:,2.(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),代入雙曲線方程得 兩式相減得 , (x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0. ∵M為AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=4, ∴4(x1-x2)-(y1-y2)=0, ∴l(xiāng)的方程為y-2=4(x-2),即y=4x-6.,(2)將y=4x-6代入到 中得3x2-12x+10=0, 故x1+x2=4,x1x2= ∴|AB|=,【拓展提升】 1.直線和雙曲線相交所得弦長的兩種求法,2.中點弦問題的兩種處理方法,【變式訓練】雙曲線 A(8,4),過A作直線l交雙 曲線于P,Q,A恰為PQ的中點,求直線l的方程. 【解析】設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=16,y1+y2=8. 由 得 =,∴k= ∴由點斜式得y-4= (x-8), 即9x-8y-40=0, 把x=8代入 得y2=2742, ∴點(8,4)在雙曲線的內部,即以(8,4)為中點的直線是存在的,故直線l的方程為9x-8y-40=0.,類型 三 與雙曲線有關的綜合問題 【典型例題】 1.(2013桂林高二檢測)已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點A,B都在某雙曲線上,且A,B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分,則此雙曲線的標準方程為( ) A. B. C. D.,2.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率 為 ,且過點(4,- ). (1)求雙曲線的方程. (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證: =0. (3)求△F1MF2的面積.,【解題探究】1.題1中,雙曲線兩頂點三等分焦距,能得出什么結論? 2.雙曲線上的點具有什么性質?平面向量數量積的坐標形式怎樣表達? 探究提示: 1.結論是2a= 2c,即c=3a. 2.(1)若點P在雙曲線上,則①點P的坐標一定適合于雙曲線的方程;②點P滿足定義,即||PF1|-|PF2||=2a. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,【解析】1.選B.在x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=3,∴A(0,3),B(0,-3), ∵A,B在雙曲線上, ∴a=3,又A,B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分, ∴2a= 2c,∴c=9,從而b2=c2-a2=81-9=72. ∵雙曲線的焦點在y軸上, ∴雙曲線的標準方程為,2.(1)∵e= ,∴可設雙曲線方程為x2-y2=λ. ∵過點(4,- ),∴16-10=λ,即λ=6. ∴雙曲線方程為x2-y2=6. (2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b= ∴c=2 ,∴F1(-2 ,0),F2(2 ,0). ∴,∵點(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3, 故 =-1,∴MF1⊥MF2.∴ =0. 方法二:由(1)可知 =(-3-2 ,-m), =(2 -3,-m), ∴ =(3+2 )(3-2 )+m2=-3+m2. ∵M點在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴ =0. (3)△F1MF2的底|F1F2|=4 ,由(2)知m= . ∴△F1MF2的高h=|m|= ,∴ =6.,【拓展提升】與雙曲線有關的綜合問題的三點說明,【變式訓練】已知雙曲線C: (a0,b0),B是右頂 點,F是右焦點,點A在x軸的正半軸上,且滿足 成等比數列,過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線 l,垂足為P. (1)求證 (2)若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D,E,求雙曲線C的離心率e的取值范圍.,【解題指南】(1)寫出直線l的方程,與雙曲線方程聯立,解得P點坐標,寫出向量的坐標后表示出數量積,從而得到證明.(2)利用根的判別式且x1x20建立不等式,通過解不等式求得e的取值范圍.,【解析】(1)設直線l:y=- (x-c), 由 得P( ). ∵ 成等比數列,∴A( ,0). ∴ ∴ ∴,(2)聯立方程組 整理,得b2x2- (x-c)2=a2b2, 即 ∵x1x2= a4, 即b2a2,c2-a2a2,∴e22,即e .,【規(guī)范解答】設而不求的思想在解雙曲線綜合問題中的應用,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】(1)設雙曲線方程為 (a0,b0). 由已知得a= ,c=2,再由a2+b2=22,得b2=1. 故雙曲線C的方程為 -y2=1.……………………………3分 (2)將y=kx+ 代入 -y2=1得(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得 ① 即k2≠ 且k21.(*)…………………………………………6分,設A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB= ,xAxB= …7分 由 2得xAxB+yAyB2, ② …………………………………………………………………9分 于是 即 解此不等式得 k23.(**) 由(*)(**)得 k21.………………………………………11分 故k的取值范圍為(-1,- )∪( ,1).………………12分,【失分警示】,【防范措施】 1.關注題目中的每個條件 做雙曲線的綜合題要養(yǎng)成嚴謹的習慣,題中的任何條件都不要遺漏,當然也包括隱含條件,如本例中“恒有兩個不同交點”,意思是“Δ0”. 2.設而不求思想的應用 解決雙曲線的綜合問題,常涉及等價轉化及方程的思想,以及整體的思想和設而不求的思想,“設而不求”是解決問題的常見方法,如本例中設出A,B兩點坐標,但并不需要求出這兩點的坐標.,【類題試解】已知直線kx-y+1=0與雙曲線 相交于 兩個不同點A,B. (1)求k的取值范圍. (2)若x軸上的點M(3,0)到A,B兩點的距離相等,求k的值. 【解析】(1)由 得(1-2k2)x2-4kx-4=0. ∴ 解得:-1k1且k≠ .,(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= ,設P為AB中點, 則P( ), 即P( ).∵點M(3,0)到A,B兩點的距離相等,∴MP⊥AB,∴kMPkAB=-1, 即k =-1,解得k= 或k=-1(舍去),∴k= .,1.已知雙曲線9y2-m2x2=1(m0)的一個頂點到它的一條漸近線 的距離為 ,則m=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.雙曲線的頂點為(0,- )和(0, ),漸近線方程 為3ymx=0.由點到直線的距離公式得 ∵m0,∴解得m=4.,2.過點A(4,3)作直線l,如果它與雙曲線 只有一 個公共點,則直線l的條數為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.把點A代入雙曲線方程可知,點A在雙曲線上,所以過A且與雙曲線只有一個公共點的直線有3條,其中一條為切線,另兩條分別平行于漸近線.經驗證切線所在的直線與漸近線不平行,故直線l的條數為3.,3.過雙曲線 (a0,b0)的一個焦點F作一條漸近線 的垂線,若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上,則雙 曲線的離心率為( ) A. B. C. D.,【解析】選B.如圖,不妨設F為右焦點, 向漸近線y= x所作垂線的垂足為P, 則由題知|PO|=|PF|, ∴∠POF=45, 即 =1, ∴雙曲線的離心率 故選B.,4.直線2x-3y=0被雙曲線2x2-3y2=6截得的弦長是 . 【解析】由 得 和 ∴弦長為 答案:2,5.雙曲線 與 的離心率分別為e1與e2, 則e1+e2的最小值為 . 【解析】e1= ,e2= ∴(e1+e2)2= ≥2+2+22=8.e1+e2≥ =2 (當且僅當b=a時“=”成立). 答案:2,6.雙曲線的中心為原點O,焦點在x軸上,兩條漸近線分別為 l1,l2,經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點,已知 雙曲線離心率為 ,設AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求 雙曲線的方程.,【解析】∵ ∴ 即a=2b.又∵雙曲線的焦點在x軸上, ∴可以設雙曲線的方程為x2-4y2=4b2. ① 不妨令l1的斜率為 ,c= b知, 直線AB的方程為y=-2(x- b) ② 將②代入①并化簡,得15x2-32 bx+84b2=0. 設直線AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),,則x1+x2= ,x1x2= 于是AB被雙曲線截得的線段長為 |x1-x2| = = 由已知,得 b=4,解得b=3,a=6,故雙曲線的方程為,