《高中數(shù)學(xué) 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課件 新人教A版選修2-3 .ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課件 新人教A版選修2-3 .ppt（50頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差,1.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì) (1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義: 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 ①方差D(X)=______________. ②標(biāo)準(zhǔn)差為______. (2)方差的性質(zhì):D(aX+b)=______.,a2D(X),2.兩個(gè)常見分布的方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=_______. (2)若X～B(n,p),則D(X)=________.,p(1-p),np(1-p),1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定. ( ) (2)若a是常數(shù),則D(a)=0. ( ) (3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度. ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越不穩(wěn)定. (2)正確.因?yàn)镋(a)=a,所以D(a)=0. (3)正確.由離散型隨機(jī)變量的方差的幾何意義可知,其反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度. 答案:(1) (2)√ (3)√,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且成功的概率p=0.5,則E(X)和 D(X)分別為 . (2)設(shè)隨機(jī)變量ξ～B ,則D(ξ)= . (3)如果X是離散型隨機(jī)變量,Y=3X+2,那么D(Y)= D(X).,【解析】(1)因?yàn)閄服從兩點(diǎn)分布, 所以X的概率分布為 所以E(X)=00.5+10.5=0.5, D(X)=0.520.5+(1-0.5)20.5=0.25. 答案:0.5和0.25,(2)因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B , 所以D(ξ)= 答案: (3)由于X是離散型隨機(jī)變量,Y=3X+2呈線性關(guān)系,代入公式,則 E(Y)=3E(X)+2,D(Y)=32D(X)=9D(X). 答案:9,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì) 1.對(duì)隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的五點(diǎn)說明 (1)隨機(jī)變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的. (2)隨機(jī)變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量X取值的穩(wěn)定性和波動(dòng)、集中與離散程度.,(3)D(X)越小,隨機(jī)變量X的取值就越穩(wěn)定,波動(dòng)就越小. (4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位,所以在實(shí)際問題中應(yīng) 用更廣泛. (5)方差也可用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2計(jì)算(可由 pi展開整理得).,2.隨機(jī)變量的方差和樣本方差之間的關(guān)系,3.方差具有的性質(zhì) 當(dāng)a,b均為常數(shù)時(shí),隨機(jī)變量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ).特別地: (1)當(dāng)a=0時(shí),D(b)=0,即常數(shù)的方差等于0. (2)當(dāng)a=1時(shí),D(ξ+b)=D(ξ),即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差本身.,(3)當(dāng)b=0時(shí),D(aξ)=a2D(ξ),即隨機(jī)變量與常數(shù)之積的方差,等于這個(gè)常數(shù)的平方與這個(gè)隨機(jī)變量方差的乘積. (4)當(dāng)a,b均為非零常數(shù)時(shí),隨機(jī)變量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ).,【知識(shí)拓展】證明公式D(X)=E(X2)-(E(X))2 證明:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn =( p1+ p2+…+ pn)-2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn) +(E(X))2(p1+p2+…+pn) =E(X2)-2(E(X))2+(E(X))2 =E(X2)-((E(X))2. 利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2可以簡化求方差的過程.,【微思考】 (1)數(shù)學(xué)期望與方差表示的含義相同嗎? 提示:不同.數(shù)學(xué)期望是概率意義下的平均值,而方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度. (2)兩點(diǎn)分布的方差同二項(xiàng)分布的方差存在什么關(guān)系? 提示:由于兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布,故兩點(diǎn)分布的方差同二項(xiàng)分布的方差存在特殊與一般的關(guān)系.,【即時(shí)練】 (2014杭州高二檢測(cè))某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù),若選出的男生人數(shù)為ξ,則ξ的方差D(ξ)= . 【解析】依題意得,隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布, 隨機(jī)變量ξ表示其中男生的人數(shù),ξ可能取的值為1,2,3.,所以X的分布列為： 由分布列可知E(ξ)= =2, 又E(ξ2)= , 所以D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2 = -22=0.4. 答案:0.4,【題型示范】 類型一 離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算 【典例1】 (1)同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ,則D(ξ)= ( ),(2)已知X的分布列為 設(shè)Y=2X+3.求E(Y),D(Y).,【解題探究】1.題(1)中兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)ξ服從什么分布? 2.題(2)中,可以根據(jù)分布列直接計(jì)算出哪個(gè)量的期望與方差? 【探究提示】1.兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)ξ～B . 2.可以利用公式計(jì)算出E(X)與D(X).,【自主解答】(1)選A.兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的概率為 故ξ～B ， 因此D(ξ)= (2)由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知 E(X)= D(X)= 所以E(Y)=E(2X+3)= D(Y)=D(2X+3)=,【延伸探究】在題(1)的條件不變的情況下，求“兩枚硬幣不 同時(shí)出現(xiàn)同面的次數(shù)η的方差”. 【解題指南】不同時(shí)出現(xiàn)同面的次數(shù)η～B . 【解析】不同時(shí)出現(xiàn)同面的概率為 .由題意可 知，同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次，不同時(shí)出現(xiàn)同面的次數(shù) η～B ，故D(η)= =2.5.,【方法技巧】 1.求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法 (1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布):直接利用定 義求解,先求均值,再求方差. (2)已知分布列是兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布型:直接套用公式求解,具體如下, ①若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p). ②若X～B(n,p),則D(X)=np(1-p).,(3)未知分布列型:求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)先求得分布列,然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況. (4)對(duì)于已知D(X)求D(aX+b)型,利用方差的性質(zhì)求解,即利用D(aX+b)=a2D(X)求解.,2.求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟 (1)理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值. (2)求ξ取各個(gè)值的概率,寫出分布列. (3)根據(jù)分布列,由期望的定義求出E(ξ). (4)根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出D(ξ), .若ξ～B(n,p), 則不必寫出分布列,直接用公式計(jì)算即可.,【變式訓(xùn)練】(2014浙江高考)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2， 若P(ξ=0)= ，E(ξ)=1,則D(ξ)=_____________. 【解題指南】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的相關(guān)知識(shí)計(jì) 算．,【解析】設(shè)ξ=1時(shí)的概率為p， 則 解得p= ， 故 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)有25道選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有 4個(gè)選擇項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確,每選一個(gè)正確答案得 4分,不作出選擇或選錯(cuò)的不得分,滿分100分,某學(xué)生選對(duì)任一 題的概率為0.8,則此學(xué)生在這一次測(cè)試中的成績的D(ξ) = .,【解析】設(shè)學(xué)生答對(duì)題數(shù)為η,成績?yōu)棣?則η～B(25,0.8), ξ=4η, 則此學(xué)生在這一次測(cè)試中的成績的 D(ξ)=D(4η)=16D(η)=16250.80.2=64. 答案:64,類型二 方差的應(yīng)用 【典例2】 (1)有甲、乙兩種水稻,測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計(jì)算出樣本方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計(jì) ( ) A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊 B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊 C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同 D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較,(2)甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平.,【解題探究】1.題(1)中樣本的方差與樣本的整齊程度有什么關(guān)系? 2.題(2)中分析甲、乙的射擊水平差異需比較哪些量? 【探究提示】1.樣本的方差越小(大),則樣本越整齊(不整齊). 2.通過比較甲、乙的期望與方差分別說明甲、乙的射擊技術(shù)平均水平及其穩(wěn)定性差異.,【自主解答】(1)選B.因?yàn)镈(X甲)D(X乙),所以乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊. (2)設(shè)甲擊中環(huán)數(shù)為ξ1,乙擊中環(huán)數(shù)為ξ2. E(ξ1)=80.2+90.6+100.2=9, D(ξ1)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4; 同理有E(ξ2)=9,D(ξ2)=0.8. 由上可知,E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2).,所以,在射擊之前,可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近,均在9環(huán)左右,但甲所得環(huán)數(shù)較集中,以9環(huán)居多,而乙得環(huán)數(shù)較分散,得8,10環(huán)的次數(shù)多些.故甲射手的射擊水平較高.,【方法技巧】利用均值和方差的意義解決實(shí)際問題的步驟 (1)比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算均值,看一下誰的平均水平高. (2)在均值相等的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定. (3)下結(jié)論.依據(jù)均值和方差的幾何意義做出結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息: 根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?,【解析】根據(jù)月工資的分布列,利用計(jì)算器可算得 E(X1)=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1 =1400, D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000; E(X2)=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400, D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1=160000.,因?yàn)镋(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),所以兩家單位的工資均值相等,但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中,乙單位不同職位的工資相對(duì)分散.這樣,如果你希望不同職位的工資差距小一些,就選擇甲單位;如果你希望不同職位的工資差距大一些,就選擇乙單位.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】A,B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件,每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí),出次品的概率如下表所示: A機(jī)床 B機(jī)床 問哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好.,【解析】E(ξ1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E(ξ2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它們的期望相同,再比較它們的方差. D(ξ1)=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2 0.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D(ξ2)=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2 0.04+(3-0.44)20.10=0.9264. 所以D(ξ1)D(ξ2),故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.,【規(guī)范解答】方差的實(shí)際應(yīng)用 【典例】(12分)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.,(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. (ⅰ)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的數(shù)學(xué)期望. (ⅱ)若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說明理由.,【審題】抓信息,找思路,【解題】明步驟,得高分,【點(diǎn)題】警誤區(qū),促提升 失分點(diǎn)1:若對(duì)題中信息把握不到位,導(dǎo)致①處利潤y與當(dāng)天需求量n的函數(shù)關(guān)系是y=5n-5(16-n)=10n-80,致使本例得2分. 失分點(diǎn)2:若對(duì)變量X理解不到位,導(dǎo)致②處錯(cuò)誤.致使均值錯(cuò)誤,本例最多得4分. 失分點(diǎn)3:若對(duì)期望的實(shí)際意義理解不到位,而沒有得到③處的式子,則會(huì)導(dǎo)致至少丟掉3分.,【悟題】提措施,導(dǎo)方向 1.建模信息的提取 熟讀題設(shè)信息,把實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化是解決該類問題的關(guān)鍵.如本例的函數(shù)模型的建立用到了分段函數(shù)的建模思想. 2.理解期望的實(shí)際意義 期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征,能夠反映數(shù)據(jù)的整體情況,理解期望的實(shí)際意義是求解此類問題的關(guān)鍵,如本例(2)(ⅱ).,【類題試解】多向飛碟是奧運(yùn)會(huì)的競賽項(xiàng)目,它是由拋靶機(jī)把碟靶(射擊的目標(biāo))在一定范圍內(nèi)從不同的方向飛出,每拋出一個(gè)碟靶,就允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次,直到擊中為止.一運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行訓(xùn)練時(shí),每一次射擊命中碟靶的概率P與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離S(米)成反比,現(xiàn)有一碟靶拋出的距離S(米)與飛行時(shí)間t(秒)滿足S=15(t+1)(0≤t≤4).假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出后0.5秒進(jìn)行第一次射擊,且命中的概率為0.8,如果發(fā)現(xiàn)沒有命中,則通過迅速調(diào)整,在第一次射擊后經(jīng)過0.5秒進(jìn)行第二次射擊.,(1)設(shè)該運(yùn)動(dòng)員命中碟靶的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列. (2)求E(ξ)和D(ξ). 【解析】(1)設(shè)P= (常數(shù)k＞0)，則P= ，當(dāng)t=0.5秒時(shí)，P1=0.8，代入上式得k=18， 所以 ，所以當(dāng)t=1秒時(shí)，P2=0.6， ξ可能取值為0，1，由題意P(ξ=0)=0.20.4=0.08， P(ξ=1)=0.8+0.20.6=0.92. 那么ξ的分布列為,(2)E(ξ)=00.08+10.92=0.92,D(ξ)=(0-0.92)20.08 +(1-0.92)20.92=0.0736.,