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1、3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘)
1．對(duì)于空間中的三個(gè)向量a，b，2a－b.它們一定是 ( )．
A．共面向量 B．共線向量
C．不共面向量 D．以上均不對(duì)
答案 A
2．若向量，，的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，則能使向量，，成為空間一組基底的關(guān)系是 ( )．
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D
2、.＝2－
解析 對(duì)于選項(xiàng)A，由結(jié)論＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面
知，，，共面；對(duì)于B，D選項(xiàng)，易知，，共面，故只有選項(xiàng)C中，
，不共面．
答案 C
3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，則C的坐標(biāo)是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
答案 A
4．設(shè){i，j，k}是空間向量
3、的一個(gè)單位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，則向量a，b的坐標(biāo)分別為_(kāi)___________．
解析 a，b的坐標(biāo)即為i，j，k前面的系數(shù)，故a的坐標(biāo)為(2，－4，5)，b的坐標(biāo)為(1，
2，－3)．
答案 (2，－4，5) (1，2，－3)
5．設(shè)命題p：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，命題q：a、b、c是三個(gè)非零向量，則命題p是q的________條件．
解析 {a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c不共面，所以a，b，c是三個(gè)非零向量，
但反之不成立，故p是q的充分不必要條件．
答案 充分不必要
6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1
4、中，以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以射線OB，OC，AA1的指向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
試寫(xiě)出正方體八個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解 設(shè)i，j，k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相
同的單位坐標(biāo)向量．
因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑镺，邊長(zhǎng)為2，所以O(shè)B＝.
由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上，所以＝i，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，0，0)．
同理可得C(0，，0)，D(－，0，0)，A(0，－，0)．
又＝＋＝i＋2k，所以＝(，0，2)．
即點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(，0，2)．
同理可得C1(0，，2)，D1(－，0，2)，A1(0，－，2)．
綜合提高（限時(shí)25分鐘
5、）
7．已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量為 ( )．
A.a＋b＋c B. a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析 如圖所示，連接ON，AN，
則＝(＋)＝(b＋c)，
＝(＋)
＝(－2＋)
＝(－2a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，
所以＝(＋)＝－a＋b＋c.
答案 C
8．已知點(diǎn)A在基底{
6、a，b，c}下的坐標(biāo)為(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為 ( )．
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
解析 8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)
＝12i＋14j＋10k
∴點(diǎn)A在{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12，14，10)．
答案 A
9．設(shè)a，b，c是三
7、個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中選出使其與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為_(kāi)_______．
解析 構(gòu)成基底只要三向量不共面即可，這里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以
選擇的．
答案 ③④⑤(答案不唯一，也可以有其它的選擇)
10．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記＝a，＝b，＝c，則＝________(用a，b，c表示)．
解析 ＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋－)
＝c＋(a＋b－c)
＝a＋b.
答案 a＋b
11．如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′
8、C′D′中，＝a，＝b，AA′＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)；
(3)；(4).
解 連接AC，AD′.
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝(a＋2b＋c)．
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(4)＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
12．(創(chuàng)新拓展)已知{i，j，k}是空間的一個(gè)基底設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，請(qǐng)給出證明．
解 假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，則有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)
＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k
∵{i，j，k}是一組基底，
∴i，j，k不共面，
∴解之得
故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使結(jié)論成立．
高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-1-4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
