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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)《第11講 函數(shù)與方程》理(含解析) 蘇教版

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1、 A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 (時(shí)間:45分鐘 滿分:80分) 一、填空題(每小題5分,共35分) 1.(2011·南通無(wú)錫調(diào)研)已知方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,則k=________. 解析 設(shè)f(x)=2x+x-10,則由f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi). 答案 2 2.(2011·山東省濟(jì)寧模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2x-logx的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)的值滿足________(與零的關(guān)系). 解析 因?yàn)閒(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),且f(a)=0,于是由0<x0<a,得f(x0)<f(a)=

2、0,即f(x0)<0. 答案 f(x0)<0 3.若函數(shù)f(x)=ax+b的零點(diǎn)為2,那么函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點(diǎn)是________. 解析 由f(x)=ax+b有零點(diǎn)2,得2a+b=0(a≠0),代入g(x),得g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),它有零點(diǎn)x=0和x=-. 答案 0,- 4.設(shè)函數(shù)y(x)=x-ln x(x>0),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為_(kāi)_______. 解析 設(shè)y=x與y=ln x,作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在(1,+∞)內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn). 答案 0,2 5.(2011·常州模擬

3、)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是-2和3,則不等式af(-2x)>0的解集是________. 解析 ∵f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是-2,3. ∴-2,3是方程x2+ax+b=0的兩根, 由根與系數(shù)的關(guān)系知∴ ∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, 解集為. 答案  6.(2011·山東省菏澤測(cè)試)設(shè)函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(x)-log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析 設(shè)y=f(x)與y=log4 x,分別畫(huà)出它們的圖象,得恰有3個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

4、 答案 3 7.(2010·南通調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析 畫(huà)出圖象,令g(x)=f(x)-m=0,即f(x)與y=m的圖象的交點(diǎn)有3個(gè),∴0<m<1. 答案 (0,1) 二、解答題(每小題15分,共45分) 8.若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-x-1為一次函數(shù),則-1是函數(shù)的零點(diǎn),即函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn). (2)當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)=ax2-x-1為二次函數(shù),并且僅有一個(gè)零點(diǎn),則一元二次方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等

5、實(shí)根.∴Δ=1+4a=0,解得a=-. 綜上,當(dāng)a=0或a=-時(shí),函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn). 9.關(guān)于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有兩實(shí)根,且一個(gè)大于4,一個(gè)小于4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14, 依題意得或即 或解得-<m<0, 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 10.(★)已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍,并求出該零點(diǎn). 思路分析 由題意可知,方程4x+m·2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根,再利用換元法求解. 解 ∵f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn), 即方程(2x)2+m·2x+1=0僅

6、有一個(gè)實(shí)根. 設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0. 當(dāng)Δ=0時(shí),即m2-4=0, ∴m=-2時(shí),t=1;m=2時(shí),t=-1(不合題意,舍去), ∴2x=1,x=0符合題意. 當(dāng)Δ>0時(shí),即m>2或m<-2時(shí), t2+mt+1=0有兩正或兩負(fù)根, 即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒(méi)有零點(diǎn). ∴這種情況不符合題意. 綜上可知:m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為x=0. 【點(diǎn)評(píng)】 方程的思想是與函數(shù)思想密切相關(guān)的,函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決,方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決,本題就是函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題. B級(jí) 綜合創(chuàng)新備選 (時(shí)間:30分鐘 滿分:

7、60分) 一、填空題(每小題5分,共30分) 1.(2011·蘇州模擬)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間為[0,a](a>0)上是單調(diào),函數(shù),且f(0)·f(a)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[-a,a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)是________. 解析 由f(0)·f(a)<0,且f(x)在[0,a](a>0)上單調(diào),知f(x)=0在[0,a]上有一根,又函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f(x)=0在[-a,0]上也有一根.所以f(x)=0在區(qū)間[-a,a]內(nèi)有兩個(gè)根. 答案 2 2.(2010·南通調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時(shí)

8、成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析 g(x)=ax-2a=a(x-2), 當(dāng)a<0時(shí),x>2,由f(2)<0,得4-2a+a+3<0,a>7,舍去; 當(dāng)a>0時(shí),x<2,由f(2)<0,得4-2a+a+3<0,a>7. 綜上,a∈(7,+∞). 答案 (7,+∞) 3.(2010·南通模擬)如果函數(shù)f(x)=x2+mx+m+2的一個(gè)零點(diǎn)是0,則另一個(gè)零點(diǎn)是________. 解析 依題意知:m=-2. ∴f(x)=x2-2x, ∴方程x2-2x=0的另一個(gè)根為2,即另一個(gè)零點(diǎn)是2. 答案 2 4.(2011·鹽城市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=1+x-+-+…+

9、,g(x)=1-x+-+-…-,設(shè)F(x)=f(x+3)·g(x-3),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),則b-a的最小值為_(kāi)_______. 解析 由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2 010=,則f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),又f(0)=1>0,f(-1)<0,從而f(x)的零點(diǎn)在(-1,0)上;同理g(x)為減函數(shù),零點(diǎn)在(1,2)上,∴F(x)的零點(diǎn)在(-4,-3)和(4,5)上,要區(qū)間[a,b]包含上述區(qū)間(b-a)min=9. 答案 9 5.(2011·南京模擬)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P、Q滿足條件: ①P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;

10、 ②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)(P,Q)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(P,Q)與(Q,P)看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”). 已知函數(shù)f(x)= 則f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”有________個(gè). 解析 根據(jù)題意:“友好點(diǎn)對(duì)”,可知,只須作出 函數(shù)y=2x2+4x+1(x<0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象, 看它與函數(shù)y=(x≥0)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可. 如圖, 觀察圖象可得:它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是:2. 即f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”有:2個(gè). 答案 2 6.已知函數(shù)f(x)=x2+(1-k)x-k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析 因?yàn)棣ぃ?1-k)2+

11、4k=(1+k)2≥0對(duì)一切k∈R恒成立,又k=-1時(shí),f(x)的零點(diǎn)x=-1?(2,3),故要使函數(shù)f(x)=x2+(1-k)x-k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),則必有f(2)·f(3)<0,即2<k<3. 答案 (2,3) 二、解答題(每小題15分,共30分) 7.已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求a的取值范圍. 解 當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)x=?[-1,1]. 當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)在[-1,1]上的零點(diǎn)可能有一個(gè)與兩個(gè)這兩種情況. ①函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上只有一個(gè)零點(diǎn),則有 或 解得

12、1≤a≤5或a=. ②函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)零點(diǎn),則有 或 解得a<或a≥5. 綜上,得a的取值范圍是∪[5,+∞). 8.(1)m為何值時(shí),f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且僅有一個(gè)零點(diǎn);②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大; (2)若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)?方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根?Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1. ②法一 設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2, 則x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由題意,知? ? ∴-5<m<-1.故m的取值范圍為(-5,-1). 法二 由題意,知即 ∴-5<m<-1.∴m的取值范圍為(-5,-1). (2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0, 則|4x-x2|=-a. 令g(x)=|4x-x2|, h(x)=-a. 作出g(x),h(x)的圖象. 由圖象可知,當(dāng)0<-a<4, 即-4<a<0時(shí),g(x)與h(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn), 即f(x)有4個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍為(-4,0).

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