《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第49講 空間向量及其坐標(biāo)運算》理(含解析) 蘇教版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第49講 空間向量及其坐標(biāo)運算》理(含解析) 蘇教版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 A級 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練
(時間:45分鐘 滿分:80分)
一、填空題(每小題5分,共35分)
1.已知向量a=,b=(x,1,2),其中x>0.若a∥b,則實數(shù)x等于________.
解析 a∥b且x>0?存在λ>0使a=λb?=(λx,λ,2λ)??
答案 x=4
2.以下四個命題中正確的是________(填序號).
①空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示
②若{a,b,c}為空間向量的一組基底,則{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間向量的另一組基底
③△ABC為直角三角形的充要條件是·=0
④任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量
2、的一組基底
解析 若a+b、b+c、c+a為共面向量,則a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,
λ,μ不可能同時為1,設(shè)μ≠1,則a=b+c,則a、b、c為共面向量,此與{a,b,c}為空間向量基底矛盾.
答案?、?
3.給出下列四個命題:
①若p=xa+yb,則p與a,b共面;
②若p與a,b共面,則p=xa+yb.
③若=x+y,則P,M,A、B共面;
④若P,M,A,B共面,則=x+y.
其中真命題的序號是________.
解析 其中①③為正確命題.
答案 ①③
4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7
3、,5,λ),若a,b,c三向量共面,則實數(shù)λ等于________.
解析 由題意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
∴∴t=,μ=,λ=.
答案
5.如圖,已知空間四邊形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為________.
解析 設(shè)=a,=b,=c
由已知條件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0.
答案 0
6.如圖所示,已知空間四邊形OABC,其對角線為OB、AC,M、N分別為OA、
4、
BC的中點,點G在線段MN上,且=2,若=x+y+z,則x,y,z的值分別為________________.
解析 ∵=+=+
=+(-)=+-
=+×(+)-×
=++
∴x,y,z的值分別為,,.
答案 ,,
7.在空間四邊形ABCD中,·+·+·=________.
解析 如圖,設(shè)=a,=b,=c,
·+·+·
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0
答案 0
二、解答題(每小題15分,共45分)
8.證明三個向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3共面.
5、
證明 設(shè)a=xb+yc
由已知條件
解得x=-,y=
即a=-b+c
故a,b,c三個向量共面.
9.如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,G為△BC1D的重心,
(1)試證A1、G、C三點共線;
(2)試證A1C⊥平面BC1D;
(3)求點C到平面BC1D的距離.
(1)證明 因為G是△BC1D的重心,所以
C=(C+C+),
所以=C+B+=C+C+=3,
∴∥,即A1、G、C三點共線.
(2)證明 設(shè)=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=a,
且a·b=b·c=c·a=0,
∵=a+b+
6、c,=c-a,∴·=(a+b+c)·
(c-a)=c2-a2=0,
∴⊥,即CA1⊥BC1,同理可證:CA1⊥BD,因此A1C⊥平面BC1D.
(3)解 ∵=a+b+c,∴2=a2+b2+c2=3a2,即||=a,
因此||=a.即C到平面BC1D的距離為a.
10.如圖,已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a,點M、N分別是AB、CD的中點.
(1)求證:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的長.
解 (1)設(shè)A=p,A=q,A=r.
由題意可知:|p|=|q|=|r|=a,且p、q、r三向量兩兩夾角均為
7、60°.
M=A-A=(A+A)-A
=(q+r-p),
∴M·A=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)
=(a2·cos 60°+a2·cos 60°-a2)=0.
∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD.
(2)由(1)可知,MN=(q+r-p).
∴|M2|==(q+r-p)2
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]
=
=×2a2=.
∴|M|=a,
∴MN的長為a.
B級 綜合創(chuàng)新備選
(時間:30分鐘 滿分:60分)
一、填空題(每小題5分,共30分)
1.正四面體ABCD的棱長為1,G是△ABC的中心,M在線段DG上,且∠A
8、MB=90°,則GM的長為________.
解析 設(shè)=a,=b,=c.
=+λ
=-a+(a+b+c)
=a+b+c,
=+=(a-b)+a+b+c
=a+b+c
由·=0可解得λ=,||=||=.
答案
2.給出下列命題:
①若a∥b,b∥c,則a∥c;
②不等式|a+b|<|a|+|b|的充要條件是a與b不共線;
③若非零向量c垂直于不共線的向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),則c⊥d.
正確命題的序號是________.
解析 只有命題③是正確命題.
答案?、?
3.在下列條
9、件中,使M與A、B、C一定共面的是________.
①=2--;②=++;
③++=0;④+++=0;
解析 ∵++=0,∴=--,則、、為共面向量,即M、A、B、C四點共面.
答案?、?
4.在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,則OA與BC所成角的余弦值等于________.
解析 設(shè)O=a,O=b,O=c.
設(shè)OA與BC所成的角為θ,則O·B=a·(c-b)=a·c-a·b=a·(a+A)-a·(a+A)=a2+a·A-a2-a·A=24-1
10、6.
∴cos θ===.
答案
5.已知在一個60°的二面角的棱上,如圖有兩個點A,B,AC,BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,則CD的長為________.
解析 設(shè)=a,=b,=c
由已知條件|a|=8,|b|=4,|c|=6
〈a,b〉=90°,〈b,c〉=90°,〈a,c〉=60°
||2=|++|2=|-c+b+a|2
=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c
=68,則||=2.
答案 2 cm
6.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,給出下列四個命題:
①(++)2=3A
11、1B12;②·(-)=0;③向量與向量的夾角是60°;④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|A··A|.其中正確命題的序號是________.
解析 設(shè)正方體的棱長為1,①中(++)2=32=3,故①正確;②中-=,由于AB1⊥A1C,故②正確;③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°,但與的夾角為120°,故③不正確;④中|A··A|=0.故④也不正確.
答案 ①②
二、解答題(每小題15分,共30分)
7.如圖,在空間四邊形SABC中,AC、BS為其對角線,O為△ABC的重心,試證:
(1)++=0;
(2)=(++).
證明 (1)=-(+), ①
=-(
12、+), ②
=-(+), ③
①+②+③得++=0.
(2)=+, ④
=+, ⑤
=+, ⑥
由(1)得:++=0.
④+⑤+⑥得3=++
即=(++).
8.如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F(xiàn),G分別是AB、AD、CD的中點,計算:
(1)·; (2)·;
(3)EG的長;
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.
解 設(shè)=a,=b,=c.
則|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
==c-a,
=-a,=b-c,
(1)·=·(-a)
=a2-a·c=,
(2)·=(c-a)·(b-c)
=(b·c-a·b-c2+a·c)=-;
(3)=++=a+b-a+c-b
=-a+b+c,
||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a
=,則||=.
(4)=b+c,
=+=-b+a,
cos〈,〉==-,
由于異面直線所成角的范圍是,
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.