《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講　數(shù)列的概念與簡單表示法》理（含解析） 蘇教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講　數(shù)列的概念與簡單表示法》理（含解析） 蘇教版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知數(shù)列，1，，，，…，，…，則3是它的第________項． 解析　3＝＝. 答案　23 2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形(如圖所示)． 則第七個三角形數(shù)是________． 解析　觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項與它的前一項多的點數(shù)正好是本身的序號，所以根據(jù)這個規(guī)律計算即可．根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28

2、. 答案　28 3．(2011·四川卷改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________. 解析　a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44. 答案　3×44 4．(2011·四川綿陽二診)在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是________． 解析　根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋， ∴n＝7時，an取得最大值，最大項a7的值為108. 答案　108 5

3、．在函數(shù)f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一個數(shù)列，則這個數(shù)列的前5項是________． 答案　1, ， ，2, 6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________. 解析　由an＋1－an＝n＋1可得，an－an－1＝n， an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2， … a3－a2＝3，a2－a1＝2， 以上n－1個式子左右兩邊分別相加得， an－a1＝2＋3＋…＋n， ∴an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋1. 答案?。? 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k的值為___

4、_____． 解析　∵Sn＝n2－9n，∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10， a1＝S1＝－8適合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)， ∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8. 答案　8 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4. (1)數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？ (2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值． 解　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4. ∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數(shù)列中有兩項是負(fù)數(shù)，即為a2，a3. (2)∵an＝n2－5n＋4＝2－.又n∈N*，∴n＝2或n＝3時，an有最小值

5、，其最小值為a2＝a3＝－2. 9．(★)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和滿足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項公式． 解　由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn ＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去． 因此an＋1－an－3＝0. 即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列， 故{an}的通項為an

6、＝3n－1. 【點評】 解決已知數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系，求通項an的問題，步驟主要有： 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1； 第二步：令n≥2，構(gòu)造an＝Sn－Sn－1，用an代換Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代換an，這要結(jié)合題目的特點)，由遞推關(guān)系求通項； 第三步：驗證當(dāng)n＝1時的結(jié)論是否適合當(dāng)n≥2時的結(jié)論.如果適合，則統(tǒng)一“合寫”；如果不適合，則應(yīng)分段表示； 第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論. 10．已知數(shù)列{an}中， an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)． (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值； (2)若對任意的n∈N*，都

7、有an≤a6成立，求a的取值范圍． 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)， ∵a＝－7，∴an＝1＋. 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性． 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4； a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)． ∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵對任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 并結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性， ∴5＜＜6，∴－10＜a＜－8. B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2011·廣東惠州二模)已知整數(shù)按如下規(guī)律排

8、成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……則第60個數(shù)對是________． 解析　按規(guī)律分組 第一組(1,1) 第二組(1,2)，(2,1) 第三組(1,3)，(2,2)，(3,1) 則前10組共有＝55個有序?qū)崝?shù)對． 第60項應(yīng)在第11組中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)…，(11,1)因此第60個數(shù)對為(5,7)． 答案　(5,7) 2．在數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋2，若對所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是__

9、______． 解析　an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，則k＞－(2n＋1)對所有的n∈N*都成立，而當(dāng)n＝1時，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3. 答案　(－3，＋∞) 3．(2011·合肥三檢)在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________. 解析　由題可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝. 答案　 4．已知{an}的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________. 解析　由已知條件可得Sn＋1＝2

10、n＋1. ∴Sn＝2n＋1－1， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n， n＝1時不適合an，∴an＝ 答案　 5．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2 009＝________；a2 014＝________. 解析　依題意，得a2 009＝a4×503－3＝1， a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0. ∴應(yīng)填1,0. 答案　1,0 6．(2012·泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值為________．

11、 解析　觀察數(shù)列中項的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項開始每一項都是其前兩項的和． 答案　21 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1， an＋1＝an＋2n－1，求an. 解　由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1. 所以a2－a1＝1，a3－a2＝2， a4－a3＝22， a5－a4＝23， … an－an－1＝2n－2(n≥2)， 將以上各式左右兩端分別相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1， 所以an＝2n－1(n≥2)，又因為a1＝1適合上式，故an＝2n－1(n≥1)． 8．(2011·廣州

12、模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，且a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝ln an，是否存在k(k≥2，且k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由． 解　(1)法一　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，即＝(n≥2)．所以是首項為＝1的常數(shù)數(shù)列，所以＝1，即an＝n(n∈N*)． 法二　同上，得(n－1)an＝nan－1.同理，得 nan＋1＝(n＋1)an，所以2nan＝n(an－1＋an＋1)，即 2an＝an－1＋an＋1，所以{an}成等差數(shù)列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)． 法三　同上，得＝(n≥2)， 所以an＝···…···a1＝··…···1＝n，當(dāng)n＝1時a1＝1，也滿足an＝n，所以an＝n(n∈N*)． (2)假設(shè)存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝b.因為bn＝ln an＝ln n， 所以bkbk＋2＝ln k·ln(k＋2)＜2＝2＜2＝[ln(k＋1)]2＝b，這與bkbk＋2＝b矛盾． 故不存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列．