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(江蘇專用)高考數(shù)學總復(fù)習 第八章第4課時 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課時闖關(guān)(含解析)

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1、 [A級 雙基鞏固] 一、填空題 1.圓C:x2+y2+6x+5=0被直線l:x-y+5=0所截得的弦長為________. 解析:⊙C:(x+3)2+y2=4,則圓心到直線的距離d==,∴弦長l=×2=2. 答案:2 2.兩圓x2+y2-6x+6y-48=0與x2+y2+4x-8y-44=0公切線的條數(shù)是________. 解析:圓x2+y2-6x+6y-48=0配成標準方程為(x-3)2+(y+3)2=64, 圓心坐標(3,-3)半徑r1=8. 而圓x2+y2+4x-8y-44=0配成標準方程 為(x+2)2+(y-4)2=64, ∴圓心坐標(-2,4),半

2、徑r2=8, 圓心距d=<r1+r2, 從而兩圓相交,故公切線有兩條. 答案:2 3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有________條. 解析:有兩條相互垂直的直線,另兩條直線過原點. 答案:4 4.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點,∠POQ=120°(其中O為原點),則k的值為________. 解析:設(shè)直線PQ與x軸交于M點,易知∠OMP=60°,∴k=tan60°或tan120°,即k=±. 答案:-或 5.過點(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A、B兩點,如果|AB|=8,則l的方程為_

3、_______. 解析:圓的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=25,所以圓心(-1,2),半徑r=5.由于弦長|AB|=8,解圓中的直角三角形可得圓心到弦所在直線的距離d==3.直線l過點(-4,0),當直線斜率不存在時,方程為x+4=0,顯然成立.當斜率存在時,可設(shè)為k,則直線方程可化為kx-y+4k=0,d==3,解之可得k=-.代回方程化簡得5x+12y+20=0.綜上,直線l的方程為x+4=0或5x+22y+20=0. 答案:x+4=0或5x+12y+20=0 6.(2010·高考江西卷改編)直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥2,

4、則k的取值范圍是________. 解析:如圖,記題中的圓的圓心為C(2,3),作CD⊥MN于D,則|CD|=, 于是有|MN|=2|MD| =2 =2≥2,即4-≥3, 解得-≤k≤. 答案:[-,] 7.若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點,則b的取值范圍是________. 解析:曲線y=3-表示圓(x-2)2+(y-3)2=4的下半圓,如圖所示,當直線y=x+b經(jīng)過點(0,3)時,b取最大值3,當直線與半圓相切時,b取最小值,由=2?b=1-2或1+2(舍). 答案:[1-2,3] 8.(2010·高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4

5、上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是________. 解析:如圖,圓x2+y2=4的半徑為2,圓上有且僅有四個點到直線的距離為1,問題轉(zhuǎn)化為原點(0,0)到直線12x-5y+c=0的距離小于1. 即<1,<13, ∴-13

6、1)設(shè)所求直線方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0, ∵直線與圓相切, ∴=3, 得b=±3, ∴所求直線方程為y=-2x±3. (2)假設(shè)存在這樣的點B(t,0),當P為圓C與x軸左交點(-3,0)時,=; 當P為圓C與x軸右交點(3,0)時,=, 依題意,=, 解得,t=-5(舍去),或t=-. 下面證明點B(-,0)對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù).設(shè)P(x,y),則y2=9-x2, ∴== ==, 從而=為常數(shù). 10.在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直線l過點A

7、(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程; (2)設(shè)P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等.試求所有滿足條件的點P的坐標. 解:(1)由于直線x=4與圓C1不相交,所以直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),圓C1的圓心到直線l的距離為d,因為圓C1被直線l截得的弦長為2,所以d==1. 由點到直線的距離公式得 d=, 從而k(24k+7)=0,即k=0或k=-, 所以直線l的方程為 y=0或7x+24y-28=0. (2)設(shè)點P(a,b

8、)滿足條件,不妨設(shè)直線l1的方程為y-b=k(x-a),k≠0,則直線l2的方程為y-b=-(x-a).因為圓C1和C2的半徑相等,且圓C1被直線l1截得的弦長與圓C2被直線l2截得的弦長相等,所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等,即=, 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,從而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因為k的取值有無窮多個,所以或 解得或 這樣點P只可能是點P1或點P2. 經(jīng)檢驗點P1和P2滿足題目條件. [B級 能

9、力提升] 一、填空題 1.(2011·高考全國卷改編)設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=________. 解析:∵兩圓都和兩坐標軸相切且都經(jīng)過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且橫縱坐標相等,設(shè)兩圓圓心分別為(a,a)(b,b).則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2. 即a,b是方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32. ∴|C1C2|===8. 答案:8 2.圓x2+y2

10、+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是________. 解析:圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,由題意知圓心(-1,2)在直線2ax-by+2=0上,因此-2a-2b+2=0,即a+b=1,a2+b2+2ab≥4ab. ∴4ab≤1,即ab≤.當且僅當a=b=時等號成立. 答案:(-∞,] 3.設(shè)有一組圓Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)下列四個命題: ①存在一條定直線與所有的圓均相切; ②存在一條定直線與所有的圓均相交; ③存在一條定直線與所有的圓均不相交; ④所有的圓均不經(jīng)過原點. 其中

11、真命題的序號是________. 解析;圓心為(k-1,3k),圓心在y=3(x+1)上移動,半徑也隨k增大而增大,故y=3(x+1)一定與所有的圓均相交.故②正確,③不正確. 對于選項①,設(shè)存在定直線Ax+By+C=0與圓相切. ∴d=r,則與k無關(guān). 又k2= 顯然該式中k不可能消去,故①不正確. 對于選項④.只需代入坐標原點驗證即可. 答案:②④ 4.在平面直角坐標系xOy中,設(shè)直線y=x+2m和圓x2+y2=n2相切,其中m,n∈N*,0<≤1,若函數(shù)f(x)=mx+1-n的零點x0∈(k,k+1),k∈Z,則k=________. 解析:∵直線y=x+2m和圓x2+

12、y2=n2相切, ∴=n,即2m=2n. ∵m,n∈N*,0<≤1,∴m=3,n=4. ∴f(x)=3x+1-4. 令3x+1-4=0,得x=log34-1∈(0,1),故k=0. 答案:0 二、解答題 5.(2012·鹽城質(zhì)檢)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1、AF2分別交于點P、Q. (1)當t=3時,求以F1,F(xiàn)2為焦點,且過PQ中點的橢圓的標準方程; (2)過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R,記△PRF1的外接圓為圓C. ①求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上;

13、②圓C是否恒過異于點F1的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由. 解:(1)設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),當t=3時,PQ的中點為(0,3),所以b=3而a2-b2=16,所以a2=25,故橢圓的標準方程為+=1. (2)①證明:法一:易得直線AF1:y=2x+8;AF2:y=-2x+8, 所以可得P(,t),Q(,t),再由QR∥AF1,得R(4-t,0), 則線段F1R的中垂線方程為x=-,線段PF1的中垂線方程為y=-x+, 由,解得△PRF1的外接圓的圓心坐標為(-,-2). 經(jīng)驗證,該圓心在定直線7x+4y+8=0上. 法二:易得直線AF1:y=2x

14、+8;AF2:y=-2x+8,所以可得P(,t),Q(,t), 再由QR∥AF1,得R(4-t,0) 設(shè)△PRF1的外接圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則y=, 解得, 所以圓心坐標為(-,-2),經(jīng)驗證,該圓心在定直線7x+4y+8=0上. ②由①可得圓C的方程為x2+y2+tx+(4-t)y+4t-16=0. 該方程可整理為(x2+y2+4y-16)+t(x-y+4)=0, 則由,解得或. 所以圓C恒過異于點F1的一個定點,該點坐標為(,). 6.已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2=2x上,其中O為坐標原點,設(shè)圓C是△OAB的外接圓(點C為圓心).

15、 (1)求圓C的方程; (2)設(shè)圓M的方程為(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,過圓M上任意一點P分別作圓C的兩條切線PE,PF,切點為E,F(xiàn),求·的最大值和最小值. 解:(1)設(shè)A,B兩點坐標分別為(,y1),(,y2),由題設(shè)知 +  =2 . 解得y=y(tǒng)=12, 所以A(6,2),B(6,-2)或A(6,-2),B(6,2). 設(shè)圓心C的坐標為(r,0),則r=×6=4,所以圓C的方程為(x-4)2+y2=16. (2)設(shè)∠ECF=2α,則·=||·||cos2α=16cos2α=32cos2α-16. 在Rt△PCE中,cosα==,由圓的幾何性質(zhì)得 |PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|-1=7-1=6, 所以≤cosα≤,由此可得-8≤·≤-. 則·的最大值為-,最小值為-8.

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