《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第56課 圓的方程 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第56課 圓的方程 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第56課 圓的方程 (本課時對應(yīng)學(xué)生用書第　　頁) 自主學(xué)習(xí)　回歸教材 1.(必修2P111練習(xí)4改編)方程x2+y2-6x=0表示的圓的圓心坐標(biāo)是　　　　，半徑是　　　　. 【答案】(3，0)　3 【解析】原方程轉(zhuǎn)化為(x-3)2+y2=9，圓心坐標(biāo)為(3，0)，半徑為3. 2.(必修2P111練習(xí)3(1)改編)以兩點A(-3，-1)和B(5，5)為直徑端點的圓的方程是　　　　　　. 【答案】(x-1)2+(y-2)2=25 【解析】圓心，即(1，2)，直徑2R==10，所以圓的方程是(x-1)2+(y-2)2=25. 3.(必修2P102習(xí)題8改編)方

2、程x+1=表示的曲線是　　　　　. 【答案】右半圓 【解析】方程x+1=同解于方程(x+1)2=()2，x+1≥0，此方程化簡為(x+1)2+y2=1，x≥-1.此方程表示以點(-1，0)為圓心、1為半徑的半圓，位于直線x=-1的右側(cè). 4.(必修2P100習(xí)題7改編)已知點P(1，1)在圓C：x2+y2-ax+2ay-4=0的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 【答案】(-∞，2) 【解析】因為點P在圓內(nèi)，所以1+1-a+2a-4<0，所以a<2. 1.以(a，b)為圓心、r(r>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.圓的方

3、程的一般形式是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圓心為，半徑為. 3.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑兩端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 4.(1)設(shè)點P到圓心的距離為d，圓的半徑為r.若點P在圓上，則d=r；若點P在圓外，則d>r；若點P在圓內(nèi)，則d0，D2+E2-4F>0)，則：點P在圓C外f(m，n)>0；點P在圓C上f(m，n)=0；點P在圓C內(nèi)f(m，n)<0.

4、 【要點導(dǎo)學(xué)】 要點導(dǎo)學(xué)　各個擊破 　求圓的方程 例1　一個圓經(jīng)過A(3，-2)，B(2，1)兩點，求分別滿足下列條件的圓的方程. (1)圓心在直線x-2y-3=0上； (2)在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和為2. 【思維引導(dǎo)】在解決圓的方程問題時，不僅可以利用待定系數(shù)法，還可以利用幾何法，即利用圓的有關(guān)性質(zhì)來尋求圓的方程中的幾個基本量，從而求出圓的方程.根據(jù)具體的條件合理選擇方法. 【解答】(1)方法一：設(shè)所求的圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由已知，得解得 即所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5. 方法二：由圓的幾何性質(zhì)知，圓心在線段AB的垂直平

5、分線x-3y-4=0上，與方程x-2y-3=0聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)為C(1，-1)，半徑為CA=， 故所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5. (2)方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，由圓過點A(3，-2)，B(2，1)，得由x=0，得y2+Ey+F=0，y1+y2=-E.由y=0，得x2+Dx+F=0，x1+x2=-D.由題意知x1+x2+y1+y2=-D-E=2，解得D=-，E=，F(xiàn)=. 故所求圓的方程為x2+y2-x+y+=0. 方法二：設(shè)圓心為(a，b)，圓與x軸分別交于(x1，0)，(x2，0)，與y軸分別交于(0，y1)，(0

6、，y2)，則根據(jù)題意知x1+x2+y1+y2=2，所以+=1，a=，b=， 所以a+b=1.又因為點(a，b)在線段AB的中垂線上， 所以a-3b-4=0，聯(lián)立解得 所以圓心為，半徑r=， 所以所求圓的方程為+=， 即x2+y2-x+y+=0. 【精要點評】求圓的方程時，要根據(jù)已知條件選擇合適的形式，一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都是確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨立等式.另外，充分利用圓的幾何性質(zhì)，也可以求得圓的方程中的三個參數(shù).常用的性質(zhì)有：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共

7、線. 變式1　求過兩點A(1，4)，B(3，2)且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點P(2，4)與圓的位置關(guān)系. 【解答】方法一：(待定系數(shù)法) 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2. 因為圓心在y=0上，故b=0. 所以圓的方程為(x-a)2+y2=r2. 因為該圓過A(1，4)，B(3，2)兩點， 所以 解得a=-1，r2=20. 所以所求圓的方程為(x+1)2+y2=20. 又點P(2，4)到圓心C(-1，0)的距離d=PC==>r. 所以點P在圓外. 方法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑) 因為圓過A(1，4)，B(3，2)兩點， 所以圓

8、心C必在線段AB的垂直平分線l上. 因為kAB==-1，故l的斜率為1， 又AB的中點為(2，3)， 故AB的垂直平分線l的方程為y-3=x-2， 即x-y+1=0. 又知圓心在直線y=0上，故圓心坐標(biāo)為C(-1，0). 所以半徑r=AC==， 故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20. 又點P(2，4)到圓心C(-1，0)的距離 d=PC==>r， 所以點P在圓外. 變式2　如圖(1)，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點)，使得PM=PN，若以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在的直線為x軸建立平面

9、直角坐標(biāo)，求點P所在的圓的方程. (變式2(1)) 【解答】建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系，則O1(-2，0)，O2(2，0). (變式2(2)) 由已知PM=PN， 得PM2=2PN2. 因為兩圓的半徑均為1， 所以P-1=2(P-1). 設(shè)P(x，y)，則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即(x-6)2+y2=33， 所以點P所在圓的方程為(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0). 　與圓有關(guān)的最值問題 例2　若實數(shù)x，y滿足x2+y2+2x-4y+1=0，求下列各式的最大值和最小值. (1)； (2)3

10、x-4y； (3)x2+y2. 【思維引導(dǎo)】(1)和(2)中，設(shè)所求式等于某參數(shù)，再將其轉(zhuǎn)化為直線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系求解，(3)是原點到圓上點的距離的平方問題，可用兩點間距離公式求解. 【解答】(1)方法一：令=k， 則kx-y-4k=0. 因為x，y滿足x2+y2+2x-4y+1=0， 所以圓心(-1，2)到直線kx-y-4k=0的距離不大于圓的半徑2，即≤2，解得-≤k≤0， 所以的最大值為0，最小值為-. 方法二：令=k，則y=k(x-4)代入圓的方程， 整理得(1+k2)x2+(2-4k-8k2)x+16k2+16k+1=0， 因為上述方程有實數(shù)根， 所

11、以Δ=(2-4k-8k2)2-4(1+k2)·(16k2+16k+1)≥0， 化簡整理得21k2+20k≤0，解得-≤k≤0， 所以的最大值為0，最小值為-. (2)方法一：設(shè)3x-4y=k，則3x-4y-k=0，圓心(-1，2)到該直線的距離不大于圓的半徑，即≤2， 解得-21≤k≤-1， 所以3x-4y的最大值為-1，最小值為-21. 方法二：設(shè)k=3x-4y， 即y=x-，代入圓的方程，整理得 25x2-(16+6k)x+k2+16k+16=0， 因為上述方程有實根， 所以Δ=(-16-6k)2-4·25(k2+16k+16)≥0，化簡整理得k2+22k+21≤0，解

12、得-21≤k≤-1， 所以3x-4y的最大值為-1，最小值為-21. (3)方法一：先求出原點與圓心之間的距離d==，根據(jù)幾何意義，知x2+y2的最大值為(+2)2=9+4，最小值為(-2)2=9-4. 方法二：由(1)的方法知， 圓的方程中的x，y變?yōu)棣痢蔥0，2π)， 所以x2+y2=(-1+2cos α)2+(2+2sin α)2=9+8sin α-4cos α=9+4sin(α+φ)，其中tan α=-， 所以9-4≤x2+y2≤9+4， 即x2+y2的最大值為9+4，最小值為9-4. 【精要點評】本題的每一小題都給出了不同的解法，希望讀者仔細研讀，比較優(yōu)劣，選擇自己容

13、易把握的方法. 涉及圓的最值的問題主要有三種類型： (1)斜率型：=k，其本質(zhì)是動直線的斜率變化問題，可用例題中第(1)題的兩種方法求解. (2)截距型：ax+by=t，其本質(zhì)是動直線的截距變化問題，可用例題中第(2)題的兩種方法求解. (3)距離型：(x-a)2+(y-b)2=s，其本質(zhì)是定點到圓上的點的距離問題，可用例題中第(3)題的兩種方法求解. 變式　設(shè)點P(x ，y)為圓x2+y2=1上任一點，求下列兩個式子的取值范圍. (1)； (2)x2+y2-2x+6y+1. 【思維引導(dǎo)】(1)將u=變形為y-2=u(x+1)，則該直線與圓x2+y2=1恒有公共點；(2)將

14、圓的方程通過三角代換變成三角式代入求出表達式，利用參數(shù)求出范圍. 【解答】(1)方法一：由u=得，y-2=u(x+1)，此直線與圓x2+y2=1有公共點，故圓心(0，0)到直線的距離d≤1， 即≤1，解得u≤-， 所以的取值范圍是. 方法二：由消去y后得(u2+1)x2+(2u2+4u)x+(u2+4u+3)=0，此方程有實數(shù)根，故Δ=(2u2+4u)2-4(u2+1)(u2+4u+3)≥0，解得u≤-， 所以的取值范圍是. (2)將圓的方程x2+y2=1通過三角代換， 變?yōu)棣取蔥0，2π)， 所以x2+y2-2x+6y-1=1-2cos θ+6sin θ+1 =2+6sin

15、 θ-2cos θ=2+2sin(θ+φ)， 所以x2+y2-2x+6y-1的取值范圍是[2-2，2+2]. 　與圓有關(guān)的實際問題 例3　有一種大型商品在A，B兩地都有出售，且價格相同.某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用：每單位距離A地的運費是B地的運費的3倍.已知A，B兩地的距離為10 km，顧客選擇A地或B地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)：包括運費和價格的總費用較低.求A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點. 【思維引導(dǎo)】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出符合某種條件的點，從而表示出這一點與A和B兩點的距離與費用，如果到A地購買比到B地購買

16、總費用低，則有價格+A地運費≤價格+B地的運費. 　(例3) 【解答】以A，B所確定的直線為x軸，AB的中點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.因為AB=10， 所以A(-5 ，0)，B(5 ，0). 設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x ，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設(shè)A地的運費為3a元/km，B地的運費為a元/km. 因為P地居民購物總費用滿足條件： 價格+A地運費≤價格+B地的運費， 即3a≤a. 因為a>0， 所以3≤， 化簡整理得+y2≤， 所以以點為圓心、為半徑的圓是兩地購貨的分界線. 圓內(nèi)的居民從A地購物便宜；圓外的居民從B地購物便宜；圓上的居民從

17、A，B兩地購物的總費用相等，因此可隨意從A，B兩地之一購物. 【精要點評】本題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，引入坐標(biāo)研究曲線的形狀，這也是解析幾何的最基本的思想.每單位距離A地的運費是B地的運費的3倍轉(zhuǎn)化為幾何條件即為PA=3PB，動點的軌跡是一個圓. 變式　如圖(1)是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，每隔4 m需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度.(精確到0.01 m，≈28.72) (變式(1)) 【解答】建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系，設(shè)該圓拱所在圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由于圓心在y軸上，所以D=0，方程即為x2+y2+Ey

18、+F=0. (變式(2)) 因為P，B都在圓上，由題意知其坐標(biāo)分別為(0，4)，(10，0)， 所以解得F=-100，E=21. 所以這個圓的方程是x2+y2+21y-100=0. 把點P2的橫坐標(biāo)x=-2代入這個圓的方程，得(-2)2+y2+21y-100=0，即y2+21y-96=0. 因為P2的縱坐標(biāo)y>0，故應(yīng)取正值， 所以y=≈3.86(m). 所以支柱A2P2的高度約為3.86 m. 1.(2015·北京卷改編)圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是　　　　. 【答案】(x-1)2+(y-1)2=2 【解析】由題意可得圓的半徑為r=，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方

19、程為(x-1)2+(y-1)2=2. 2.若點P(1，)在圓x2+y2-2ax-2ay=0的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 【答案】 【解析】由點P在圓的內(nèi)部，得1+3-2a-6a<0，解得a>. 3.若直線l：ax+by+4=0(a>0，b>0)始終平分圓C：x2+y2+8x+2y+1=0，則ab的最大值為　　　　. 【答案】1 【解析】圓C的圓心坐標(biāo)為(-4，-1)，則有-4a-b+4=0，即4a+b=4.所以ab=(4ab)≤=×=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=2時取等號. 4.若實數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，則的最大值為　　　　，最小值為　　　　.

20、 【答案】　- 【解析】因為=，所以表示過點P(-1，0)與圓(x-2)2+y2=3上的點(x，y)的直線的斜率.如圖，由圖象知的最大值和最小值分別是過點P與圓相切的直線PA，PB的斜率，kPA===，kPB=-=-=-，故的最大值為，最小值為-. (第4題) 趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第111~112頁. 【檢測與評估】 第56課　圓的方程 一、 填空題 1.與圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(0，0)對稱的圓的方程為　　　　　　. 2.若直線y=x+b平分圓x2+y2-8x+2y+8=0 的周長，則實

21、數(shù)b的值為　　　　. 3.若點(1，1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 4.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的方程為　　　　　　. 5.(2015·全國卷改編)已知△ABC頂點的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為　　　　. 6.已知實數(shù)x，y滿足(x-2)2+(y+1)2=1，則2x-y的最大值與最小值的和為　　　　. 7.若方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍為　　　　. 8.已知點P(a，b

22、)關(guān)于直線l的對稱點為P'(b+1，a-1)，那么圓C：x2+y2-6x-2y=0關(guān)于直線l對稱的圓C'的方程為　　　　　　　　. 二、 解答題 9.已知△ABC頂點的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，求△ABC外接圓的方程. 10.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓，求實數(shù)a的取值范圍，并求出半徑最小的圓的方程. 11.如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80

23、m.經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸)，tan∠BCO=. (1)求新橋BC的長. (2)當(dāng)OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大? (第11題) 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果) 12.已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1，0)且被x軸分成兩段弧長之比為1∶2的圓弧，那么圓C的方程為　　　　　　. 13.已知點P(x，y)是圓x2+(y-1)2=1上任意一點，若點P的坐標(biāo)滿足不等式x+y+m≥0，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　. 【檢測與評估答案】 第56課　圓的方程 1.(x-2)2

24、+y2=5　【解析】圓心(-2，0)關(guān)于原點(0，0)的對稱點為(2，0)，所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=5. 2. -5　【解析】圓心坐標(biāo)為(4，-1)，由直線y=x+b平分圓，知-1=4+b，所以b=-5. 3.(-1，1)　【解析】因為點(1，1)在圓的內(nèi)部，所以(1-a)2+(1+a)2<4，解得-1

25、BC的垂直平分線上，即在直線x=1上，設(shè)圓心D(1，b)，由DA=DB，得|b|=b=，所以圓心到原點的距離d==. 6.10　【解析】令b=2x-y，則b為直線2x-y=b在y軸上的截距的相反數(shù)，當(dāng)直線2x-y=b與圓相切時，b取得最值.由=1，解得b=5±，所以2x-y的最大值為5+，最小值為5-，其和為10. 7.　【解析】方程表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0，即有4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解得-

26、圓C'的半徑與圓C的半徑相等，為，所以圓C'的方程為(x-2)2+(y-2)2=10. 9. 方法一：設(shè)△ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由題意得 解得所以△ABC外接圓的方程為x2+y2-8x+6y=0. 方法二：根據(jù)圓的性質(zhì)，可知△ABC外接圓的圓心一定在三邊垂直平分線的交點處，易得AB的垂直平分線的方程為y-=-，　① BC的垂直平分線的方程為y-=-3.?、? 聯(lián)立①②得解得 故所求圓的圓心為P(4，-3)，半徑r=OP=5， 所以所求圓的方程為(x-4)2+(y+3)2=25. 10. 因為方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示

27、圓，所以a≠0. 所以方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0可以寫成x2+y2-x+y=0. 因為D2+E2-4F=>0恒成立，所以a≠0時，方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓. 設(shè)圓的半徑為r，則r2==2，所以當(dāng)=即，a=2時，圓的半徑最小，半徑最小的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=2. 11. (1) 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 由條件知A(0，60)，C(170，0)，直線 BC 的斜率kBC=-tan∠BCO=-. 又因為 AB⊥BC， 所以直線AB的斜率kAB=. 設(shè)點B的坐標(biāo)為(a，b)

28、， 則kBC==-，kAB==， 解得a=80，b=120，所以BC==150. 因此新橋BC的長是150 m. (第11題) (2) 設(shè)保護區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m(0≤d≤60). 由條件知，直線BC的方程為y=-(x-170)，即4x+3y-680=0. 由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離為r， 即r==. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m，所以 即解得10≤d≤35. 故當(dāng)d=10時，r=最大，即圓面積最大，所以當(dāng)OM=10 m時，圓形保護區(qū)的面積最大. 12.x2+=　【解析】由題可知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為.設(shè)圓心(0，b)，半徑為r，則rsin=1，rcos=|b|，解得r=，|b|=，即b=±.故圓的方程為x2+=. 13.[-1，+∞)　【解析】令x=cos θ，y=1+sin θ，則m≥-x-y=-1-(sin θ+cos θ)=-1-sin對任意的θ∈R恒成立，所以m≥-1.