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1、、寫出下列線性規(guī)劃問題的對偶問題。 （ ） min z=x1+x2+2x3 X1+2x2+3x32 2x1+x2 x34 3x1+2x2+4x36 Xi0 i=1、 2、 3解：其對偶問題為： max w =2y 1+4y2+6y3 y1+2y2+3y31 2y1+y2+2y31 3y1 y2+4y32 y10 y2、 y30 s.ts.t （ 2） max z=4x1 2x2+3x3 x4 X1+x2+2x3+x47 2x1 x2+2x3 x4= 2 X1 2x2+x4 3 X1、 x30 x2、 x4無 符 號 約 束解：其對偶問題為： Min w=7y1 2y2 3y3 y 1+2y2+

2、y34 y1 y2 2y3= 2 2y1+2y23 y1 y2+y3= 1 y10 y2無 符 號 約 束 y30s、 ts、 t 4、已知線性規(guī)劃問題：Max z=x1+2x2+3x3+4x4 x1+2x2+2x3+3x420 2x1+x2+3x3+2x420 xj0 j=1、 2、 3、 4其對偶問題最優(yōu)解為y1=1.2 y2=0.2,由對偶理論直接求出原問題的最優(yōu)解。解：將Y*=（1.2，0.2）代入對偶問題的約束條件： y 1+2y21 y3=1.6 2y1+y22 y4=2.6 2y1+3y23 y5=3 3y1+2y24 y6=4 y1、 y20s、 t s.t 求得:第一,第二約

3、束為松約束,第三,第四約束是緊約束.因此,由互補松弛條件,原問題最優(yōu)解中,x1*=0,x2*=0 y1*0,y2*0是松約束,故原問題的約束必為緊約束,即原問題約束必為等式: X1+2x2+2x3+3x4=20 2x1+x2+3x3+2x4=20即: 2x3+3x4=20 3x3+2x4=20解之得: x 3*=4 x4*=4 x*=(0,0,4,4) 8.已知線性規(guī)劃問題:Maxz= 2x1 2x2+x3 x1+x2 x3=4 x1+kx2 x36 x10 x2無 符 號 約 束 x30的最優(yōu)解是X*=(5, 1,0)T(1)求出K的值.(2)寫出其對偶問題,并求對偶最優(yōu)解.解:對偶問題為:min=4y 1+6y2 y1+y2 2 y1+ky2= 2 y1 y21 y1無 符 號 約 束 y20s.ts.t 將原問題的最優(yōu)解代入原問題目標函數(shù)得原問題的最優(yōu)值為: 2 5 2 ( 1)+0= 8由此可知其對偶問題的最優(yōu)值也為 8.即:4y1+6y2= 8 又由于原問題的最優(yōu)解X1* 0,X2* 0是松約束,故對偶問題的約束必為緊約束,即對偶問題的前兩個約束必為等式: y1+y2= 2 y 1+ky2= 2 由解得y1*= 2 y2*=0,即對偶問題的最優(yōu)解為Y*=( 2,0)將y1*,y2*的值代入式得k= 1