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1、 第五章第五章 特征值與特征向量特征值與特征向量5.1 5.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2.2.求特征值和特征向量的方法求特征值和特征向量的方法3.3.性質性質 (是階方陣）是階方陣）5.2 5.2 相似矩陣相似矩陣一一.相似矩陣定義相似矩陣定義二二.相似矩陣的性質相似矩陣的性質三三.相似對角化問題（方陣何時與對角陣相似）相似對角化問題（方陣何時與對角陣相似）5.3 5.3 實對稱陣的對角化實對稱陣的對角化如果特征值是單根如果特征值是單根如果特征值是單根如果特征值是單根,對應線性無關的特征向量只有對應線性無關的特征向量只有對應線性無關的特征向量只有對應線性無關的特征向量只有

2、一個，將它單位化一個，將它單位化一個，將它單位化一個，將它單位化;如果特征值是二（多）重根，對應線性無關的特征如果特征值是二（多）重根，對應線性無關的特征如果特征值是二（多）重根，對應線性無關的特征如果特征值是二（多）重根，對應線性無關的特征向量有二（多）個，則先用施密特正交化方法，將其向量有二（多）個，則先用施密特正交化方法，將其向量有二（多）個，則先用施密特正交化方法，將其向量有二（多）個，則先用施密特正交化方法，將其正交化，然后單位化。正交化，然后單位化。正交化，然后單位化。正交化，然后單位化。求正交陣求正交陣求正交陣求正交陣P P P P的方法與步驟（一定要掌握）的方法與步驟（一定要掌

3、握）的方法與步驟（一定要掌握）的方法與步驟（一定要掌握）求出求出求出求出A A的特征值與特征值對應的特征值與特征值對應的特征值與特征值對應的特征值與特征值對應線性無關線性無關線性無關線性無關的特征向量。的特征向量。的特征向量。的特征向量。將這些正交單位向量構成正交陣將這些正交單位向量構成正交陣將這些正交單位向量構成正交陣將這些正交單位向量構成正交陣P P P P（注意對角陣的注意對角陣的注意對角陣的注意對角陣的主對角線上元素（即主對角線上元素（即主對角線上元素（即主對角線上元素（即A A A A的特征值）的排列次序與正交的特征值）的排列次序與正交的特征值）的排列次序與正交的特征值）的排列次序與

4、正交陣的列向量的排列次序對應陣的列向量的排列次序對應陣的列向量的排列次序對應陣的列向量的排列次序對應）。）。）。）。注意：正交陣注意：正交陣注意：正交陣注意：正交陣P P P P不唯一。不唯一。不唯一。不唯一。第六章第六章 二次型二次型6.1 6.1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示.6.2 二次型的標準形和規(guī)范形二次型的標準形和規(guī)范形2.2.化二次型為標準形的方法化二次型為標準形的方法（1 1）正交變換法）正交變換法求求求求A A A A的特征值與特征值對應線性無關的特征向量，的特征值與特征值對應線性無關的特征向量，的特征值與特征值對應線性無關的特征向量，的特征值與特征值對應線性無關的特征向量，經過經過經過經過正交正交正交正交單位單位單位單位化，求出正交矩陣化，求出正交矩陣化，求出正交矩陣化，求出正交矩陣P P。(參見上一節(jié)參見上一節(jié)參見上一節(jié)參見上一節(jié))寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣A A（A A為實對稱矩陣）；為實對稱矩陣）；為實對稱矩陣）；為實對稱矩陣）；（2 2）配方法）配方法（了解）（了解）慣性定理慣性定理6.3 6.3 正定二次型正定二次型定義定義