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1、時域有限差分法時域有限差分法 II2 2穩(wěn)定性對時間間隔的要求要求即或定義數(shù)值增長因子穩(wěn)定性對時間間隔的限制第1頁/共80頁3 33.2 Courant 穩(wěn)定性條件齊次波動方程齊次波動方程 平面波的解 第2頁/共80頁4 4齊次波動方程差分近似可得第3頁/共80頁5 5Courant條件上式成立的充分條件是 時間間隔限制第4頁/共80頁6 6Courant穩(wěn)定性條件 上式即 確定空間間隔后對時間步長的限制第5頁/共80頁7 7Courant條件幾個特殊情況 設(shè)三維 二維 一維第6頁/共80頁8 83.3 數(shù)值色散對空間離散間隔的要求考慮一維情形下波動方程考慮一維情形下波動方程 對于平面波色散關(guān)

2、系（解析式）為第7頁/共80頁9 9數(shù)值色散關(guān)系對空間離散間隔的限制離散后得到數(shù)值色散關(guān)系離散后得到數(shù)值色散關(guān)系要求數(shù)值色散關(guān)系和解析式相同，必須或?qū)﹄x散空間間隔的限制根據(jù)三角函數(shù)，當(dāng) 時，第8頁/共80頁10103.4 差分近似后的各向異性特性波動方程波動方程對于平面波，差分近似后 第9頁/共80頁1111二維情況前式變?yōu)樯鲜奖砻飨嗨倥c平面波傳播方向有關(guān)：數(shù)值各向異性 設(shè)第10頁/共80頁1212傳播速度空間各向異性的圖示各向異性可以忽略的條件:對空間間隔的限制圖3-4-1給出了以/為參變量時相速與光速之比 v/c和平面波傳播方向角之間的關(guān)系，即差分離散所帶來的各向異性。第11頁/共80頁1

3、313單向行波算子（Mur）吸收邊界Berenger完全匹配層（PML）吸收邊界單軸各向異性介質(zhì)完全匹配層（UPML）吸收邊界第四章 吸收邊界條件第12頁/共80頁1414開域問題：散射問題第13頁/共80頁1515開域問題吸收邊界的必要性從物理觀點(diǎn)：只有在實驗室墻壁上敷以吸波材料使波在此界面無反射，形成微波暗室。從計算觀點(diǎn)：在截斷邊界上FDTD的E、H分量計算公式中，至少有一個環(huán)繞分量位于截斷邊界之外，需要特殊處理。第14頁/共80頁16164.1 Engquist-Majda吸收邊界條件波動方程波動方程波動方程波動方程平面波的解：其中第15頁/共80頁1717左行波和右行波 左行波右行波

4、第16頁/共80頁1818波動微分算子改寫波動方程為定義微分算子L因式分解 第17頁/共80頁1919左行波和右行波算子為了使截斷界面處右行波，即反射波成分等于零，在截斷邊界處設(shè)置條件 對于左行波和右行波有即第18頁/共80頁2020單向行波吸收邊界條件頻域到時域算子過渡：以及左側(cè)邊界右側(cè)邊界得第19頁/共80頁21214.2 一階近似吸收邊界條件 左行波算子左行波算子利用Taylor級數(shù)展開（一階）過渡導(dǎo)到時域第20頁/共80頁2222二階近似吸收邊界條件 二階近似算子二階近似算子左側(cè)邊界左側(cè)邊界時域形式時域形式第21頁/共80頁2323殘留的反射波與入射波之比(反射系數(shù))接近0度（垂直入射

5、）時反射最小第22頁/共80頁24244.5 三維吸收邊界條件二階近似 離散后第23頁/共80頁2525二階吸收邊界條件所涉及的10個節(jié)點(diǎn)（三維）第24頁/共80頁2626一階吸收邊界條件涉及的2個節(jié)點(diǎn)一階近似可以應(yīng)用于三維、二維、一維問題第25頁/共80頁2727三維FDTD區(qū)的角頂區(qū)三維長方體區(qū)域有6個平面UPML區(qū)，12個棱邊區(qū)和8個角頂區(qū)第26頁/共80頁2828三維截斷邊界上的場分量節(jié)點(diǎn)第27頁/共80頁2929三維截斷邊界區(qū)分三種情況6 6個截斷邊界面：面上個截斷邊界面：面上有有E E切向分量和切向分量和H H法向分法向分量節(jié)點(diǎn)；量節(jié)點(diǎn)；H H法向分量節(jié)法向分量節(jié)點(diǎn)不需要應(yīng)用吸收邊

6、界點(diǎn)不需要應(yīng)用吸收邊界條件條件1212條棱邊：邊上只有條棱邊：邊上只有E E的切向分量節(jié)點(diǎn)的切向分量節(jié)點(diǎn)8 8個角頂點(diǎn)：無電磁場個角頂點(diǎn)：無電磁場分量節(jié)點(diǎn)分量節(jié)點(diǎn)第28頁/共80頁3030第五章 FDTD中常用激勵源幾種隨時間變化的源幾種隨時間變化的源入射波的加入入射波的加入總場邊總場邊界條件界條件 第29頁/共80頁31315.1 幾種隨時間變化的源 時諧場源 或 開關(guān)函數(shù)或（升余弦函數(shù)）（升余弦函數(shù)）考慮到建立過程，在考慮到建立過程，在(5-1-1)式所示激勵源情況下達(dá)到時諧場的穩(wěn)態(tài)，通常需要式所示激勵源情況下達(dá)到時諧場的穩(wěn)態(tài)，通常需要35個個周期。當(dāng)然，對于散射問題所需的周期數(shù)還與散射體

7、大小及形狀有關(guān)。例如，對于具有周期。當(dāng)然，對于散射問題所需的周期數(shù)還與散射體大小及形狀有關(guān)。例如，對于具有凹腔結(jié)構(gòu)物體，凹腔結(jié)構(gòu)物體，Taflove等指出，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需經(jīng)過的周期數(shù)大約等于所模擬散射等指出，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需經(jīng)過的周期數(shù)大約等于所模擬散射結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的Q值。為了縮短穩(wěn)態(tài)建立時間，減小沖擊效應(yīng)，可以引入開關(guān)函數(shù)，例如采用升值。為了縮短穩(wěn)態(tài)建立時間，減小沖擊效應(yīng)，可以引入開關(guān)函數(shù)，例如采用升余弦函數(shù)余弦函數(shù) 第30頁/共80頁3232脈沖源高斯脈沖高斯脈沖微分高斯脈沖微分高斯脈沖調(diào)制高斯脈沖調(diào)制高斯脈沖升余弦脈沖升余弦脈沖 截斷三余弦脈沖截斷三余弦脈沖 截斷三正弦脈沖截斷三正弦脈沖

8、 雙指數(shù)脈沖雙指數(shù)脈沖 第31頁/共80頁3333脈沖源:高斯脈沖 時域形式 頻譜 其中為脈沖峰值出現(xiàn)時間 決定高斯脈沖的寬度 第32頁/共80頁3434n=1024;%逆傅立葉變換采樣點(diǎn)df=10.24/n;%頻率間隔10e-11dt=1./n/df;%逆傅立葉變換的dtEit(:,2)=ifft(Ei1(:,2);第33頁/共80頁3535不同頻率時高斯脈沖的頻譜值與最大值之比 f0.0432 0.0948 0.456通?？扇?為高斯脈沖的頻寬 第34頁/共80頁3636高斯脈沖的時域波形(帶寬為08G)第35頁/共80頁3737高斯脈沖的頻譜(帶寬為08G)第36頁/共80頁3838脈沖

9、源:微分高斯脈沖 時域形式 頻譜 第37頁/共80頁3939微分高斯脈沖(頻率上限為6G)時域波形第38頁/共80頁4040微分高斯脈沖(頻率上限為6G)頻域波形特點(diǎn)：無零頻直流分量第39頁/共80頁4141脈沖源:調(diào)制高斯脈沖 時域形式 頻譜 第40頁/共80頁4242調(diào)制高斯脈沖（中心頻率為6.5G)時域波形第41頁/共80頁4343調(diào)制高斯脈沖（中心頻率為6.5G)頻域波形特點(diǎn)：有中心頻率和帶寬第42頁/共80頁44445.6 入射波的加入總場邊界條件 將計算區(qū)域劃分為總場區(qū)和散射場區(qū) 第43頁/共80頁4545應(yīng)用等效原理設(shè)置入射波 為了使入射波限制在總場區(qū)內(nèi)的空間有限區(qū)域，根據(jù)等效原

10、理，在區(qū)域界面A上設(shè)置等效面電磁流，并設(shè)A面外的場為零 在總場-散射場區(qū)的分界面上設(shè)置入射波電磁場的切向分量便可將入射波只引入到總場區(qū)。零場總場區(qū)散射場區(qū)第44頁/共80頁4646三維情況總場-散射場邊界 總場邊界：6個面，12條棱邊，角頂點(diǎn)處無節(jié)點(diǎn)第45頁/共80頁4747MaxwellMaxwell旋度方程對于總場或散射場均適用旋度方程對于總場或散射場均適用電場 x 分量磁場 x 分量第46頁/共80頁4848MaxwellMaxwell旋度方程旋度方程的的FDTDFDTD對于總場或散射場均適用對于總場或散射場均適用要求：FDTD公式中涉及的所有場分量（電場、磁場）或者屬于總場，或者屬于散

11、射場第47頁/共80頁4949總場總場-散射場邊界附近的場分量散射場邊界附近的場分量 在為總場邊界上屬于總場區(qū)。距離總場邊界半個網(wǎng)格處為總場外邊界，其上磁場分量屬于散射場區(qū)。第48頁/共80頁5050總場邊界上的總場邊界上的E E分量（屬于總場）被分量（屬于總場）被4 4個個H H分量環(huán)繞，其中位于散射場分量環(huán)繞，其中位于散射場區(qū)的分量屬于散射場區(qū)的分量屬于散射場 第49頁/共80頁5151總場外邊界上的總場外邊界上的H H分量（屬于散射場）被分量（屬于散射場）被4 4個個E E分量環(huán)繞，其中位于總分量環(huán)繞，其中位于總場區(qū)的分量屬于總場場區(qū)的分量屬于總場第50頁/共80頁5252總場邊界處FD

12、TD公式的修改在總場散射場邊界處應(yīng)用在總場散射場邊界處應(yīng)用FDTDFDTD公式時，同公式時，同一公式中可能既有總場節(jié)點(diǎn)，也有散射場節(jié)一公式中可能既有總場節(jié)點(diǎn)，也有散射場節(jié)點(diǎn)。因此，原來點(diǎn)。因此，原來FDTDFDTD公式需要修改。公式需要修改。認(rèn)定認(rèn)定FDTDFDTD公式中全部節(jié)點(diǎn)為總場，則要在散公式中全部節(jié)點(diǎn)為總場，則要在散射場節(jié)點(diǎn)加上入射場；認(rèn)定全部節(jié)點(diǎn)為散射射場節(jié)點(diǎn)加上入射場；認(rèn)定全部節(jié)點(diǎn)為散射場，則要在總場節(jié)點(diǎn)減去入射場。場，則要在總場節(jié)點(diǎn)減去入射場。修改后結(jié)果正好與等效原理一致，在總場區(qū)修改后結(jié)果正好與等效原理一致，在總場區(qū)加入了入射波。加入了入射波。第51頁/共80頁5353二維TM

13、情況總場-散射場邊界 在為總場邊界上屬于總場區(qū)。距離總場邊界半個網(wǎng)格處為總場外邊界，其上磁場分量屬于散射場區(qū)。第52頁/共80頁5454總場邊界附近元胞（二維TM）下邊界第53頁/共80頁5555總場邊界附近FDTD公式需改寫 入射場總場第54頁/共80頁5656總場邊界附近FDTD公式需改寫 入射場散射場第55頁/共80頁5757總場邊界附近FDTD公式需改寫 總場總場第56頁/共80頁5858二維TM波總場區(qū)四個角點(diǎn) 以左下角點(diǎn)為例 基本思想：認(rèn)定公式全部節(jié)點(diǎn)屬于總場（散射場），則應(yīng)當(dāng)在散射場（總場）節(jié)點(diǎn)處加上（減去）入射場值。入射場總場第57頁/共80頁5959二維TM波總場區(qū)四個角點(diǎn)

14、圖5-6-3 二維總場-散射場邊界第58頁/共80頁6060二維TM波入射場設(shè)置算例（幅值分布）總場邊界：80，80；80，80 第59頁/共80頁6161二維TM波入射場設(shè)置算例（相位分布）第60頁/共80頁6262一維情況總場-散射場區(qū)劃分總場區(qū)和散射場區(qū)后，介質(zhì)板置于總場區(qū)；反射波和透射波便于提取第61頁/共80頁6363一維總場-散射場邊界注意：總場邊界上的E節(jié)點(diǎn)屬于總場；總場外邊界處的H節(jié)點(diǎn)位于散射場區(qū)，屬于散射場。第62頁/共80頁6464一維總場邊界上入射波的加入（電場公式）總場邊界上的電場節(jié)點(diǎn)屬總場，而總場外邊界處磁場節(jié)點(diǎn)屬散射場，應(yīng)當(dāng)加上入射場。FDTD公式修改為 通常FDT

15、D電場公式應(yīng)用于總場邊界時總場 總場 散射場入射場總場第63頁/共80頁6565一維總場邊界上入射波的加入（磁場公式）總場外邊界處磁場節(jié)點(diǎn)屬散射場，而總場邊界上的電場節(jié)點(diǎn)屬總場，應(yīng)當(dāng)減去入射場。FDTD公式修改為 通常FDTD磁場公式應(yīng)用于總外場邊界時散射場 總場 散射場入射場散射場第64頁/共80頁6666一維總場邊界入射波加入算例：400dt時的波形 FDTD區(qū)為1,1000。吸收邊界為一階MUR?？倛鲞吔缭?00。在總場邊界加入右行波。第65頁/共80頁6767一維總場邊界入射波加入算例：1200dt時的波形 第66頁/共80頁6868通過總場邊界加入入射波確定總場邊界（三維，二維，一維

16、）；確定總場邊界（三維，二維，一維）；在總場邊界處，修改通常在總場邊界處，修改通常FDTDFDTD公式，引進(jìn)入公式，引進(jìn)入射波（切向分量）；射波（切向分量）；總場邊界上的等效面電磁流將只在總場區(qū)內(nèi)總場邊界上的等效面電磁流將只在總場區(qū)內(nèi)產(chǎn)生入射波；產(chǎn)生入射波；檢驗：平面波入射（總場區(qū)內(nèi)無散射體）檢驗：平面波入射（總場區(qū)內(nèi)無散射體）第67頁/共80頁6969第六章 近遠(yuǎn)場外推電磁場的遠(yuǎn)場和近場劃分電磁場的遠(yuǎn)場和近場劃分(轉(zhuǎn)轉(zhuǎn))電磁輻射源產(chǎn)生的交變電磁場可分為性質(zhì)不同的兩個部分，其中一部分電磁場能量在輻射源周圍空間及輻射源之間周期性地來回流動，不向外發(fā)射，稱為感應(yīng)場；另一部分電磁場能量脫離輻射體，以

17、電磁波的形式向外發(fā)射，稱為輻射場。電磁輻射源產(chǎn)生的交變電磁場可分為性質(zhì)不同的兩個部分，其中一部分電磁場能量在輻射源周圍空間及輻射源之間周期性地來回流動，不向外發(fā)射，稱為感應(yīng)場；另一部分電磁場能量脫離輻射體，以電磁波的形式向外發(fā)射，稱為輻射場。一般情況下，電磁輻射場根據(jù)感應(yīng)場和輻射場的不同而區(qū)分為近區(qū)場（感應(yīng)場）和遠(yuǎn)區(qū)場（輻射場）。由于遠(yuǎn)場和近場的劃分相對復(fù)雜，要具體根據(jù)不同的工作環(huán)境和測量目的進(jìn)行劃分，一般而言，以場源為中心，在三個波長范圍內(nèi)的區(qū)域，通常稱為近區(qū)場，也可稱為感應(yīng)場；在以場源為中心，半徑為三個波長之外的空間范圍稱為遠(yuǎn)區(qū)場，也可稱為輻射場。一般情況下，電磁輻射場根據(jù)感應(yīng)場和輻射場的

18、不同而區(qū)分為近區(qū)場（感應(yīng)場）和遠(yuǎn)區(qū)場（輻射場）。由于遠(yuǎn)場和近場的劃分相對復(fù)雜，要具體根據(jù)不同的工作環(huán)境和測量目的進(jìn)行劃分，一般而言，以場源為中心，在三個波長范圍內(nèi)的區(qū)域，通常稱為近區(qū)場，也可稱為感應(yīng)場；在以場源為中心，半徑為三個波長之外的空間范圍稱為遠(yuǎn)區(qū)場，也可稱為輻射場。第68頁/共80頁7070第六章 近遠(yuǎn)場外推 近區(qū)場通常具有如下特點(diǎn)：近區(qū)場通常具有如下特點(diǎn)：近區(qū)場內(nèi)，電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度的大小沒有確定的比例關(guān)系。一般情況下，近區(qū)場內(nèi)，電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度的大小沒有確定的比例關(guān)系。一般情況下，對于電壓高電流小的場源對于電壓高電流小的場源(如發(fā)射天線、饋線等如發(fā)射天線、饋線等)，電場要比磁場強(qiáng)

19、得多，對于，電場要比磁場強(qiáng)得多，對于電壓低電流大的場源電壓低電流大的場源(如某些感應(yīng)加熱設(shè)備的模具如某些感應(yīng)加熱設(shè)備的模具)，磁場要比電場大得多。，磁場要比電場大得多。近區(qū)場的電磁場強(qiáng)度比遠(yuǎn)區(qū)場大得多。從這個角度上說，電磁防護(hù)的重點(diǎn)近區(qū)場的電磁場強(qiáng)度比遠(yuǎn)區(qū)場大得多。從這個角度上說，電磁防護(hù)的重點(diǎn)應(yīng)該在近區(qū)場。應(yīng)該在近區(qū)場。近區(qū)場的電磁場強(qiáng)度隨距離的變化比較快，在此空間內(nèi)的不均勻度較大。近區(qū)場的電磁場強(qiáng)度隨距離的變化比較快，在此空間內(nèi)的不均勻度較大。遠(yuǎn)區(qū)場的主要特點(diǎn)如下：遠(yuǎn)區(qū)場的主要特點(diǎn)如下：在遠(yuǎn)區(qū)場中，所有的電磁能量基本上均以電磁波形式輻射傳播，這種場輻在遠(yuǎn)區(qū)場中，所有的電磁能量基本上均以電磁

20、波形式輻射傳播，這種場輻射強(qiáng)度的衰減要比感應(yīng)場慢得多。射強(qiáng)度的衰減要比感應(yīng)場慢得多。在遠(yuǎn)區(qū)場，電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度有如下關(guān)系：在國際單位制中，在遠(yuǎn)區(qū)場，電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度有如下關(guān)系：在國際單位制中，E=377H，電場與磁場的運(yùn)行方向互相垂直，并都垂直于電磁波的傳播方向。，電場與磁場的運(yùn)行方向互相垂直，并都垂直于電磁波的傳播方向。遠(yuǎn)區(qū)場為弱場，其電磁場強(qiáng)度均較小遠(yuǎn)區(qū)場為弱場，其電磁場強(qiáng)度均較小第69頁/共80頁71716.1 等效原理目標(biāo)E,HE,H自由空間界面A原問題：例如輻射或散射第70頁/共80頁7272等效原理：自由空間輻射E,H零場自由空間界面A等效問題：n 區(qū)域內(nèi)為零場；n 界面A上有

21、面電流和面磁流；n 面電磁流在自由空間產(chǎn)生輻射場。自由空間第71頁/共80頁7373外推邊界（輸出邊界）外推輸出邊界在散射場區(qū)內(nèi)第72頁/共80頁7474等效面電磁流輻射的計算公式 面電磁流輻射場的勢函數(shù)其中G 為Green函數(shù)（遠(yuǎn)場及近場）第73頁/共80頁7575由勢函數(shù)到電磁場的公式其中第74頁/共80頁7676Visualization of plane-wave penetration and scattering of a missile Visualization of plane-wave penetration and scattering of a missile rado

22、me containing a horn antenna(from Taflove,2000)radome containing a horn antenna(from Taflove,2000)The impinging plane wave propagates from right to leftand is obliquely incident at 15 from boresight 第75頁/共80頁7777Visualization of the FDTD-computed specific absorption rate(SAR)Visualization of the FDT

23、D-computed specific absorption rate(SAR)distribution of a head model(from Taflove,2000)distribution of a head model(from Taflove,2000)An one-quarter wavelength whip antenna is in anear-level plane for a 1,900-MHz cellular telephone held vertically against a tilted-head model.第76頁/共80頁7878Surface cur

24、rents on“Rund”aircraft model for vertical polarization Surface currents on“Rund”aircraft model for vertical polarization(from Andersson 2001)(from Andersson 2001)Rund 是瑞典空軍研究所一種飛機(jī)模型，機(jī)身長1米，翼展1米，高0.5米第77頁/共80頁7979Surface currents of the Saab 2000 aircraft 125 ns(1500 time steps)Surface currents of the

25、 Saab 2000 aircraft 125 ns(1500 time steps)after a lightning stroke the nose(from Andersson 2001)after a lightning stroke the nose(from Andersson 2001)Also the magnitude of magnetic field is shown in a cutting plane across the wings perpendicular to the fuselage.第78頁/共80頁8080Surface currents on the interior of the Saab 2000(from Andersson Surface currents on the interior of the Saab 2000(from Andersson 2001)2001)The view is from the center of aircraft towards to the cockpit.第79頁/共80頁