7、奇數(shù))．
又T＝，所以ω＝k(k為奇數(shù))．
又函數(shù)f(x)在上單調(diào)，
所以≤×，即ω≤12.
若ω＝11，又|φ|≤，則ω＝－，此時，f(x)＝sin，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不滿足條件．
若ω＝9，又|φ|≤，則φ＝，此時，f(x)＝sin，滿足f(x)在上單調(diào)的條件．故選B.]
5．(理)(2013·全國卷Ⅰ)設當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________.
－ [∵f(x)＝sin x－2cos x＝，
設＝cos α，＝sin α，
則y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
8、∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ時，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos θ＝－.]
回訪3 三角恒等變換
6．(2015·全國卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B. C．－ D.
D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D.]
7．(2016·全國甲卷)若cos＝，則sin 2α＝( )
9、A. B.
C．－ D．－
D [因為cos＝，
所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.]
熱點題型1 三角函數(shù)的圖象問題
題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是考查三角函數(shù)解析式的求法；二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低.
(1)(2016·山西四校聯(lián)考)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是( )
A. B. C. D.
(2)(2016·衡水中學四調(diào))已知A，B，C，D是
10、函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖1-3所示，A，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則( )
圖1-3
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
(1)A (2)A [(1)設f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin.∵g(x)的圖象關于y軸對稱，∴g(x)為偶函數(shù)，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為.
(2)由題意可知＝＋＝，∴T＝π，ω＝＝2.又sin＝0,0＜φ＜
11、，∴φ＝，故選A.]
1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定
(1)A由最值確定，A＝；
(2)ω由周期確定；
(3)φ由圖象上的特殊點確定．
提醒：根據(jù)“五點法”中的零點求φ時，一般先依據(jù)圖象的升降分清零點的類型．
2．在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向．
[變式訓練1] (1)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 2x的圖象( )
【導學號：85952009】
A．向右平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平
12、移個單位長度
D．向左平移個單位長度
(2)(2016·江西八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖1-4所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值為( )
圖1-4
A．0 B．3 C．6 D．－
(1)B (2)A [(1)∵y＝cos 2x＝sin，∴y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度，得y＝sin＝sin的圖象．故選B.
(2)由題圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，
∴f(x)＝2sinx.
∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8
13、)＝0，
而2 016＝8×252，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.]
熱點題型2 三角函數(shù)的性質(zhì)問題
題型分析：三角函數(shù)的性質(zhì)涉及周期性、單調(diào)性以及最值、對稱性等，是高考的重要命題點之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等.
(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定義域與最小正周期；
(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性．
[解] (1)f(x)的定義域為xx≠＋kπ，k∈Z. 1分
f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin
14、2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 4分
所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分
(2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分
設A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝. 10分
所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. 12分
研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)的“兩種”意識
1．轉化意識：利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
2．整體意識：類比于
15、研究y＝sin x的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”代入求解便可．
[變式訓練2] (1)(名師押題)已知函數(shù)f(x)＝2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．關于函數(shù)g(x)，下列說法正確的是( )
A．在上是增函數(shù)
B．其圖象關于直線x＝－對稱
C．函數(shù)g(x)是奇函數(shù)
D．當x∈時，函數(shù)g(x)的值域是[－2,1]
(2)已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為( )
【導學號：85952010】
A.
B.
C.
16、
D.∪
(1)D (2)C [(1)因為f(x)＝2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos 2x.
對于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是減函數(shù)，故A錯；又g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的對稱軸，故B錯；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C錯；又當x∈時，2x∈，故g(x)的值域為[－2,1]，D正確．
(2)令2kπ＋＜2x＋φ＜2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．
因為是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，
所以≤kπ＋－，且kπ＋－≤，k∈Z，
解得2
17、kπ＋≤φ≤2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜π，所以≤φ≤.故選C.]
熱點題型3 三角恒等變換
題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數(shù)式化簡求值；二是以三角恒等變換為載體，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有關性質(zhì).
(1)(2016·江西八校聯(lián)考)如圖1-5，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos －的值為________．
圖1-5
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos＋λ的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)f(x)
18、在區(qū)間上的最大值為________．
(1) (2)－ [(1)由題意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC為正三角形．
由三角函數(shù)的定義可知，sin∠AOB＝sin＝，
∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝.
(2)f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos ＋λ＝－cos＋sin＋λ＝2sin＋λ.
由f(x)的圖象過點，得λ＝－2sin＝－2sin＝－，
故f(x)＝2sin－.
因為0≤x≤，所以－≤－≤.
因為y＝sin x在上單調(diào)遞增，
所以f(x)的最大值為f＝2sin－＝－.]
1．解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”
19、原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結構特征”，了解變式或化簡的方向．
2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函數(shù)的性質(zhì)時，通常利用輔助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)把函數(shù)f(x)化為Asin(ωx＋φ)的形式，通過對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的性質(zhì)．
[變式訓練3] (1)(2014·全國卷Ⅰ)設α∈，β∈，且tan α＝，則( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β
20、＝ D．2α＋β＝
(2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，則cos等于( )
A．－ B．－ C. D.
(1)B (2)C [(1)法一：由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
法二：tan α＝＝＝＝cot
＝tan
＝tan，
∴α＝kπ＋，k∈Z，
∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.
當k＝0時，滿足2α－β＝，故選B.
(2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0，
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－，
∴cos＝cos αcos －sin αsin
＝－cos α－sin α＝.]
高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題1 突破點1 三角函數(shù)問題 理-人教高三數(shù)學試題
